精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区盘锦市第一完全中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

盘锦市第一完全中学2024～2025学年度第一学期 九年级第一次质量检测数学试卷 考试时间：120分钟；试卷满分：120分 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ） A. 与x轴相离，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 7. 中考将至，九（1）班全体学生互赠“祝福卡”，共赠“祝福卡”1640张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点O是的外心，连接OA，OB，OC，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 C. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 D. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 10. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转至，线段与线段交于点，若，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是___________． 12. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为______． 13. 如图,☉O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则☉O的面积为________. 14. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 15. 如图，在中，，，，点是边的中点，是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，在点的运动过程中线段的最小值为__________． 三、解答题（共8小题，合计75分） 16. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 17. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，且，，，已知是由旋转得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是__________，旋转角是__________度． （2）画出关于原点的中心对称图形． 18. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 19. 已知周长为（为定值）的矩形的一边长与它的邻边长之间的函数图象如图所示． （1）直接写出的值和关于的函数表达式； （2）当为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 20. 石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 21. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长． 22. 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由；（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 23. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． （1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形． （2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到． ①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形． ②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盘锦市第一完全中学2024～2025学年度第一学期 九年级第一次质量检测数学试卷 考试时间：120分钟；试卷满分：120分 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2． 【详解】解：．是一元二次方程，故该选项符合题意； ． 含有两个未知数，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是分式方程不是整式方程，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．含有两个未知数且最高次数为1，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，熟练掌握此知识点是解题的关键． 4. 已知抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象性质，根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】A选项：∵， ∴抛物线开口向下．故该选项错误； B选项：把点代入函数中，得左边，右边， 左边右边， ∴抛物线不经过原点．故该选项错误； C选项：抛物线的对称轴为．故该选项错误． D选项：抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时， y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小．故该选项正确． 故选：D 5. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ） A. 与x轴相离，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 【答案】A 【解析】 【分析】由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：点到x轴为4，大于半径3， 点到y轴的距离为3，等于半径3， 故该圆与x轴相离，与y轴相切， 故选：A． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 7. 中考将至，九（1）班全体学生互赠“祝福卡”，共赠“祝福卡”1640张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张贺卡，因此总赠送贺卡数是张，再根据共赠贺卡1640张列方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x名学生， 由题意得：， 故选：B． 8. 如图，已知点O是的外心，连接OA，OB，OC，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由点O是的外心，可得，根据等腰三角形的性质知，因此可求出，再根据圆周角定理即可得到结果． 【详解】点O是的外心， ， ， ， 由题意可知是的圆周角，是的圆心角， ， 故选：C． 9. 如图1，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 C. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 D. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 【答案】B 【解析】 【分析】由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，据此判断即可． 【详解】由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，故选项A的说法错误；由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故选项D的说法错误；由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，即小球停止运动，此时弹簧被压缩至最短，小球下落至最低点，弹簧的长度为，故选项B的说法正确，选项C的说法错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转至，线段与线段交于点，若，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作于点E，则，由旋转的性质得到，，，即可证明得是等腰直角三角形，得到，在中，得到，进一步得到，在中，，，由，即可得到线段的长． 【详解】解：如图，过点D作于点E，则， ∵绕点A逆时针旋转至，线段与线段交于点， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ． 故选：D 【点睛】此题考查了旋转的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握旋转的性质和解直角三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法：公式法，熟记公式是解答本题的关键．先求出∆的值，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 所以，． 故答案为，． 12. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移变换，二次函数平移后二次项系数不变，熟练掌握平称原则是关键；注意左右与上下平移的不同，二次函数的顶点式为：，顶点坐标为．根据左加，右减，上加，下减的原则写出平移后的抛物线的解析式，并写出顶点坐标． 【详解】解：由题意得：平移后的抛物线的解析式为：， 顶点坐标为， 故答案为：． 13. 如图,☉O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则☉O的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】欲求⊙O的面积，需先求出⊙O的半径；可连接OC，由切线长定理可得到∠OCB=∠OCA=30°，再连接OD（设BC切⊙O于D），在Rt△OCD中通过解直角三角形即可求得⊙O的半径，进而可求出⊙O的面积． 【详解】 设BC切⊙O于点D，连接OC、OD； ∵CA、CB都与⊙O相切， ∴∠OCD=∠OCA=30°； RT△OCD中，CD=BC=1，∠OCD=30°. 因为OD=CD·tan30°=. 所以S⊙O=π（OD）2=. 【点睛】掌握三角形与内接圆的关系，熟练解出圆的半径是解答本题的关键. 14. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】设过B，C，D的弧的圆心为O，连接，由勾股定理求出，，的值，进而由勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形， 再由圆周角定理得，，为半圆的直径，则，然后由等腰直角三角形的性质得，，根据即可求解． 【详解】如图，设过B，C，D的弧的圆心为O，连接， 由勾股定理得，，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ，为半圆的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、与圆有关的计算，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，点是边的中点，是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，在点的运动过程中线段的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，作于M，于J交于N．首先说明点F在直线l上运动（直线l与直线之间的距离为），根据垂线段最短可知，当直线l时，的值最短，最小值为． 【详解】解：如图，作于M，于J交于N． ∵中，， ∴，， ∵．， ∴， ∴， ∴，， 四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线l上运动(直线l与直线之间的距离为)， 根据垂线段最短可知，当直线l时，的值最短，最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，含30度的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共8小题，合计75分） 16. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】 （1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 17. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，且，，，已知是由旋转得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是__________，旋转角是__________度． （2）画出关于原点的中心对称图形． 【答案】（1），90 （2） 关于原点的中心对称图形，如下图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形、旋转变换、中心对称变换等知识，熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题关键． （1）根据旋转的性质并结合图形，即可获得答案； （2）根据中心对称图形的定义，即绕点旋转，由此即可求解． 【小问1详解】 解：旋转中心的坐标是，旋转角是90度． 故答案为：，90． 【小问2详解】 略 18. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应定位元 【解析】 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 19. 已知周长为（为定值）的矩形的一边长与它的邻边长之间的函数图象如图所示． （1）直接写出的值和关于的函数表达式； （2）当为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）矩形的面积最大为 【解析】 【分析】考查了一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确得出一次函数与二次函数解析式是解此题的关键． （1）根据矩形的周长公式得出，结合图象当时，，代入计算即可得解； （2）由题意得出矩形的面积，结合二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：周长为（为定值）的矩形的一边长为与它的邻边长为， ， 由图可得：当时，， ， ， ； 【小问2详解】 解：矩形的面积， ， 当时，矩形的面积最大为． 20. 石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【答案】（1）101 （2）①两人所在座舱在摩天轮上的距离为；②两人所在座舱距离地面的高度差为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、圆的概念、弧长公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出最高点是直径加即可； （2）①求出圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可；②求出的长，利用直角三角形的边角关系得出的长，进而求出的长，即可得解． 【小问1详解】 解：如图， ， 由题意得：，， 当座椅转到点时，距离地面最高，此时， ∴小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为； 【小问2详解】 解：①∵摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱， ∴每相邻两个座椅之间所对的圆心角为， ∴， ∴的长为：， ∴两人所在座舱在摩天轮上的距离为； ②作于， ， 由题意得：两人所在座舱距离地面的高度差为的长， 在中，，， ∴， ∴， ∴两人所在座舱距离地面的高度差为． 21. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长． 【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）4.75． 【解析】 【分析】（1）连接OD，通过线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明∠EDB＋∠ODA＝90°，进而得出OD⊥DE，根据切线的判定即可得出结论； （2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，由△AOH∽△ABC，可得，推出AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8－x，根据OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2，列出方程即可解决问题； 【详解】（1）连接OD， ∵EF垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A， ∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠EDB＋∠ODA＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． （2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，∠AHO=∠C=90°， ∵∠CAB=HAO， ∴△AOH∽△ABC， ∴， ∴， ∴AH＝，AD＝， 设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x， ∵OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2， ∴42＋（8﹣x）2＝22＋x2， 解得：x＝4.75， ∴DE＝4.75． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 22. 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由；（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【答案】任务一：； 任务二：不能，理由如下： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 任务三： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． 任务一：由题意得出抛物线的对称轴为直线．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解； 任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案； 任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案． 【详解】解：任务一：轴，，点为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线． ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：． 解得：， ， ∴水流抛物线的函数表达式为：； 任务二：略 任务三： 当时，， 解得：或（负值，不符合题意，舍去）， 圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内， ， 即． 23. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． （1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形． （2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到． ①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形． ②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度． 【答案】（1）②③ （2） ①证明：连接，如图： 由旋转的性质可得：，，， ∴为等边三角形，即 由四边形的内角和性质可得： ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴四边形是勾股四边形 ② 【解析】 【分析】（1）根据勾股四边形的定义，对选项逐个判断即可； （2）①连接，利用旋转的性质得到，即，即可求解；②延长交延长线于点，由推出，等腰三角形的性质得到，勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①平行四边形， ∵， 不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形； ②矩形，由矩形的性质可得：，所以 满足勾股四边形的定义，是勾股四边形； ③有一个角为直角的任意四边形，如图， 则： 满足勾股四边形的定义，是勾股四边形； ④有一个角为60°的菱形， ∵， 不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形； 故答案为：②③ 【小问2详解】 ①略 ②延长交延长线于点，如图： 由题意可得：， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解勾股四边形的定义，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $