精品解析：福建省安溪第八中学2024-2025学年高一上学期第一次质量检测数学试题

2024年秋季安溪八中高一年第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：许晓进 2024.10.8 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、智学网帐号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 6. 下列命题中真命题的个数是（ ） ①命题“，”的否定为“，”； ②“”是“”的充要条件； ③集合，表示同一集合． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知集合，若有两个元素，则实数取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 以下正确的选项是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 11. 设为实数集R的非空子集．若对任意，，都有，，，则称为封闭集．下列命题正确的是（ ） A. 自然数集N为封闭集 B. 整数集Z为封闭集 C. 集合为封闭集 D. 若为封闭集，则一定有 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 13. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围为_________． 14. 已知，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知，，求，求的最小值. （2），求的最大值. 17. （1）已知集合，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求取值范围. 18. 已知集合. （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; （3）若中至多只有一个元素，求的取值范围; 19. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等. 例如，，求证. 证明：. 阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数，满足，求的最小值. 解：由，得，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为. 结合阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若正实数，满足，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季安溪八中高一年第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：许晓进 2024.10.8 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、智学网帐号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集运算求解即可. 【详解】, 故选：C. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】，，则. 故选：D. 3. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可. 【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必， 所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件， 故选：B 4. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 5. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将集合描述化为相同的形式，即可判断它们的关系. 【详解】由， 由，， 所以或， 而， 当时，；当时，, 其中元素表达式中分子都表示奇数，所以. 故选：A 6. 下列命题中真命题的个数是（ ） ①命题“，”的否定为“，”； ②“”是“”的充要条件； ③集合，表示同一集合． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义、充要条件的定义、集合的定义判断各命题． 【详解】①全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定为“，”，正确； ②且，则，反之，如，但此时，因此不是充要条件 ，错误； ③集合，不是同一集合．错误， 正确的命题只有一个． 故选：B. 7. 已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解出集合，结合有两个元素求解即可. 【详解】因为， 由于有两个元素， 则或， 解得或， 所以实数的取值范围是或. 故选：C. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入后利用基本不等式可求的得最大值． 【详解】令，则， 代入得， 由基本不等式：所以，可得， 当且仅当时取等号， 所以时，面积取得最大值． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 以下正确的选项是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，利用不等式的性质，即可判断选项A的正误；选项B和D，通过取特殊值，即可判断出选项D和D的正误；选项C，由，得到，即可判断选项C的正误. 【详解】对于选项A，由，得到，又，所以，故选项A正确， 对于选项B，取，显然有，，但，不满足，所以选项B错误， 对于选项C，由，得到，又，所以，即， 所以，故选项C正确， 对于选项D，取，显然有，，但，所以选项D错误， 故选：AC. 10. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】对于A，因为，则函数对称轴为， 所以取得最大值时的值为，故A错误； 对于B，令， 若，，，，当时取等号， 所以，则，则的最大值为，故B错误； 对于C，函数， 令，当时，解得，不满足题意，故C错误； 对于D，若，，且， 所以， 当时，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABC. 11. 设为实数集R的非空子集．若对任意，，都有，，，则称为封闭集．下列命题正确的是（ ） A. 自然数集N为封闭集 B. 整数集Z为封闭集 C. 集合为封闭集 D. 若为封闭集，则一定有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据封闭集的定义，举反例判断A；根据封闭集定义可判断BC；由封闭集定义可推出，判断D． 【详解】对于A，取1，，则，，故自然数集N不是封闭集； 对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集； 对于C，设都是整数， 则，，故， 同理， ， 故集合为封闭集，C正确； 对于D，若为封闭集，若，则，D正确． 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 【答案】－3 【解析】 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 13. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出成立的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立不等式求解即可. 【详解】由：，即：， ：， 又是的必要不充分条件， 则， 因此可得，即， 故答案为：. 14. 已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，再利用基本不等式可得，从而可求解. 【详解】，当且仅当的时候取“”， 又，当且仅当的时候取“. 综上，当的时候，不等式取“”条件成立，此时最小值为12. 故答案为：12. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用并集、补集的定义求解即得. （2）利用给定交集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得. 【小问1详解】 当时，，而，因此， 所以或. 【小问2详解】 由，得， 当时，则，解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 16. （1）已知，，求，求的最小值. （2），求的最大值. 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式易求得的最小值； （2）根据“和定积最大”，由基本不等式易求的最大值. 【详解】（1）因，，， 则 当且仅当时取等号，由，解得. 即当，时，有最小值为； （2）因，则，由， 当且仅当时取等号. 即时有最大值为1. 17. （1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由真包含于构造不等式即可求解； （2）通过与同时为真命题，求范围，再求补集即可. 【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于 而，显然 于是，解得， 所以的取值范围为； （2）当命题为真命题时， 当命题真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得 故与不同时为真命题时，的取值范围是. 18. 已知集合. （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; （3）若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【答案】（1） （2）时，元素为；时，元素为 （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得方程无解，利用即可求解. （2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解. （3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解. 【小问1详解】 若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. 【小问2详解】 若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，， 解得， 此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. 【小问3详解】 若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 19. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等. 例如，，求证. 证明：. 阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数，满足，求的最小值. 解：由，得，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为. 结合阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若正实数，满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将直接代入所求式子即可求解. （2）由题可得，代入化简，令，结合基本不等式即可求出的最大值，进而得出的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以 . 【小问2详解】 由题知，， ， 因为， 所以， 所以， 令， 因为，所以， 因为，当且仅当时取等， 所以， 所以， 所以， 所以， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$