精品解析：河南省商丘市夏邑县第一高级中学2024-2025学年高二上学期月测（一）（10月）数学试题（B）

夏邑一高2023级高二上期月测（一） 数学（B） 命题：王力 审核：徐显伟 一､单选题：每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则的夹角是钝角 B. 若，则 C. 若，则 D. 空间中任何两个向量都是共面向量 3. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ） A. B C. D. 4. 设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，为原点，已知点，，则（ ） A. 点关于点的对称点为 B. 点关于轴的对称点为 C. 点关于轴的对称点为 D. 点关于平面的对称点为 6 已知，，则=（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ） A B. C. D. 二､多选题：每小题6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分． 9. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，共线 B. 若，则，共线 C. 若，，则，，共面 D. 若，，则，，共面 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若向量，，，则共面 B. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. 若向量，，则在上的投影向量为 D. 已知平面，不重合，平面一个法向量为，平面的一个法向量为，则 11. 若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”．已知被“同余”，则在方向上的投影数量结果不正确的是（ ）． A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若平面一个法向量为，则__________． 13. 若空间中有三点 ，则点到平面的距离为______. 14. 四面体OABC中，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，若，则________. 四､解答题：本题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量． 16. 已知空间中三点，，.设，. （1）求和； （2）若与互相垂直，求实数的值. 17. 已知是直线l的方向向量，是平面的法向量． （1）若，求a，b的关系式； （2）若，求a，b的值． 18. 如图，在棱长为的正方体中，点是的中点． （1）求证：； （2）求平面与的夹角． 19. 在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 夏邑一高2023级高二上期月测（一） 数学（B） 命题：王力 审核：徐显伟 一､单选题：每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 2. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则的夹角是钝角 B. 若，则 C. 若，则 D. 空间中任何两个向量都是共面向量 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量数量积的定义即可判断A，由空间向量的位置关系即可判断BC，由共面向量的定义即可判断D. 【详解】对于，若夹角为，则成立，错误； 对于，若，则不一定垂直，错误； 对于C，若，当时，不一定平行，C错误 对于D，空间任何两个向量必然共面，D正确. 故选：D. 3. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：D 4. 设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得出，再结合，，，可得出关于基底的表达式，即可得解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，即， 又因为，，， 则， 因此，向量在基底下的坐标是. 故选：A. 5. 在空间直角坐标系中，为原点，已知点，，则（ ） A. 点关于点的对称点为 B. 点关于轴的对称点为 C. 点关于轴的对称点为 D. 点关于平面的对称点为 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的性质逐个选项判断即可. 【详解】点关于点的对称点为，A错； 点关于轴的对称点为，B错； 点关于轴的对称点为，C正确； 点关于平面的对称点为，D错. 故选：C 6. 已知，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，用空间向量减法运算即可求. 【详解】由，，可得. 故选：C 7. 在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间坐标系中的对称性求得点的坐标，计算即得的坐标和模长. 【详解】因点关于y轴的对称点为，， 则，故. 故选：C. 8. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平面内任意一点，由题意，由此可得，对比选项即可得解. 【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为 所以，整理得， 而，，，， 所以对比选项可知只有在平面内. 故选：C. 二､多选题：每小题6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分． 9. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，共线 B. 若，则，共线 C. 若，，则，，共面 D. 若，，则，，共面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据共线向量的定义即可判断AB；根据共面向量的定义即可判断CD. 【详解】对A，因为，所以，共线，故A正确； 对B，因为，所以，共线，故B正确； 对C，因为，所以，，共面，故C正确； 对D，设，则，该方程组无解，故，，不共面，故D错误， 故选：ABC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若向量，，，则共面 B. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. 若向量，，则在上的投影向量为 D. 已知平面，不重合，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量的共面定理判断选项A；根据向量与平行的关系判断选项B；利用投影向量的定义求解选项C；利用法向量判断两平面的平行关系确定选项D. 【详解】对A观察可知，，所以共面，A正确； 对B，，所以或，B错误； 对C，因为，， 所以， 所以在上的投影向量为，C错误； 对D，因为，即共线，所以，D正确； 故选:AD. 11. 若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”．已知被“同余”，则在方向上的投影数量结果不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新定义得，然后由投影数量公式可解. 【详解】因为被“同余”，所以，即， 则在方向上的投影数量为， 故A不符合题意，BCD符合题意. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若平面的一个法向量为，则__________． 【答案】. 【解析】 分析】根据题意，求得向量，得到方程组，即可求解. 【详解】因为，可得， 因为平面的一个法向量为，则， 解得，所以. 故答案为：. 13. 若空间中有三点 ，则点到平面的距离为______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】求出平面的法向量，利用空间距离的向量公式去求到平面的距离可得答案. 【详解】由可得, 设平面的一个法向量为, 则 ，即 ， 令，则 ，又 , 则点到平面距离为 , 故答案为: . 14. 四面体OABC中，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为 又不共面，∴，则. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量． 【答案】 【解析】 【分析】设，然后整理解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 16. 已知空间中三点，，.设，. （1）求和； （2）若与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的加减运算和模长计算，即可求解. （2）分别先算出、利用垂直求实数的值即可. 【小问1详解】 ∵，，，，. ∴， 于是， ， . 【小问2详解】 ∵， ， 又与互相垂直， ∴ 即. ∴，. 17. 已知是直线l的方向向量，是平面的法向量． （1）若，求a，b的关系式； （2）若，求a，b的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由得，所以，进而可得结果； （2）由得，所以，进而解得. 【详解】（1）由得，所以，即，整理得； （2）由得，所以，解得，. 18. 如图，在棱长为的正方体中，点是的中点． （1）求证：； （2）求平面与的夹角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别证明，，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，即可证明； （2）以点为原点，以向量的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，用空间向量计算平面与平面的夹角. 【小问1详解】 因为，且平面， 所以平面．又平面， 所以， 又因为四边形是正方形， 则平面， 所以平面．因为平面， 所以． 【小问2详解】 如图，以点为原点，以向量的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， ． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 故平面的法向量可取为． 由（1）可知，平面， 所以平面的法向量可取， 设夹角为， 所以， 则大小为． 19. 在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线所成角余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用空间向量法求出，从而求出，再由点到直线的距离计算可得； （2）利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为为矩形，所以， 又因为平面平面，所以， 所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以， 则有， 所以， 所以点到直线的距离． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以异面直线所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$