精品解析：湖南省株洲市攸县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

2025年9月高二上学期数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量、基底的性质，以及共面向量、直线方向向量性质和概念判断各选项的正误. 【详解】A：平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，正确； B：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故一点和方向向量确定直线，正确； C：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误； D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：C 2. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置.直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l的方程为，平移后的方程为，根据截距相同，求得k. 【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为， 则根据平移过程知，平移后的方程为， 该直线与原直线相同，则. 则. 故选：D 3. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误； 对于选项B:若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：D. 5. 已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点三等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质和平行线之间的距离公式求解. 【详解】如图： 过作与点，交直线与点，则为所求直线与的距离. 因，. 所以. 故选：A 6. 如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平面的法向量求出点，再计算点到直线的距离. 【详解】如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系， , 则， 则,，，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，且面， 则，即，得，故， 所以，， ，则， P到AB的距离为. 故选：C 教材44页第17题： 7. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可. 【详解】平面的方程为， 平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则 设直线与平面所成角为， 则 故选：A 【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系. 8. 已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 【答案】AB 【解析】 【分析】A根据周期公式；B检验是否等于；C求出，再结合正弦函数的性质即可；D检验是否为零即可. 【详解】，故A正确； ，则的图象关于直线对称， 故B正确； ，则， 而在上单调递增，在上单调递减，故C错误； ，故D错误. 故选：AB 10. 经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围为 B. 直线的倾斜角的取值范围为 C. 斜率的取值范围为 D. 斜率的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】通过数形结合，找到直线斜率的取值范围，再得到倾斜角的取值范围即可. 【详解】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴ 故选：BC 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断B. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确； ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确； 设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知两条平行直线，则与间的距离为______ 【答案】## 【解析】 【分析】将变形为，再根据两平行间的距离公式求解即可. 【详解】解：因为即为， 所以与间的距离 故答案为： 13. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面内，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设点关于平面的对称点为，求出点到平面的距离分别为，再由，得到答案. 【详解】如图所示，设点关于平面的对称点为，记点到平面的距离分别为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 故， 所以 . 故答案为：. 四、解答题（共80分） 15. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求与所成的角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【小问1详解】 因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 【小问2详解】 因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 16. 三角形的三个顶点是，，．求： （1）边上的中线所在直线的斜截式方程； （2）边上的高线所在直线的截距式方程； （3）边的垂直平分线的一般式方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程； （2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程； 【详解】（1）BC的中点坐标为 故中线的斜率 则边BC上的中线所在直线的方程为； 故边上的中线所在直线的斜截式方程为 （2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为 化为截距式方程为： （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为， 则边BC的垂直平分线的方程为 化为一般式方程为： 17. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简得解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. 小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则， 因此，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及已知得，解得， 由，得， 由余弦定理得，则， 所以. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. （1）若，求直线与所成角的余弦值； （2）若直线与平面所成角为45°，求实数值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，再根据向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，进而得到异面直线与所成角的余弦值； （2）同样先建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，再求出平面的法向量，最后根据直线与平面所成角的向量公式列出方程，求解得到的值. 【小问1详解】 建立空间直角坐标系并求点的坐标：以为正交基底，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，.因为为棱的中点，，，所以点坐标为； 又因为，，所以点坐标为. 所以，. 根据向量的夹角公式，， ，所以. 因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 因为，，所以点坐标为. 那么，，. 设平面的法向量为，有，即. 令，得，解得； 把，代入得，解得. 所以. 已知直线与平面所成角为，根据线面角向量关系（为线面角）， 则. 等式两边同时平方得. 化简：，即. 展开得. 移项整理得， 又因为，所以，解得. 19. 设直线l的方程为 （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. （3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】（1）或. （2） （3）面积的最小值是6，此时直线l的方程为 【解析】 【分析】（1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程. （2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围. （3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【小问1详解】 当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 , ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. 【小问3详解】 令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年9月高二上学期数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 2. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置.直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 5. 已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点三等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A. B. C. D. 教材44页第17题： 7. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 10. 经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线倾斜角的取值范围为 B. 直线的倾斜角的取值范围为 C. 斜率的取值范围为 D. 斜率的取值范围为 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知两条平行直线，则与间距离为______ 13. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______. 14. 已知正方体的棱长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面内，则的最小值为___________. 四、解答题（共80分） 15. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求与所成的角的余弦值. 16. 三角形的三个顶点是，，．求： （1）边上的中线所在直线的斜截式方程； （2）边上的高线所在直线的截距式方程； （3）边的垂直平分线的一般式方程． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. （1）若，求直线与所成角的余弦值； （2）若直线与平面所成角为45°，求实数值. 19. 设直线l的方程为 （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. （3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $