精品解析：福建省厦门市双十中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

福建省厦门双十中学2026届高二上第一次月考 数学试题 本试卷共4页.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与垂直，则实数的值是（ ） A. 0或3 B. 3 C. 0或 D. 4. 在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（ ） A. B. C. D. 4 6. 已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 8. 已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 10. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最小值为 C. 存在点使 D. 直线过定点 11. 已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ） A. 曲线的图象由两个圆构成 B. 的最大值为 C. 的取值范围为 D. 直线与曲线有且仅有3个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是直线的一个法向量，则直线的斜率为__________，倾斜角的大小为______． 13. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于M，N两点.若，则椭圆的离心率为______. 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 16. 已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 17. 已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点. （1）求点B的坐标； （2）O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切． （1）求圆O的方程； （2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值； （3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的直线 （1）若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程； （2）当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由； （3）是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门双十中学2026届高二上第一次月考 数学试题 本试卷共4页.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出直线经过的点，利用直线斜率公式求得直线斜率，继而得到直线的倾斜角. 【详解】依题意，直线经过点， 则直线的斜率为, 故直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 3. 已知直线与垂直，则实数的值是（ ） A. 0或3 B. 3 C. 0或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出的值 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 故实数的值是. 故选：D. 4. 在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的位置和直线所过定点，判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 直线过圆内定点，斜率可正可负可为0， ABD选项都有可能，C选项不可能. 故选：C. 5. 已知圆，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，由关于直线的对称点在入射光线上，由两点求斜率公式求解. 【详解】解：由，得，圆心为， 由已知，反射光线经过，故点关于直线的对称点在入射光线上. 且光源，入射光线的斜率. 故选：. 【点睛】本题考查圆的切线方程，考查直线、点关于直线的对称问题，属于基础题. 6. 已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，计算可得结论. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又，所以， 所以， 因为，所以. 故选：A. 7. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 8. 已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆关于直线对称圆的方程，N点关于直线的对称点在圆上，， ，而要取最小，则三点共线即可．的最小值可通过求解． 【详解】 圆关于直线对称的曲线 N点关于直线的对称点在圆上， 则有，故 当M，P，三点共线时，距离和最小． 从而转化成求M，两点距离的最小值． 而， 故选：D 【点睛】本题主要考查两圆上点的距离最值问题．由于一个动点在直线上，两圆在直线的一侧，因此把其中一圆关于直线对称，由对称圆来求解最小值． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 10. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最小值为 C. 存在点使 D. 直线过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 11. 已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ） A. 曲线的图象由两个圆构成 B. 的最大值为 C. 的取值范围为 D. 直线与曲线有且仅有3个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，化简方程为，结合圆的标准方程，可判定A正确；由表示点到原点距离的平方，可判定B错误；设过点且与圆相切的直线方程为，结合点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，可判定C正确；由直线与圆均相切，可判定D错误． 【详解】对于A中，由，得， 即，即， 所以或， 即或， 所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆，所以A正确； 对于B中，由表示点到原点距离的平方， 最大值为，所以B错误； 对于C中，如图所示，设过点且与圆相切的直线方程为， 则点到该直线的距离，解得， 即图中直线的斜率为1，可得直线的方程为， 点到直线的距离，则直线与圆相切， 设过点且与圆相切的直线方程为， 则点到该直线的距离，解得， 又由表示的是点到点的斜率， 故的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由C项可知直线与圆均相切， 所以直线与曲线有且仅有2个交点，所以D错误． 故选：AC． 【点睛】方法点睛：有关与圆有关的最值问题的求解策略： 1、借助几何性质与圆的有关最值问题，根据代数式的几何意义，结合数形结合思想求解： ①形如：形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； ②形如：形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ③形如：的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题； 2、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解； 3、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是直线的一个法向量，则直线的斜率为__________，倾斜角的大小为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由直线的法向量得到直线斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意知，向量是直线的一个法向量，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，可得 则直线的倾斜角的大小为. 故答案为：；. 13. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于M，N两点.若，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【详解】设是椭圆的右焦点，连接，由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得，即， 解得，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可． 【详解】由题意可知，动直线，经过定点， 动直线即，经过定点， 时，动直线和动直线的斜率之积为， 时，也垂直， 所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， ， ． 设，则，， 由且，可得， ， ， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围. 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程； （2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长. 16. 已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【答案】（1） （2） 设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值． 【解析】 【分析】（1）设，根据，求出，代入圆的方程，可得解； （2）设，求出直线，从而得到点的坐标，化简，得证. 【小问1详解】 根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法： （1）直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含的等式，就得到轨迹方程。 （2）相关点法：若轨迹点与已知曲线上的动点有关联，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程。 （3）定义法：运用解析几何中一些常用定义（圆锥曲线的定义），再从曲线定义出发直接写出轨迹方程。 （4）参数法（交轨法）：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把联系起来．其实某种意来说，交轨法也可看作参数法。 （5）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题一般可用点差法， 17. 已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点. （1）求点B的坐标； （2）O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）点B与点A关于直线对称，则直线直线，且线段的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标； （2）利用关系式可以得出点的轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可. 【小问1详解】 设，，因为点B与点A关于直线的对称，则有 线段的中点在直线上，即①， 又直线直线，且直线的斜率为，则①， 联立①①式子解得， 故点B的坐标 【小问2详解】 设，由，则， 故，化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径. 又因为直线与圆有公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径，则， 解得. 故的取值范围为. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切． （1）求圆O的方程； （2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值； （3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）根据圆和直线的位置关系求得圆的方程. （2）根据圆心到直线的距离列方程，化简求得的值. （3）设出的坐标，根据列方程，利用特殊值求得的值，同时求得点的坐标. 【小问1详解】 由于，，则线段与轴平行，且与圆相切. 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由于，所以， 由于三角形是等腰直角三角形，所以到直线的距离为， 所以. 【小问3详解】 直线的方程为，假设存在符合题意的点，设， 则①， 由于的任意性，不妨设或，带入①得， ，解得或（舍去）， 所以（负根舍去）， 将带入①得， 整理得，则在圆上. 所以，这样的点是存在的，坐标为，此时. 【点睛】关键点睛：求解圆的方程，关键点在于求得圆心和半径.求解直线和圆的位置关系有关问题，可以利用圆心到直线的位置关系来进行求解.求解存在性问题，可先假设存在，然后根据需要满足的条件列式，再结合已知条件来进行判断. 19. 已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的直线 （1）若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程； （2）当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由； （3）是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 由于和直线的夹角相等得夹角正切值相等，则， 所以或， 解得（舍）或. （3）的最大值为取最大值4时，的轨迹方程为或 【解析】 【分析】（1）根据题意确定即可确定最后一条反射光线的方程； （2）由于和直线的夹角相等得，即可得两条光线的斜率之间的关系； （3）由题意得当且时停止反射，设的斜率为，对进行分类讨论确定每种情况下的反射次数，即可得的最大值，及的轨迹方程. 【小问1详解】 由题可得的斜率为，故的方程为， 联立，解得，则， 设关于的对称点为，所以， 则关于的对称点为， 经过和，故的直线方程为， 所以，的斜率为，故的直线方程为， 后面不会再进行反射，所以最后一条反射光线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得当且时光线停止反射，设的斜率为， 1）当在直线上时，或不存在， ①当时，，反射1次； ②当时，，反射2次； ③当时，，反射3次； ④当时，不存在，不存在，，反射3次； ⑤当时，，反射4次； ⑥当不存在时，，反射1次； 2）当在轴上时，或不存在， ①当时，，反射2次； ②当时，，反射1次； ③当时，，反射4次； ④当时，反射3次； ⑤当不存在时，不存在，，反射2次； 综上，的最大值为4，由1），2）可知，取最大值4时，的轨迹方程为或. 【点睛】关键点睛，本题第3小问的解决关键是结合题意，确定当且时光线停止反射，同时，光线与轴发生镜面反射时，前后光线斜率关系为；光线，光线与直线发生镜面反射时，前后光线斜率关系为，由此得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $