第03讲 二项式定理（十五大题型）（讲义）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第03讲 二项式定理 目录 01 考情透视·目标导航 2 02 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 4 知识点2：二项式展开式中的最值问题 5 知识点3：二项式展开式中系数和有关问题 6 题型一：求二项展开式中的参数 7 题型二：求二项展开式中的常数项 7 题型三：求二项展开式中的有理项 8 题型四：求二项展开式中的特定项系数 8 题型五：求三项展开式中的指定项 9 题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 10 题型七：求二项式系数最值 10 题型八：求项的系数最值 11 题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 12 题型十：求奇数项或偶数项系数和 13 题型十一：整数和余数问题 13 题型十二：近似计算问题 14 题型十三：证明组合恒等式 15 题型十四：二项式定理与数列求和 17 题型十五：杨辉三角 18 04真题练习·命题洞见 20 05课本典例·高考素材 21 06易错分析·答题模板 22 易错点：混淆项的系数与二项式系数 22 答题模板：求二项展开式中的特定项或项的系数 23 考点要求 考题统计 考情分析 （1）二项式定理 （2）二项式系数的性质 2024年北京卷第4题，4分 2024年甲卷（理）第13题，5分 2023年北京卷第5题，4分 2023年天津卷第11题，5分 2023年上海卷第10题，5分 2022年I卷第13题，5分 (1)今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,难度中等偏下,与教材相当. (2)本节内容在高考中的比重可能会持续降低,但仍然是备考的重要内容. 复习目标： （1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点1：二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． （3）两个常用的二项展开式： ①（） ② （4）二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 【诊断自测】已知在的二项展开式中，各项系数和为，则展开式中，含项的系数为 . 知识点2：二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （2）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 【诊断自测】设为整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 ． 知识点3：二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 【诊断自测】设，则 . 题型一：求二项展开式中的参数 【典例1-1】在展开式中的系数为，则的值为 . 【典例1-2】已知二项式的展开式中的常数项为，则 . 【方法技巧】 在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则． 【变式1-1】（2024·四川成都·模拟预测）在的展开式中，常数项为90，则 ． 【变式1-2】在的展开式中，的系数为12，则的值为 ． 【变式1-3】（2024·高三·上海·开学考试）已知二项式的展开式中存在常数项，正整数的最小值为 ． 【变式1-4】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知展开式中的系数为80，则 . 题型二：求二项展开式中的常数项 【典例2-1】（2024·高三·浙江·开学考试）的展开式中，常数项为 ． 【典例2-2】（2024·高三·江苏·开学考试）展开式中的常数项为 . 【方法技巧】 写出通项，令指数为零，确定，代入． 【变式2-1】 的展开式中的常数项为 .（请用数字作答） 【变式2-2】二项式的展开式中的常数项为 ． 【变式2-3】 的二项展开式中的常数项为 .（结果用数值表示） 【变式2-4】（2024·全国·模拟预测）的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为 ． 题型三：求二项展开式中的有理项 【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）的展开式中，有理项是第 项． 【典例3-2】（2024·山东烟台·三模）已知的展开式中共有项，则有理项共 项．（用数字表示） 【方法技巧】 先写出通项，再根据数的整除性确定有理项． 【变式3-1】已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为 ． 【变式3-2】（2024·高三·上海·单元测试）二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数为 ． 【变式3-3】（2024·高三·吉林通化·期中）在的展开式中，有理项的个数为 ． 【变式3-4】在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 【变式3-5】已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项 ． 题型四：求二项展开式中的特定项系数 【典例4-1】二项式展开后的第三项是 【典例4-2】（2024·浙江绍兴·二模）的展开式的第四项为 . 【方法技巧】 写出通项，确定r，代入． 【变式4-1】（2024·陕西渭南·二模）展开式中的项是 . 【变式4-2】（2024·湖北·模拟预测）展开式中项的系数为 . 【变式4-3】二项式的展开式的中间项为 【变式4-4】（2024·高三·上海浦东新·期中）的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）. 题型五：求三项展开式中的指定项 【典例5-1】（2024·高三·江苏南京·开学考试）的的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．20 D． 【典例5-2】（2024·江苏南京·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 【方法技巧】 三项式的展开式： 若令，便得到三项式展开式通项公式： ， 其中叫三项式系数． 【变式5-1】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）的展开式中的系数是（    ） A．5 B．10 C．20 D．60 【变式5-2】（2024·新疆喀什·三模）展开式中，的系数为（    ） A．20 B．30 C．25 D．40 【变式5-3】（2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（    ） A．10 B． C．60 D． 【变式5-4】（2024·河北沧州·二模）在的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 【典例6-1】（2024·高三·全国·课后作业）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．7168 D． 【典例6-2】（2024·北京大兴·三模）在的展开式中，x的系数为（   ） A．9 B．15 C． D． 【方法技巧】 分配系数法 【变式6-1】（2024·西藏·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B．4 C． D．8 【变式6-2】已知展开式中的系数为28，则该展开式的各项系数和为（    ） A． B． C．0 D． 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．3 D．27 【变式6-4】（2024·福建福州·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．34 D．74 题型七：求二项式系数最值 【典例7-1】（2024·贵州·模拟预测）的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 .（用数字作答） 【典例7-2】已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 【方法技巧】 利用二项式系数性质中的最大值求解即可． 【变式7-1】 的展开式中所有二项式系数的最大值是 （用数字作答）． 【变式7-2】已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ． 【变式7-3】已知的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为 . 【变式7-4】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 . 题型八：求项的系数最值 【典例8-1】已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【方法技巧】 有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小． 【变式8-1】（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【变式8-2】已知为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【变式8-3】 的展开式中，系数最大的项是（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【变式8-4】（2024·四川雅安·一模）的展开式中，系数最小的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 【典例9-1】（2024·四川乐山·三模）设，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 【典例9-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】 二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：． 系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：． 【变式9-1】若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 【变式9-2】（2024·陕西·模拟预测）若的展开式中的各项系数和为243，则（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【变式9-3】已知，则下列描述正确的是（   ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 【变式9-4】已知，则（    ） A． B．14 C． D．7 【变式9-5】（2024·全国·模拟预测）已知，若，且，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-6】（2024·福建福州·模拟预测）设是常数，对于，都有，则（    ） A．2019 B．2020 C．2019! D．2020! 【变式9-7】若，则（    ） A． B． C． D． 题型十：求奇数项或偶数项系数和 【典例10-1】设，则 ． 【典例10-2】（2024·高三·河北保定·开学考试）若，则 . 【方法技巧】 ，令得系数和：①； 令得奇数项系数和减去偶数项系数和：②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和． 【变式10-1】（2024·广东·一模）若 ，则 . 【变式10-2】已知多项式，则 ． 【变式10-3】（2024·浙江·模拟预测）当，则 ． 【变式10-4】（2024·湖南邵阳·一模）已知，则 . 题型十一：整数和余数问题 【典例11-1】（2024·湖北·模拟预测）被9除的余数为（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 【典例11-2】（2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【变式11-1】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（    ） A．2010 B．2021 C．2019 D．1997 【变式11-2】若能被25整除，则正整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式11-3】（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如和被除得的余数都是，则记.若，且，则的值可以是（    ） A．4021 B．4022 C．4023 D．4024 【变式11-4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，则的值可以是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 题型十二：近似计算问题 【典例12-1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【典例12-2】（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【变式12-1】（2024·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2024·江西南昌·一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理： 对于任意实数， 当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作： . 用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930 【变式12-3】二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数） 【变式12-4】用二项式定理估算 .（精确到0.001） 【变式12-5】 （精确到0.01） 题型十三：证明组合恒等式 【典例13-1】求证： 【典例13-2】求证： 【变式13-1】求证： 【变式13-2】（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义. (1)若，求和； (2)求 ； (3)证明： 【变式13-3】莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为. (1)求的值； (2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论. 【变式13-4】（1）求证：； （2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：. （3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数. 题型十四：二项式定理与数列求和 【典例14-1】 （    ） A． B． C． D． 【典例14-2】已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2024·河南洛阳·三模）若，则的值为（　　） A． B．1 C．0 D． 【变式14-3】若，且，则实数的值为 . 【变式14-4】对于，将n表示为，当时，.当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）.若，则 . 【变式14-5】已知等差数列，对任意都有成立，则数列的前项和 ． 【变式14-6】设是正整数，化简 . 题型十五：杨辉三角 【典例15-1】如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 ． 【典例15-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 【变式15-1】我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为，则 . 【变式15-2】在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.    【变式15-3】如图所示的梯形数阵中，第行第个数的值为       【变式15-4】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记作数列，若数列的前n项和为，则 ． 1．（2024年北京高考数学真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（2022年新高考北京数学高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 3．（2024年上海市1月春考数学试题） 展开式中的系数为 . 4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 5．（2024年天津高考数学真题）在的展开式中，常数项为 ． 1．在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．74 B．121 C． D． 2．在的展开式中，的系数是 . 3．证明： （1）的展开式中常数项是； （2）的展开式的中间一项是. 4．用二项式定理证明： （1）能被整除； （2）能被1000整除. 5．求证：. 6．如图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：    (1)在上述发展过程中，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般，如今，数学研究的一个发展趋势就是尽可能地一般化．请你试一试，从推广到（m，）． (2)请你查阅相关资料，细化上述历程中的某段过程，例如从3次到n次，从二项到m项等，说说数学家是如何发现问题和解决问题的． 易错点：混淆项的系数与二项式系数 易错分析：项的系数与二项式系数虽然相关，但概念不同。项的系数是二项式系数与其他数字因数的积，而二项式系数仅与二项式的幂的指数和项数有关。在解题时，需仔细区分这两者，避免出错。 【易错题1】的展开式中含的项的二项式系数是 （用数字作答）. 【易错题2】的展开式的二项式系数的和等于64，则展开式中含有项的系数为 . 答题模板：求二项展开式中的特定项或项的系数 1、模板解决思路 在求解二项展开式中的特定项或项的系数时，关键在于首先写出二项展开式的通项公式。然后，根据题目给出的条件，我们可以设立一个方程来找到满足条件的k值。这里，k代表二项展开式中项的序号，其取值范围是0到n。一旦找到k，我们就可以将其代回通项公式，从而求解出所需的项或项的系数。 2、模板解决步骤 第一步：根据二项式定理写出二项展开式的通项，并化简. 第二步：根据已知条件，列出方程并求解. 第三步：代回二项展开式的通项，求出特定项或项的系数. 【经典例题1】若的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【经典例题2】展开式中常数项为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二项式定理 目录 01 考情透视·目标导航 2 02 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 4 知识点2：二项式展开式中的最值问题 5 知识点3：二项式展开式中系数和有关问题 6 题型一：求二项展开式中的参数 7 题型二：求二项展开式中的常数项 9 题型三：求二项展开式中的有理项 11 题型四：求二项展开式中的特定项系数 13 题型五：求三项展开式中的指定项 15 题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 17 题型七：求二项式系数最值 19 题型八：求项的系数最值 21 题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 24 题型十：求奇数项或偶数项系数和 27 题型十一：整数和余数问题 30 题型十二：近似计算问题 32 题型十三：证明组合恒等式 34 题型十四：二项式定理与数列求和 39 题型十五：杨辉三角 43 04真题练习·命题洞见 46 05课本典例·高考素材 48 06易错分析·答题模板 51 易错点：混淆项的系数与二项式系数 51 答题模板：求二项展开式中的特定项或项的系数 51 考点要求 考题统计 考情分析 （1）二项式定理 （2）二项式系数的性质 2024年北京卷第4题，4分 2024年甲卷（理）第13题，5分 2023年北京卷第5题，4分 2023年天津卷第11题，5分 2023年上海卷第10题，5分 2022年I卷第13题，5分 (1)今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,难度中等偏下,与教材相当. (2)本节内容在高考中的比重可能会持续降低,但仍然是备考的重要内容. 复习目标： （1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点1：二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． （3）两个常用的二项展开式： ①（） ② （4）二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 【诊断自测】已知在的二项展开式中，各项系数和为，则展开式中，含项的系数为 . 【答案】 【解析】由题意，， 故二项式为，其通项公式为， 所以时，有，故含项的系数为. 故答案为： 知识点2：二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （2）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 【诊断自测】设为整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 ． 【答案】5 【解析】展开式的二项式系数的最大值为， 展开式的二项式系数的最大值为， 因为，所以，即，解得， 故答案为：5． 知识点3：二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 【诊断自测】设，则 . 【答案】728 【解析】因为， 所以， 令,可得， 令,可得， 所以. 故答案为：728. 题型一：求二项展开式中的参数 【典例1-1】在展开式中的系数为，则的值为 . 【答案】 【解析】因为展开式的通项为， 令，解得， 因为的系数为，解得. 故答案为：. 【典例1-2】已知二项式的展开式中的常数项为，则 . 【答案】1 【解析】由题意可知展开式的通项为， 令，解得， 可得，即. 故答案为：1. 【方法技巧】 在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则． 【变式1-1】（2024·四川成都·模拟预测）在的展开式中，常数项为90，则 ． 【答案】 【解析】二项式展开式的通项公式， 令，解得，所以常数项（负根舍去）. 故答案为： 【变式1-2】在的展开式中，的系数为12，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为的展开式的通项为： ， 又因为的系数为12， 所以当时，， 所以， 解得. 故答案为： 【变式1-3】（2024·高三·上海·开学考试）已知二项式的展开式中存在常数项，正整数的最小值为 ． 【答案】4 【解析】二项式的通项为， 若展开式中存在常数项，只需， 则，所以正整数最小取4. 故答案为：4． 【变式1-4】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知展开式中的系数为80，则 . 【答案】 【解析】通项公式， 令，则， 因为的系数为，故. 故答案为： 题型二：求二项展开式中的常数项 【典例2-1】（2024·高三·浙江·开学考试）的展开式中，常数项为 ． 【答案】3 【解析】由展开式中的通项公式为：， 令，则， 故展开式中的常数项为：， 故答案为：3. 【典例2-2】（2024·高三·江苏·开学考试）展开式中的常数项为 . 【答案】/ 【解析】二项式展开式的通项， （且）， 令，解得，  所以展开式中常数项为. 故答案为： 【方法技巧】 写出通项，令指数为零，确定，代入． 【变式2-1】 的展开式中的常数项为 .（请用数字作答） 【答案】10 【解析】展开式的通项， 为了得到常数项，与相乘的项需满足，即， 与1相乘的项需满足，即， 因此常数项为. 故答案为：10 【变式2-2】二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】240 【解析】二项式展开式的通项公式为， 令，解得，则常数项为. 故答案为：240 【变式2-3】 的二项展开式中的常数项为 .（结果用数值表示） 【答案】 【解析】由可得， 令，即，则， 即的二项展开式中的常数项为. 故答案为：. 【变式2-4】（2024·全国·模拟预测）的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为 ． 【答案】15 【解析】因为的展开式中第2项的二项式系数为6，所以，， 的展开式的通项公式为， 令，得，故展开式中的常数项为． 故答案为：15. 题型三：求二项展开式中的有理项 【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）的展开式中，有理项是第 项． 【答案】3 【解析】的展开式的通项， 其中， 当为有理项时，为整数，结合， 所以，即有理项是展开式中的第3项， 故答案为：3 【典例3-2】（2024·山东烟台·三模）已知的展开式中共有项，则有理项共 项．（用数字表示） 【答案】 【解析】因为的展开式中共有项，所以， 则通项， 当时，，相应项为有理项，故有理项共有4项. 故答案为：4 【方法技巧】 先写出通项，再根据数的整除性确定有理项． 【变式3-1】已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为 ． 【答案】2 【解析】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以 当时,,当时,,符合题意 所以展开式中有理项的个数为2 故答案为：2 【变式3-2】（2024·高三·上海·单元测试）二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数为 ． 【答案】5 【解析】因为展开式的通项为， 要使系数为有理数的项，需为整数，所以，共5项． 故答案为：5. 【变式3-3】（2024·高三·吉林通化·期中）在的展开式中，有理项的个数为 ． 【答案】7 【解析】展开式中的第项为， 当时为有理项，共7项． 故答案为：7. 【变式3-4】在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 【答案】6 【解析】由题意知，展开式的通项公式为， 当（）为整数时，的系数为有理数， 所以，即展开式中系数为有理数的项共有6个. 故答案为：6 【变式3-5】已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项 ． 【答案】，，（写出其中一个即可） 【解析】由题意知，所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以的展开式的通项为： ，，． 若为有理项，则，所以，4，8， 故展开式中所有的有理项为：， ，． 故答案为：，， 题型四：求二项展开式中的特定项系数 【典例4-1】二项式展开后的第三项是 【答案】 【解析】因为 所以. 故答案为： 【典例4-2】（2024·浙江绍兴·二模）的展开式的第四项为 . 【答案】 【解析】的展开式的通项为， 令，得 故答案为：. 【方法技巧】 写出通项，确定r，代入． 【变式4-1】（2024·陕西渭南·二模）展开式中的项是 . 【答案】 【解析】依题意，展开式中的项是. 故答案为： 【变式4-2】（2024·湖北·模拟预测）展开式中项的系数为 . 【答案】30 【解析】展开式的通项表达式为， 当时，， . 故答案为:30. 【变式4-3】二项式的展开式的中间项为 【答案】-252 【解析】设展开式为， 总共项，中间项为第项，此时，所以. 故答案为：. 【变式4-4】（2024·高三·上海浦东新·期中）的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）. 【答案】960 【解析】因为，展开式的第8项为， 所以，的展开式的第8项的系数为960. 故答案为：960 题型五：求三项展开式中的指定项 【典例5-1】（2024·高三·江苏南京·开学考试）的的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．20 D． 【答案】D 【解析】从5个含有的括号中，其中1个括号中取，一个括号中取，3个括号中取，乘在一起构成这一项， 这一项为，所以的系数为. 故选：D 【典例5-2】（2024·江苏南京·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 【答案】A 【解析】由题意可知：的通项为， 且的通项为， 令，解得， 所以的系数为． 故选：A 【方法技巧】 三项式的展开式： 若令，便得到三项式展开式通项公式： ， 其中叫三项式系数． 【变式5-1】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）的展开式中的系数是（    ） A．5 B．10 C．20 D．60 【答案】C 【解析】依题意，的展开式中项是5个多项式中取3个用， 余下2个取1个用，最后1个用的积，即， 所以的展开式中的系数是20. 故选：C 【变式5-2】（2024·新疆喀什·三模）展开式中，的系数为（    ） A．20 B．30 C．25 D．40 【答案】B 【解析】展开式中，的项为， 则的系数为30． 故选：． 【变式5-3】（2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（    ） A．10 B． C．60 D． 【答案】C 【解析】由多项式 展开式的通项为， 令，可得， 又由展开式的通项为， 当时，可得， 所以展开式中项系数为， 故选：C. 【变式5-4】（2024·河北沧州·二模）在的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】相当于6个因式相乘，其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有2个取，有种取法，最后3个因式中全部取，有种取法，故展开式中的系数为. 故选：A. 题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 【典例6-1】（2024·高三·全国·课后作业）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．7168 D． 【答案】A 【解析】由题意可得 ， 令，解得，令，解得， 含项为，即， 所以的系数为，故A正确. 故选：A 【典例6-2】（2024·北京大兴·三模）在的展开式中，x的系数为（   ） A．9 B．15 C． D． 【答案】A 【解析】 易知，的展开式中，没有x项； 因为的展开式的通项为：， 令，即，所以展开式中，x的系数为； 又因为的展开式的通项为：， 令，即，所以展开式中，x的系数为； 综上，在的展开式中，x的系数为， 故选：A. 【方法技巧】 分配系数法 【变式6-1】（2024·西藏·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【解析】在的展开式中，通项公式为， 故，的系数分别为，， 所以在的展开式中，的系数为． 故选：D． 【变式6-2】已知展开式中的系数为28，则该展开式的各项系数和为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】根据的展开式通项， 当与配对时，，故的系数为, 当与配对时，，故的系数为， 所以，故； 故令，则各项的系数和为． 故选：D． 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．3 D．27 【答案】C 【解析】的展开式的通项公式为． 当时，； 当时，． 因此的展开式中的系数为， 故选：C． 【变式6-4】（2024·福建福州·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．34 D．74 【答案】B 【解析】的展开式为，1，2，3，4，， 的展开式，1，2，3，， 当，时，的系数为； 当，时，的系数为； 当，时，的系数为， 故的系数为． 故选：． 题型七：求二项式系数最值 【典例7-1】（2024·贵州·模拟预测）的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 .（用数字作答） 【答案】 【解析】因为，所以二项式系数最大的项为第项， 又的展开式的通项公式为， 令，得到，所以二项式系数最大的项的系数是， 故答案为：. 【典例7-2】已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 【答案】/ 【解析】由题意得，通项， 当满足时，系数最大， ，即，解得 又 解得， 所以， 故． 故答案为： 【方法技巧】 利用二项式系数性质中的最大值求解即可． 【变式7-1】 的展开式中所有二项式系数的最大值是 （用数字作答）． 【答案】 【解析】因为，所以的展开式中所有二项式系数的最大项为第项， 所以的展开式中所有二项式系数的最大值是， 故答案为：. 【变式7-2】已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ． 【答案】14 【解析】由的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，得的展开式共有15项， 所以. 故答案为：14 【变式7-3】已知的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为 . 【答案】280或560 【解析】由二项式的展开式的通项公式， 由题知，，解得， 所以，展开式中二项式系数最大的项为第4项或第5项， 则展开式中二项式系数最大的项的系数为或， 即展开式中二项式系数最大的项的系数为280或560. 故答案为：280或560. 【变式7-4】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 . 【答案】 【解析】由展开式的二项式系数的最大值为，则有， 由展开式的二项式系数的最大值为，则有， 由，故有， 即，即，即， 解得. 故答案为：. 题型八：求项的系数最值 【典例8-1】已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的通项公式为，要使展开式中系数的最小值，则为奇数，取值为1，3，5，7，所以当或5时，系数最小，则展开式中系数的最小值为， 故选：C 【典例8-2】已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 【方法技巧】 有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小． 【变式8-1】（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】C 【解析】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数， 故最大，因此第七项的系数最大， 故选：C． 【变式8-2】已知为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以， 则 ， 显然为正整数， 所以能被整除， 又且能被整除，所以能被整除， 所以，则， 所以， 所以， 所以在的展开式中，二项式系数最大的项为第项和第项， 又的展开式的通项公式为， 因为第项的系数为负数，第项的系数为正数， 所以第项的系数最小，第项的系数最大. 故选：B． 【变式8-3】 的展开式中，系数最大的项是（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【答案】C 【解析】因为的展开通项公式为， 又当时，取最大值， 则系数最大的项是第13项． 故选：C. 【变式8-4】（2024·四川雅安·一模）的展开式中，系数最小的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【解析】依题意，的展开通项公式为，其系数为， 当为奇数时，才能取得最小值， 又由二项式系数的性质可知，是的最大项， 所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小. 故选：C． 题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 【典例9-1】（2024·四川乐山·三模）设，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】C 【解析】由，令，得； 令，得， 所以． 故选：C． 【典例9-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对两边求导， 得. 令，得. 故选：D. 【方法技巧】 二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：． 系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：． 【变式9-1】若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】的展开式的通项公式为， 结合，知均为负值， ， 令，得， 故， 故选：D. 【变式9-2】（2024·陕西·模拟预测）若的展开式中的各项系数和为243，则（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【解析】因为， 令可得，解得， 令可得， 令可得， 所以. 故选：B 【变式9-3】已知，则下列描述正确的是（   ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 【答案】B 【解析】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 因为， 所以， 所以，故D错误． 故选：B． 【变式9-4】已知，则（    ） A． B．14 C． D．7 【答案】A 【解析】等式两边同时求导可得，令，得， 故选：A. 【变式9-5】（2024·全国·模拟预测）已知，若，且，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于， 令，得，故， 令，得， 故， 令，得，则等式变为， 则，又，所以，故． 故选：B. 【变式9-6】（2024·福建福州·模拟预测）设是常数，对于，都有，则（    ） A．2019 B．2020 C．2019! D．2020! 【答案】A 【解析】因为，令可得， 对两边关于求导得， ， 令，则， 所以， 所以， 故， 所以. 故选：A. 【变式9-7】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因（*） 对于A项，当时，代入（*）可得，故A项错误； 对于B项，当时，代入（*）可得，故B项错误； 对于C项，当时，代入（*）可得， 则，故C项错误； 对于D项，当时，代入（*）可得， 则，故D项正确. 故选：D. 题型十：求奇数项或偶数项系数和 【典例10-1】设，则 ． 【答案】 【解析】， 令，可得，① 令，可得，② ①+②可得. 故答案为：. 【典例10-2】（2024·高三·河北保定·开学考试）若，则 . 【答案】121 【解析】 令，则， 令，则， 故. 故答案为：121 【方法技巧】 ，令得系数和：①； 令得奇数项系数和减去偶数项系数和：②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和． 【变式10-1】（2024·广东·一模）若 ，则 . 【答案】 【解析】令，得 ， 令，得 ， 则 ， 且 ， 故 . 故答案为：. 【变式10-2】已知多项式，则 ． 【答案】 【解析】令即得（1）， 令即得（2）， （1）（2）得，所以， 故答案为：． 【变式10-3】（2024·浙江·模拟预测）当，则 ． 【答案】 【解析】对于， 当时，代入可得 当时，代入可得① 当时，代入可得② 由①+②可得：， 即， 故. 故答案为：. 【变式10-4】（2024·湖南邵阳·一模）已知，则 . 【答案】 【解析】由， 令，可得， 即 令，可得， 即， 联立方程组，求得， 再令，可得， 所以. 故答案为：. 题型十一：整数和余数问题 【典例11-1】（2024·湖北·模拟预测）被9除的余数为（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【解析】 其中是9的整数倍. 故被9除的余数为4. 故选：B. 【典例11-2】（2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【答案】B 【解析】， 故 ． 前面7项均能被7整除，则被7整除余5， 故天后是星期二． 故选：B. 【变式11-1】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（    ） A．2010 B．2021 C．2019 D．1997 【答案】B 【解析】因为， 又，故， 又，，， ，结合选项可知只有B符合题意. 故选：B 【变式11-2】若能被25整除，则正整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为能被25整除， 所以当时，，此时，， 当时，； 当时， ， 因此只需能够被整除即可，可知最小正整数的值为， 综上所述，正整数的最小值为， 故选：C 【变式11-3】（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如和被除得的余数都是，则记.若，且，则的值可以是（    ） A．4021 B．4022 C．4023 D．4024 【答案】A 【解析】 ， 即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为. 故选：A. 【变式11-4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，则的值可以是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【解析】依题意， ， 显然是8的整数倍，因此除以8的余数是6， 而2021，2022，2023，2024除以8的余数分别为5，6，7，0， 所以的值可以是2022. 故选：B 题型十二：近似计算问题 【典例12-1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【答案】B 【解析】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B． 【典例12-2】（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【答案】D 【解析】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 【变式12-1】（2024·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知 故选：C 【变式12-2】（2024·江西南昌·一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理： 对于任意实数， 当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作： . 用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930 【答案】B 【解析】. 故选：B. 【变式12-3】二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数） 【答案】3.07 【解析】. 故答案为：3.07 【变式12-4】用二项式定理估算 .（精确到0.001） 【答案】1.105 【解析】 . 故答案为：1.105 【变式12-5】 （精确到0.01） 【答案】30.84 【解析】原式 故答案为：30.84． 题型十三：证明组合恒等式 【典例13-1】求证： 【解析】由基本恒等式，即得 因为， 所以， 即 【典例13-2】求证： 【解析】因为， 所以，所以 【变式13-1】求证： 【解析】考虑恒等式：， 有 ． 左边展开式中的系数为： ， 而右边展开式中项的系数为零． 所以. 即得所证等式． 【变式13-2】（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义. (1)若，求和； (2)求 ； (3)证明： 【解析】（1）若， 而 （2）当时， ， 当时，由 可得 ； 综上所述，. （3）结合第二问结论知， 要证 只需证 ， 令，易知， 则， 所以， 一方面， 另一方面，， 当且时， 由于， 比较两式中的系数可得：， 则 由 可知=， 当时，由 可知：， 此时命题也成立. 当时， 也成立. 综上所述，. 【变式13-3】莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为. (1)求的值； (2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论. 【解析】（1）由图1可知： 由每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和，可得 ， 故，同理， 故 ； （2）莱布尼茨三角的性质： 证明： . . 故结论正确. 【变式13-4】（1）求证：； （2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：. （3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数. 【解析】证明：（1）因为、，， 由组合数公式可得，故结论成立； （2）因为、，， 则， 则 ； （3）因为等差数列的首项为，公差为，则， 则 ， 所以， 总是关于的一次函数. 题型十四：二项式定理与数列求和 【典例14-1】 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，两边求导得， ，两边乘以后得， ，两边求导得， ， 取得. 故选：A 【典例14-2】已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，展开式中的系数为， ∴则 ， 故选：B． 【变式14-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 当时，， 于是得 . 故选：B 【变式14-2】（2024·河南洛阳·三模）若，则的值为（　　） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【解析】根据， 令，可得，再令，可得， 所以． 故选：D． 【变式14-3】若，且，则实数的值为 . 【答案】 【解析】因为， 令，得， 令，得， 所以， ， 则， 所以，解得， 故答案为： 【变式14-4】对于，将n表示为，当时，.当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）.若，则 . 【答案】 【解析】， 设，且为整数， 则， 中6个数都为0或1， 其中没有一个为1时，有种情况，即有个； 其中有一个为1时，有种情况，即有个； 其中有2个为1时，有种情况，即有个； … 故，同理可得：， … ， , 则. 故答案为:． 【变式14-5】已知等差数列，对任意都有成立，则数列的前项和 ． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，则，因为， 所以 ， 所以，所以对恒成立， 所以，，所以等差数列的通项公式， 所以， 所以数列的前项和． 故答案为：. 【变式14-6】设是正整数，化简 . 【答案】 【解析】设， ， 所以有， 故答案为： 题型十五：杨辉三角 【典例15-1】如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 ． 【答案】 【解析】由题意知，，则 当时，= 当时，，也符合上式． 综上，． 故答案为： 【典例15-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 【答案】 【解析】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是， 第五行的第三位数字是，，第十五行的第三位数字是， 由 ， 则 . 故答案为：. 【变式15-1】我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为，则 . 【答案】 【解析】由题意可知是第5行第4个数，所以； 使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为： 设位于第行，则：，解得： 且第行最后一项在数列中的项数为：， 位于杨辉三角数阵的第行第个 而第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为 依此类推，第行各项的和为 故答案为：4，. 【变式15-2】在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.    【答案】34 【解析】由题意可知第行第个数为， 根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，， 有且．化简得，， 联立解得，． 故第34行会出现满足条件的三个相邻的数． 故答案为：34. 【变式15-3】如图所示的梯形数阵中，第行第个数的值为       【答案】 【解析】观察、归纳梯形数阵规律， 第一行每一个数提取系数，第二行每一个数提取系数，， 第行每一个数提取系数. 提取系数之后，各数的分子均为，分母恰好成二项式系数所构成的杨辉三角分布， 所以可求得第行第个数的值为. 故答案为：. 【变式15-4】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记作数列，若数列的前n项和为，则 ． 【答案】 【解析】根据题意，为杨辉三角的第三行中去除后的数，共1个， 为杨辉三角的第四行去除后的数，共2个， 为杨辉三角第五行去除后的数，共3个，， 故可设去除后，杨辉三角从第)行开始，共有个数在数列中， 则前行共有个数， 又当时，，时，， 故中包括了杨辉三角从第3行开始至第12行去除1后所有的数，以及第13行去除1后的第一个数， 故 . 故答案为：. 1．（2024年北京高考数学真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 2．（2022年新高考北京数学高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 3．（2024年上海市1月春考数学试题） 展开式中的系数为 . 【答案】15 【解析】 展开式中令的项为， 所以 展开式中的系数为15. 故答案为：15 4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】5 【解析】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 5．（2024年天津高考数学真题）在的展开式中，常数项为 ． 【答案】20 【解析】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 故答案为：20. 1．在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．74 B．121 C． D． 【答案】D 【解析】因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 故选：D 2．在的展开式中，的系数是 . 【答案】0 【解析】， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 令，得，， 因此，的系数为. 故答案为：0. 3．证明： （1）的展开式中常数项是； （2）的展开式的中间一项是. 【解析】（1）展开式的通项为， 令，所以常数项为， 又 ， 所以的展开式中常数项是，故得证.； （2）展开式的通项为， 中间项对应的，所以中间项为， 又 ， 所以的展开式中间一项是，故得证. 4．用二项式定理证明： （1）能被整除； （2）能被1000整除. 【解析】（1）， 上式中的每一项都可以被整除，故能被整除； （2） ， 上式中的每一项都可以被整除，故能被1000整除. 5．求证：. 【解析】左边= =1=右边. 即证. 6．如图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：    (1)在上述发展过程中，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般，如今，数学研究的一个发展趋势就是尽可能地一般化．请你试一试，从推广到（m，）． (2)请你查阅相关资料，细化上述历程中的某段过程，例如从3次到n次，从二项到m项等，说说数学家是如何发现问题和解决问题的． 【解析】（1）由， 令， ∴ ． （2）由（1）知：发现问题：通过简单的发现还有延伸的可能性； 解决问题：不懈的努力以及由简单推及复杂的技巧． 易错点：混淆项的系数与二项式系数 易错分析：项的系数与二项式系数虽然相关，但概念不同。项的系数是二项式系数与其他数字因数的积，而二项式系数仅与二项式的幂的指数和项数有关。在解题时，需仔细区分这两者，避免出错。 【易错题1】的展开式中含的项的二项式系数是 （用数字作答）. 【答案】10 【解析】，含的项是时的项， 所以二项式系数为. 故答案为：10. 【易错题2】的展开式的二项式系数的和等于64，则展开式中含有项的系数为 . 【答案】240 【解析】二项式系数之和，解得， 则其二项展开式的通项为， 令，解得，则展开式中含有项的系数为. 故答案为：240. 答题模板：求二项展开式中的特定项或项的系数 1、模板解决思路 在求解二项展开式中的特定项或项的系数时，关键在于首先写出二项展开式的通项公式。然后，根据题目给出的条件，我们可以设立一个方程来找到满足条件的k值。这里，k代表二项展开式中项的序号，其取值范围是0到n。一旦找到k，我们就可以将其代回通项公式，从而求解出所需的项或项的系数。 2、模板解决步骤 第一步：根据二项式定理写出二项展开式的通项，并化简. 第二步：根据已知条件，列出方程并求解. 第三步：代回二项展开式的通项，求出特定项或项的系数. 【经典例题1】若的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【解析】的通项公式为， 当时，，当时，， ， 故的展开式中的系数为． 故答案为： 【经典例题2】展开式中常数项为 . 【答案】 【解析】展开式中,通项公式为， 令，求得， 可得展开式中的常数项为. 故答案为：15. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$