精品解析：吉林省多校2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题

2024—2025学年度上学期第一次月考 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为20分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷客观题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据直线方程求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角. 【详解】依题意可知直线的斜率为，故倾斜角为120∘. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线斜率与倾斜角，属于基础题. 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由二元二次方程表示圆的充要条件可知：，解得，故选A． 考点：圆的一般方程． 3. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【详解】设中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C． 4. “”是“直线和直线平行且不重合”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分必要条件的判断，结合直线的位置关系即可求解． 【详解】当时，两直线分别为：，， ∴两直线斜率相等且， ∴两条直线平行且不重合；充分性成立， 若两直线平行且不重合，则， ∴，必要性成立， 综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件， 故选：C． 5. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 6. 已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条直线的位置关系和所过的定点，结合圆与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】，所以直线恒过点， ，所以直线恒过点， 由两条直线的方程可以判断直线与直线互相垂直， 因此点在以为直径的圆上，线段中点为， 半径为， 圆的圆心为，半径为， 由已知条件可知点在圆：上， 所以圆与圆相交或相切，， 因此有， 解得：，所以则的最大值是， 故选：A 【点睛】关键点睛：通过直线方程判断交点的位置，根据圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键. 7. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由得，则求出，结合椭圆定义求出，再由可得答案. 【详解】由，得，则，则， 则，即，解得， 则， 因为，所以， 即，整理得， 则，解得或， 故或． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出，利用勾股定理求出答案. 8. 在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（ ） ①对任意三点A、B、C，都有 ②已知点P(3,1)和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； ④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点． 其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值； ③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断； ④讨论在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，， ，，如右图，结合三角形的相似可得，， 为，，，或，，，则，，，； 若，或，对调，可得，，，； 若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形， ，，，； 则对任意的三点，，，都有，，，；故①正确； 设点是直线上一点，且， 可得，， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，，，．无最值， 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为． 故②正确； ③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则， 若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确； ④定点、，动点 满足，，， 可得不轴上，在线段间成立， 可得，解得， 由对称性可得也成立，即有两点满足条件； 若在第一象限内，满足，，， 即为，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点． 故④正确； 综上可得，真命题的个数为4个， 故选:. 【点睛】 本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为 C. “直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线的距离为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线的两点式方程的适用范围，直线方程的求解，以及直线与直线位置关系的判断以及两平行线的距离公式，结合充分性和必要性的判断，对选项进行逐一分析即可判断. 【详解】A：若两点的纵坐标或者横坐标相等，则不能用该方程表示直线，故错误； B：直线l过点，且在x，y轴上截距相等，除直线外，还可以是直线，故错误； C：直线与直线垂直的充要条件是，解得或； 故，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故正确； D：因为直线，平行，则两平行直线的距离，故正确. 综上所述，正确的选项是CD. 故选：CD. 10. 已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若点到直线的距离为，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意，可判断得为正三角形，即可得，判断A；根据几何法求解弦长即可判断B，将的值转化为单位圆上的到直线的距离之和，取中点，从而转化为点到直线的距离的倍求解，数形结合可判断得在以点为圆心，半径为的圆上，从而求解出点到直线的距离的最值，即可得到直线的距离之和的最值，从而得的最值. 【详解】因为，是圆O：上两点， 当时，为正三角形，所以，A正确； 点到直线的距离为时，，B错误； 的值可转化为单位圆上的到直线 的距离之和，又， 所以为等腰三角形，设是的中点， 则，且， 则在以点为圆心，半径为的圆上， 两点到直线的距离之和为 点到直线的距离的倍， 点到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为， 最小值为，则两点到直线的距离之和 最大值为，最小值为. 所以的最大值为， 最小值为，C错误，D正确； 故选：AD 【点睛】方法点睛：对于圆上任意一点到直线距离的最值计算，需要先计算圆心到直线的距离，从而可求解距离的最大值为，最小值为. 11. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ） A. 最大时， B. 的最小值为 C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点三角形的面积，可知其最大值，再根据内切圆半径公式可判断A选项，根据外心的概念及向量的线性运算可判断B选项，根据内切圆的性质可得，即可判断C选项，再根据外接圆半径与内切圆半径的求法可判断D选项. 【详解】由，得，，， A选项：设，则，，，所以当点在短轴端点时，面积最大值为， 此时由内切圆性质可知， 则，A选项错误； 设，，则， B选项：如图所示，设中点为，则，所以， 又， 同理， 所以，当且仅当时，等号成立，B选项正确； C选项：设与交于点，由角分线定理可知，即，即， 所以，所以，C选项正确； D选项：设，由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 则，且，即，当且仅当时取等号， 所以， ， 所以， 则，D选项正确； 故选：BCD. 【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系． 第II卷主观题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与圆同圆心，且过点的圆的方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】设所求圆的方程为，代入点求出即可得所求圆的方程. 【详解】依题意，设所求圆的方程为， 由于所求圆过点，所以，解得. 所以所求圆的方程为． 故答案为: . 13. 圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆与圆相交得公共弦所在直线方程，再根据直线与圆相交弦长公式可得结论. 【详解】圆与圆的两方程作差得， 即公共弦所在直线方程为， 又圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 则圆被直线所截得的弦长为. 故答案为：. 14. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点作椭圆的切线，切点为T，若M为x轴上的点，满足，则点M的坐标为______. 【答案】（，0）或（，0） 【解析】 【分析】通过联立椭圆和切线方程，可解出坐标，进而利用，建立等式条件，解出点M的坐标 【详解】设的方程等于,不妨设在轴上方，即. 则联立与椭圆的方程，得,整理得，令，解得,此时方程为,解得 因此可知,由椭圆方程可知，所以,又因为，所以，， （如图）过T做x轴的垂线，记垂足为N ， 则可知,因此,设 ,则, , 在中，由正弦定理，, 即，解得或 故答案为：（，0）或（，0） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知直线经过点且与直线垂直，求直线的方程. （2）已知直线与轴，轴分别交于两点，的中点为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由垂直关系可得直线的斜率，进而由点斜式得到方程； （2）设出，利用中点坐标公式得到两点坐标，从而得到直线方程. 【详解】（1）直线的斜率，则， 故直线的方程为； （2）设，的中点为，知， 则直线的方程为． 16. 为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度为32米，拱桥顶点C离河面8米， （1）如果以跨度所在直线为轴，以中垂线为轴建立如图的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程； （2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要米．问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由． 【答案】（1） （2）船可以通过，理由如下： 可设船右上角竖直方向0.5米处点为， 代入圆方程左端得396.25＜400，所以点在圆内，故船可以通过 【解析】 【分析】（1）利用圆过点、可解出圆的方程； （2）只需判断点与圆的位置关系即可. 【小问1详解】 ，设圆心，圆的方程为： 由圆过点、可得，解得， ∴拱桥所在的圆方程是： 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆的焦点为和，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，，定值为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点设椭圆的方程为，代入点，即可得的值，从而求得椭圆标准方程； （2）当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设定点，联立直线与椭圆求得交点坐标关系，再根据向量的坐标运算求，消参即可确定定值，再检验直线的斜率为0时是否符合即可得结论. 【小问1详解】 已知椭圆的焦点为和，设椭圆的方程为， 将点代入椭圆方程， 得，解得（舍去），， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设定点. 联立方程组，消掉可得，恒成立. 设，可得， 所以 . 要使上式为定值，则，解得， 此时. 当直线的斜率为0时，， 此时，也符合. 所以存在点，使得为定值. 18. 已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，点，求的最大值和最小值； （3）过点的直线与点的轨迹相交于两点，点，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）； （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程求解即可； （2）根据对称性求出Q点的轨迹方程，再利用三角换元即可求解； （3）联立直线与圆的方程求得的范围，再利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式求得取得最大值时的值，从而得解. 【小问1详解】 由已知， 化简得，即， 所以点P的轨迹方程为； 【小问2详解】 依题意，设， 因为点与点关于点对称，，所以点P坐标为， 因为点P在圆上运动，所以， 即点Q的轨迹方程为， 不妨设， ， 其中， 则当时，取得最大值； 当时，取得最小值； 【小问3详解】 由题意知的斜率一定存在， 不妨假设存直线的斜率为k，且，则， 联立方程：， 所以， 又因为直线不经过点，则， 因为点到直线的距离，， 所以， 因为， 所以当时，取得最大值2，此时， 所以直线的方程为或. 19. 已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②存在；． 【解析】 【分析】（1）由的周长可求出的值，从而由离心率的值可求得，进而由椭圆中的关系求出的值，即可得椭圆的标准方程. （2）①直线l的方程为，与椭圆方程联立求出点的坐标，再建立空间直角坐标系，求出点的坐标，从而可得，再利用空间向量的夹角公式即可求解. ②由8，可得，设折叠前，直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式化简整理即可求出的值，从而可得直线l的斜率，进而可得tan的值. 【详解】解：（1）由椭圆的定义知： ， 所以的周长，所以， 又椭圆离心率为，所以，所以，， 由题意，椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为； （2）①由直线：与， 联立求得，（因为点在轴上方）以及， 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则 ，，，， ，． 记异面直线和所成角为，则； ②设折叠前，，折叠后，在新图形中对应点记为，，，， 由，，故， 将直线方程与椭圆方程联立，得， ，， 在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）； ，， 所以，（i） 又， 所以，（ii） 由（i）（ii）可得， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 因为，所以． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形周长的变化，得到，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期第一次月考 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为20分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷客观题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 3. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“直线和直线平行且不重合”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 6. 已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（ ） ①对任意三点A、B、C，都有 ②已知点P(3,1)和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； ④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点． 其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为 C. “直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线的距离为 10. 已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若点到直线的距离为，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为 11. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ） A. 最大时， B. 的最小值为 C. D. 的取值范围为 第II卷主观题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与圆同圆心，且过点的圆的方程是________. 13. 圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为__________． 14. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点作椭圆的切线，切点为T，若M为x轴上的点，满足，则点M的坐标为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知直线经过点且与直线垂直，求直线的方程. （2）已知直线与轴，轴分别交于两点，的中点为，求直线的方程. 16. 为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度为32米，拱桥顶点C离河面8米， （1）如果以跨度所在直线为轴，以中垂线为轴建立如图的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程； （2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要米．问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由． 17. 已知椭圆的焦点为和，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由. 18. 已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，点，求的最大值和最小值； （3）过点的直线与点的轨迹相交于两点，点，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $