精品解析：湖南省株洲市世纪星高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

株洲世纪星高级中学2024年下期 数学 （本试卷共4页，共19题，全卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元一次不等式与一元二次不等式求得集合，进而可求得． 【详解】， 或， 所以或． 故选：D． 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算和模的计算公式求解即可. 【详解】， 故. 故选：C 3. 在中，点在边上，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根已知条件和向量的减法法则即可直接计算得解. 【详解】由题. 故选：B. 4. 已知函数，则当时，有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当. 故选：B. 5. 已知两直线和，若，则（ ） A. B. 8 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】依据当两直线平行时有计算出的值即可得解. 【详解】由题可知， . 故选：A. 6. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式化简，进而可求最大值. 【详解】由题意可得， 所以的最大值为． 故选：C. 7. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可 【详解】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 8. 如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，连接，易证平面，即为直线与平面所成角. 【详解】取的中点为，连接，可得， ∵平面，平面，∴， ∴又，，平面， ∴平面，又，∴平面， ∴为直线与平面所成角，设，， ∴， 则， ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题有6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知直线，其中，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时，直线与直线垂直 C. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若直线与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线方程确定定点判断A；由并确定斜率，根据垂直判定判断B；求出坐标轴上的截距判断C；利用平行线距离公式求距离判断D. 【详解】由直线方程，若，即直线过定点，A对； 时，斜率为1，而斜率为，显然斜率乘积为， 所以直线与直线垂直，B对； 时，，令则，令则，显然截距不相等，C错； 若直线与直线平行，即，则两条平行直线之间的距离，D对. 故选：ABD 10. 如图所示，设，分别是正方体的棱上两点，且，与，两点均不重合，且，，其中正确的命题为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角为 C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 【答案】AD 【解析】 【分析】，通过计算判断选项A；定义法求异面直线所成的角判断选项B；建立空间直角坐标系，向量法求线面角判断选项CD. 【详解】以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，设，则，（）， A选项，为定值，故A对； B选项，正方体中，，即有， 异面直线与所成的角与直线与所成的角为同一个角， 即异面直线与所成的角的平面角为，故B错； C选项，，，， ，，， 则，，平面的法向量为， 设直线与平面所成的二面角的平面角为， 则， 则，故C错； D选项，由C选项可知直线与平面所成的角为，故D对. 故选：AD. 11. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出的图象，方程的根的个数可以转化为函数图象交点的个数，数形结合即可求解. 【详解】的图象如图所示， 方程的根的个数可转化为，直线与交点的个数， 由图可知，当时，直线与交点的个数为2， 因此选项ACD满足题意. 故选：ACD. 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，分别是直线，的方向向量，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，再利用空间向量共线的充要条件计算即可. 【详解】由得， 即存在唯一实数，使， 即， 所以，解得：，所以， 故答案为： 13. 若直线必过一定点，则该定点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点. 【详解】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为： 14. “”是“直线和直线平行”的______条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”) 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及直线平行的性质，即可得到结论． 【详解】若“”则直线和直线平行，即充分性成立， 若，直线和直线平行为和直线不平行， 若，若直线和直线平行，则， 即，解得或 ，经检验或均满足，即必要性不成立， 故“”是直线和直线平行的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： （1）直线与直线平行； （2）直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4； （3）直线 在两坐标轴上的截距相等． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设直线l的方程为，代入点的坐标可求直线方程； （2）设直线l的方程为，结合条件可求直线方程； （3）直线的截距不为0，与截距为0两种情况求解可得直线方程. 【小问1详解】 设直线l的方程为为常数，代入点得， 所以直线l的方程为，即； 【小问2详解】 设直线l的方程为，则①，②， 由①②解得，,故直线l的方程为，即； 【小问3详解】 ①若直线的截距不为0，设直线的方程为， 将点代入直线方程可得，，解得，故直线方程为； ②若直线的截距为0，设直线的方程为，将点代入直线方程可得，， 故直线方程为． 综上所述，直线的方程为或． 16. 长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题： （1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率. 【答案】（1）平均分约为66.8；第71百分位数为75； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平均数定义计算出平均数，再判断出第71百分位数位于，设出未知数，得到方程，求出百分位数； （2）求出第5组和第6组的人数，利用列举法求解概率. 【小问1详解】 ， 所以本次考试成绩的平均分约为66.8； 因为成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 所以第71百分位数位于， 设其为，则， 解得，所以第71百分位数为75； 【小问2详解】 第5组的人数为：人，可记为，，，； 第6组的人数为：人，可记为，，； 则从中任取2人，有，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，共21种情况， 其中至少有1人成绩优秀的情况有，，，，，， ，，，，，，，，共15种情况. 所以至少有1人成绩优秀的概率. 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解. （2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数性质即可得和，从而得解. 【小问1详解】 由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. 【小问2详解】 将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以在上的最大值为，最小值为. 18. 已知分别为的三个内角的对边，且，，． （1）求及的面积； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积； （2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值. 【小问1详解】 由余弦定理得， 整理得，即， 因为，解得， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 所以， 在三角形中，因为，则， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，． （1）证明：平面平面； （2）若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离． （3）点是线段上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：由平面，平面，平面， 得，， 与底面所成角为 ． 所以三角形 为等腰直角三角形， ． 又由四边形是直角梯形，，可知， 所以为等腰直角三角形，而，故． 在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形， 可知 ． 所以 ，在等腰直角三角形 中，． 则有，所以． 又因为，，平面 ，平面． 所以平面．因为平面 ，所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，继而证明，即可证明平面，从而根据面面垂直的判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. （3）设，，进而表示出，，由题意列出关于的方程组求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． 因为T是 的中点，点M是 的中点，所以，． 设平面 的法向量为，，， 则 ，得 ， 取 ，则 ，得平面的一个法向量为， 而,所以点P到平面的距离为． 【小问3详解】 设，注意到， 所以， 所以， 设，注意到， 所以， 因为，，所以， 若平面， 则当且仅当，即当且仅当， 此时， 综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于知道若平面，则当且仅当，从而只需引入两个参数，分别表示出，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲世纪星高级中学2024年下期 数学 （本试卷共4页，共19题，全卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 在中，点在边上，，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则当时，有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 5. 已知两直线和，若，则（ ） A. B. 8 C. D. 2 6. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 0 7. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题有6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知直线，其中，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时，直线与直线垂直 C. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若直线与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 10. 如图所示，设，分别是正方体的棱上两点，且，与，两点均不重合，且，，其中正确的命题为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角为 C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 11. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，分别是直线，的方向向量，若，则________. 13. 若直线必过一定点，则该定点坐标是__________． 14. “”是“直线和直线平行”的______条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： （1）直线与直线平行； （2）直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4； （3）直线 在两坐标轴上的截距相等． 16. 长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题： （1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率. 17. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 18. 已知分别为的三个内角的对边，且，，． （1）求及的面积； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，． （1）证明：平面平面； （2）若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离． （3）点是线段上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $