精品解析：海南省琼海市嘉积中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

海南省琼海市嘉积中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题 1. 已知集合.则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ） A. 所有正方形都是菱形 B. ，使 C. 至少有一个实数，使 D. ，使 3. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 6. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28 二、多选题 9. 若集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11. 设，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为__________ ． 13. 已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是________． 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______ 四、解答题 15. 求下列不等式的解集： （1）． （2）； 16. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 17. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）若，解关于的不等式． 18. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 19. 小明今年年初用16万元购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估算，每年可有16万元的总收入，已知使用x年（）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为万元（今年为第一年）. （1）该出租车第几年开始盈利（总收入超过总支出）？ （2）该车若干年后有两种处理方案： ①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出； ②当年平均盈利达到最大值时，以10万元卖出. 试问哪一种方案较为合算？请说明理由. 参考数据：，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省琼海市嘉积中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题 1. 已知集合.则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合中的元素，进而逐项判断即可； 【详解】 A，C选项使用符号错误，，B错，，D对； 故选：D 2. 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ） A. 所有正方形都是菱形 B. ，使 C. 至少有一个实数，使 D. ，使 【答案】C 【解析】 【分析】先判断量词，再判断量词命题的真假即可得解. 【详解】A，所有正方形都是菱形为全称量词命题，故A错误； B，，使为存在量词命题， 而恒成立，该命题为假命题，故B错误； C，至少有一个实数，使为存在量词命题， 当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确； D，，使为存在量词命题， 而恒成立，该命题为假命题，故D错误； 故选：C. 3. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，再求， 【详解】因为，且， 所以， 因为，，所以， 所以． 故选：B． 4. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，当时，由，得，B不是； 对于C，，可能有，如，C不是； 对于D，由，得，则；若，则，D是. 故选：D 5. 若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合元素与集合的关系计算即可得. 【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为. 故选：C. 6. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定可得否定命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为：B. 7. 已知实数且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由等式得到关于的表达式，再由条件得到，进而分析各不等式得到的取值范围，从而得解. 【详解】由，得， 因为且，所以， 所以由，得，所以， 由，得，所以， 由，得， 综上，，即. 故选：B. 8. 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，由题意得到 ，再由教师人数的两倍多于男学生人数得到x的范围求解. 【详解】设教师人数为，家长人数为y，女学生人数为z， 男学生人数为t，x、y、z、t∈Z， 则，， 则， 又教师人数的两倍多于男学生人数，，解得， 当时，，此时总人数最少为22. 故选: B. 二、多选题 9. 若集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项． 【详解】由于，即是的子集，故，，A错误，B正确； 从而，，C正确，D错误. 故选：BC． 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 11. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为__________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定的韦恩图，利用补集、交集定义求解即得. 【详解】由集合，，得，而， 所以图中的阴影部分表示的集合. 故答案为： 13. 已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得、为关于的方程的两根且，利用韦达定理，即可得到，，再代入目标不等式，解得即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是或， 所以、为关于的方程的两根且， 所以，则，， 所以不等式，即，即， 解得，所以不等式的解集是. 故答案为： 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，解不等式求出实数的取值范围. 【详解】因为，，所以，，所以，. 要使恒成立，只需恒成立. 因为，所以， 所以 . 当且仅当，即时取等号. 所以，解得：. 即实数的取值范围是. 四、解答题 15. 求下列不等式的解集： （1）． （2）； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）化为一元二次不等式即可求解；（2）根据分式不等式的性质，化为同解不等式即可求解. 【小问1详解】 原不等式可化为， 即， 解得或， 所以，原不等式的解集为或 【小问2详解】 原不等式等价为 解得， 原不等式的解集为 16. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，可得，则或，然后求交集即可； 由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 当时，，或， 因为，所以； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，即， 当时，，此时，满足， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为 17. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 因为且，所以，即， 又，所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 【小问2详解】 当时，不等式，即为，即； 当时，解得，所以不等式的解集为； 当时，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，所以不等式的解集为； 当时，，解得，所以不等式的解集为； 当时，，解得，所以不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 19. 小明今年年初用16万元购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估算，每年可有16万元的总收入，已知使用x年（）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为万元（今年为第一年）. （1）该出租车第几年开始盈利（总收入超过总支出）？ （2）该车若干年后有两种处理方案： ①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出； ②当年平均盈利达到最大值时，以10万元卖出. 试问哪一种方案较为合算？请说明理由. 参考数据：，，. 【答案】（1）第二年 （2）方案二，理由如下： ， ① 所以当时，盈利总额达到最大值33 所以7年时间共盈利34万； ②年平均盈利， 当且仅当即时，等号成立， 所以4年时间共盈利万, 两个方案盈利总数一样，但是方案二时间短，比较合算. 【解析】 【分析】（1）由题意可知扣除支出后的纯收入，,令，可解； （2）方案①，所以7年时间共盈利34万 方案②年平均盈利，所以4年时间共盈利万，两个方案盈利总数一样，但是方案二时间短，比较合算. 【小问1详解】 由题意可知扣除支出后的纯收入， 令，解得： 又 且 即从第二年开始盈利 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $