精品解析：江西省上饶市横峰中学2024-2025学年高二上学期期初考试数学试题

横峰中学2024-2025学年度第一学期高二年级期初考试 数学试卷 满分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若直线和直线平行，则m的值为（ ） A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于和直线平行， 所以，解得， 故选：A 2. 下列选项中，函数，的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据正弦函数图象判断即可. 【详解】根据正弦函数图象判断D选项符合题意. 故选：D. 3. 已知平面向量，，若，则x=（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】平面向量，，若，则，所以. 故选：B. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式即可求解． 详解】 ． 故选：A． 5. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 则复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：D 6. 已知直线和两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若和相交，与相交，则与一定也相交 【答案】A 【解析】 【分析】A利用线面平行性质、面面垂直的判定即可判断；B、C、D由线面、面面的位置关系，根据平面的基本性质判断线面关系即可. 【详解】A：由，过的平面交面于，则，而，故，，所以，正确； B：，则或，错误； C：，则或，错误； D：若和相交，与相交，则与可能相交、平行或，错误. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把给定等式两边平方，利用同角公式、二倍角的正弦公式计算作答. 【详解】因，则有，即，解得， 所以. 故选：D 8. 已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求. 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：以为整体，可得，结合正弦函数零点分析可知右端点的取值范围，进而可得的取值范围. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若复数z满足(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是（ ） A. z实部为2 B. z的虚部为 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数除法运算，复数的概念，共轭复数的概念以及复数的模长公式计算，可得答案. 【详解】由题意知， 则z的实部为1，虚部为2，，. 故选：CD. 10. 已知平面向量，，则下列命题中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量的定义判断A，由模的坐标表示求出模判断B，根据垂直的坐标表示判断C，由数量积求得向量的夹角余弦判断D． 【详解】对于A，由于向量不能比较大小，故A错误； 对于B，∵，∴，故B正确； 对于C，∵，∴不成立，故C错误； 对于D，∵，故D正确． 故选：BD． 11. 正方体中，M，N分别是正方形和正方形的中心，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与直线是相交直线 B. 直线与直线是异面直线 C. 直线与直线是相交直线 D. 直线与直线没有公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】直线与直线相交于，A正确，根据异面直线判断定理得到BD正确，C错误，得到答案. 【详解】对选项A：直线与直线相交于，正确； 对选项B：三点在平面内，在平面外， 故直线与直线是异面直线，正确； 对选项C：三点在平面内，在平面外， 直线与直线是异面直线，错误； 对选项D：在平面内，在平面外， 直线与直线是异面直线，正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点与点间的距离是，则实数________. 【答案】或 【解析】 【分析】通过两点之间的距离公式求解即可. 【详解】∵， ∴，解得或； 故答案为：或 13. 在中，，其面积为，则边______. 【答案】10 【解析】 【分析】由三角形的面积公式求解． 【详解】由，得， 得， 故答案为：10 14. 我国南北朝的伟大科学家祖暅于5世纪提出了著名的祖暅原理，意思就是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图1，为了求半球的体积，可以构造一个底面半径和高都与半球的半径相等的圆柱，与半球放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一个新几何体，用任何一个平行底面的平面去截它们时，两个截面面积总相等.如图2，某个清代陶瓷容器的上、下底面为互相平行的圆面（上底面开口，下底面封闭），侧面为球面的一部分，上、下底面圆半径都为6cm，且它们的距离为24cm，则该容器的容积为______（容器的厚度忽略不计）． 【答案】 【解析】 【分析】构造一个底面半径为，高为12的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得容器的体积的一半等于圆柱的体积减去等高的小圆锥的体积. 【详解】先求容器一半的体积，根据图一左图，可知， 则球的半径为，且上底面圆的面积为， 建立一个底面半径为，高为12的圆柱，如图一右图， 那么根据祖暅原理，挖去一个与圆柱等高的小圆锥， 其底面面积为， 所以， 所以整个容器的容积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，构建圆柱，圆锥，通过计算得到高相等时截面面积相等，根据祖暅原理得到几何体的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，其中． （1）若为纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的有关概念可得，解之即可求解； （2）根据复数的几何意义可得，解之即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得，． 【小问2详解】 由题意可得， 即或，解得， 即的取值范围是． 16. 已知分别为内角的对边，且. （1）求角A； （2）若，求边. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理将边化角，然后化简即可； （2）运用余弦定理求解边长即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为,所以， 所以， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 在中，， 所以由余弦定理得， 整理得， 解得（舍去），或 17. 已知向量． （1）证明：； （2）与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）且 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，根据平面向量垂直的坐标运算证明； （2）转化为，且不平行. 【小问1详解】 根据题意，， 则，所以； 【小问2详解】 与的夹角为钝角，， 则， 解得， 若向量，则，得，经验证满足同向共线， 所以且. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，连接，即可得到，从而得到，即，再由，得到平面，即可得证； （2）由利用等体积法求出点到平面的距离； 【小问1详解】 证明：如图，过点作，连接. 因为，，，所以， 所以，. 又因为，所以， 由勾股定理逆定理得，即. 因为，，平面，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解：设点到平面的距离为. 由（1）可知，，. 在等腰中，，， 所以.由等体积法可得，， 所以，即，解得 故点到平面的距离为. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数” （1）判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； （2）若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围； （3）若，，是，“9重覆盖函数”，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定定义判断即可. （2）利用给定定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）利用给定定义转化为函数交点问题，利用数形结合法求解即可. 【小问1详解】 ， ， ，， 故的值域为，当时，， 此时，不是的“4重覆盖函数”， 【小问2详解】 ，， 的图像如下： 是的“3重覆盖函数”， ， 在成立， ， 【小问3详解】 ， ，令， 为的“9重覆盖函数”， 即有9个实数根， 即有9个实数根， 因为与的图像如下， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上，要满足题意，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后转化为零点问题，再转化为交点问题建立不等式组，得到所要求的参数范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 横峰中学2024-2025学年度第一学期高二年级期初考试 数学试卷 满分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若直线和直线平行，则m的值为（ ） A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. 2. 下列选项中，函数，的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若，则x=（ ） A. B. C. D. 6 4 （ ） A. B. C. D. 5. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线和两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若和相交，与相交，则与一定也相交 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若复数z满足(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是（ ） A. z的实部为2 B. z的虚部为 C. D. 10. 已知平面向量，，则下列命题中正确的有（ ） A B. C. D. 11. 正方体中，M，N分别是正方形和正方形的中心，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与直线是相交直线 B. 直线与直线是异面直线 C. 直线与直线是相交直线 D. 直线与直线没有公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点与点间的距离是，则实数________. 13. 在中，，其面积为，则边______. 14. 我国南北朝的伟大科学家祖暅于5世纪提出了著名的祖暅原理，意思就是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图1，为了求半球的体积，可以构造一个底面半径和高都与半球的半径相等的圆柱，与半球放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一个新几何体，用任何一个平行底面的平面去截它们时，两个截面面积总相等.如图2，某个清代陶瓷容器的上、下底面为互相平行的圆面（上底面开口，下底面封闭），侧面为球面的一部分，上、下底面圆半径都为6cm，且它们的距离为24cm，则该容器的容积为______（容器的厚度忽略不计）． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知，其中． （1）若为纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 16. 已知分别为内角的对边，且. （1）求角A； （2）若，求边. 17. 已知向量． （1）证明：； （2）与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. 19. 已知函数和定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数” （1）判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； （2）若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围； （3）若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$