精品解析：广东省梅州市梅县东山中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

东山中学2027届高一第一学期第一次月考数学试卷 一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 2. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均真命题 D. 和均为真命题 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. ，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合或，.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若集合，，则满足实数a的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 10. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 11. 向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ） A. 赞成的不赞成的有9人 B. 赞成的不赞成的有11人 C. 对都赞成的有21人 D. 对都不赞成的有8人 12. 设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题6分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对部分选项得部分分，错选得0分． 13. 下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C D. 15. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为4 C. 最小值为 D. 最小值为2 16. 用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，，若，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分． 17. 不等式的解集是__________. 18. 分式不等式的解集为________． 19. 已知集合各元素之和等于3，则实数___________ 20. 已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则_______. 四、解答题：本题共4小题，共计46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 设集合，.求： （1）； （2）. 22. 已知命题“，方程有实根”是真命题. （1）求实数的取值集合A； （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 23. 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 24. 已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质： ①，； ②，； ③，，使得； ④，，使得． 例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群． （1）令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由； （2）已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群； （3）已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东山中学2027届高一第一学期第一次月考数学试卷 一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 2. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合，得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，且，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 3. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断. 【详解】对于命题p，当时，，所以p为真命题； 对于命题q，由于恒成立，所以恒有. 综上，p和q均为真命题. 故选：A. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合,再根据交集定义求解． 【详解】，又， 所以， 故选：B． 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 6. ，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，因为，故，故B成立， 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误； 故选：B. 7. 已知集合或，.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】依题意得解得. 故选：B 8. 若集合，，则满足的实数a的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用，知，求出的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案． 【详解】因为，所以， 即或者，解之可得或或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。 所以实数a的个数为2个. 故选：B 9. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 若，，即， 所以实数a可取的最小整数值是. 故选：A. 10. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】， ∵，∴， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，方程组无解， 当时，有，方程组无解， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：C. 11. 向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ） A. 赞成的不赞成的有9人 B. 赞成的不赞成的有11人 C. 对都赞成的有21人 D. 对都不赞成的有8人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可. 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示， 设对事件A，B都赞成的学生人数为x， 则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为， 赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得. 所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人. 故选：B 12. 设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，对每个选项进行证明，对选项D，进行特值检验，即可. 【详解】选项A，要证，只需证即可. 由题意可知，则成立，则成立. 要证，只需证 由题意可知，则， 又因为，所以，则，即成立 故选项A成立，不符合题意. 选项B，要证，只需证即可. 由题意可知，则，成立. 所以成立，即. 要证，只需证，只需证 由题意可知，则，，，. 所以成立，即成立. 故选项B成立，不符合题意. 选项C，要证，只需证即可. 由题意可知则. 又因，所以. 所以成立，即. 要证，只需证即可 由题意可知则. 又因为，所以. 所以成立，即成立. 故选项C成立，不符合题意. 选项D，令，，则 即，所以不成立，符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查不等式与不等关系，属于较难题. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题6分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对部分选项得部分分，错选得0分． 13. 下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合空集的定义及性质逐项判断即可. 【详解】因空集不含任何元素，故，A错误； 因为空集为任何集合的子集，故，B正确； 因为方程，所以方程的解集为， 所以，C正确； 因为空集不含任何元素，而是实数，故D错误； 故选：BC. 14. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得， 故,故，故A正确， ，故B错误， =，C正确， ，D错误， 故选：AC 15. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为4 C. 最小值为 D. 最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可求解A，利用乘“1”法即可求解B，利用完全平方式的性质即可求解C，将“1”代换，即可由基本不等式求解D. 【详解】对于A，，解得， 当且仅当，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，时等号成立，C正确； 对于D，， 当且仅当即时等号成立，故D错误． 故选：ABC． 16. 用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，，若，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析，又由，分析易得或3，即方程有1个根或3个根，分析方程的根的情况，可得可取的值，即可得答案． 【详解】根据题意，已知，，则， 又由，则或3， 即方程有1个根或3个根； 若，则必有或， 若，则或， 当时，，，符合题意； 当时，对应的根为0和； 故①需有两等根且根不为0和， 当△时，， ，此时，，，，符合题意； ，此时，，，，符合题意； ②当是的根时，解得； ，此时，，，，符合题意； ，此时，1，，，符合题意； 综合可得：可取的值为0，，， 故选：ABD 【点睛】本题考查集合的表示方法，关键是依据的意义，分析集合B中元素的个数，进而分析方程的根的情况． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分． 17. 不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合绝对值的不等式的解法，准确计算，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 18. 分式不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解. 【详解】由，得， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 19. 已知集合各元素之和等于3，则实数___________ 【答案】或 【解析】 【分析】先求得方程的解为，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解. 【详解】由方程，可得化为， 解得， 当时，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，即时，可得，此时，符合题意； 当且时，可得，解得，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或. 20. 已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次方程，结合的定义写出集合，再利用集合的交集运算求. 【详解】由得，解得或， 又因为表示不大于的最大整数， 所以由得，由得， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共4小题，共计46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 设集合，.求： （1）； （2）. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再由补集定义计算即可； （2）分别求出的补集，再由并集定义计算即可． 【小问1详解】 因为集合，， 所以， 所以或； 【小问2详解】 因为集合，， 所以或，或， 所以或． 22. 已知命题“，方程有实根”是真命题. （1）求实数的取值集合A； （2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，运算求解即可； （2）由题意可知：集合是集合A的真子集，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【小问1详解】 由题可知：，解得， 所以. 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合A的真子集， ①当时，，即，满足题意； ②当时，，即，满足题意； 综上所述：的取值范围为. 23. 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. （1）用含有的代数式表示； （2）当值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 24. 已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质： ①，； ②，； ③，，使得； ④，，使得． 例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群． （1）令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由； （2）已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群； （3）已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得． 【答案】（1）加法群，不是加法群 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合表示所有偶数，集合表示所有奇数，结合群的定义，判断是否满足条件即可； （2）取时，，进而判断①④即可； （3）根据性质①和已知可得，设，且不能被整除，利用反证法证明即可. 【小问1详解】 集合表示所有偶数，满足①任意两个偶数相加仍是偶数，②加法结合律，③，④偶数的相反数仍是偶数，所以是加法群； 集合表示所有奇数，满足②加法结合律，④奇数的相反数仍是奇数，不满足①任意两个奇数相加仍是奇数，②，所以不是加法群. 【小问2详解】 因为非空集合，所以满足②结合律， 根据题意可知当时，，满足条件③， 则，有，满足④， 所以有，满足①， 综上满足①②③④，是一个加法群. 【小问3详解】 由（2）可是是一个加法群， 证明存在，使得，即证明恰是的所有整数倍组成的集合， 当时，显然，结论成立， 当时，由（2）可知若，则，集合中一定有正整数， 假设是集合中最小正整数，则由性质①及，有可知对于任意整数有， 下证， 设，且不能被整除，设，，， 因为，，则根据，有可知，与是集合中最小正整数矛盾， 所以集合中不存在不能被整除的数， 所以. 【点睛】方法点睛：对于新定义题型，要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化划归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换化为简单的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $