专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 20 36 模型1.倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（23-24八年级上·福建泉州·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．         B．            C．              D． （2）求得的取值范围是 ． A．   B．      C．     D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线，∴， 在和中，，故选B； （2）解：由（1）知：，，， 在中，，由三角形三边关系定理得：，即，故选C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接，是中线，， 在和中，，，， ，，，， ，∴．∴平分． 例2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法． 第一种辅助线做法：如图②，延长到点F，使，连接； 第二种辅助线做法：如图③，作于点G，交延长线于点F. (1)请你任意选择其中一种对原题进行证明： 方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (2)方法运用：如图④，是的中线，与交于点F且．求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）第一种辅助线做法：延长到点F，使，连接．只要证明△BEF≌△CED，即可解决问题．第二种辅助线做法：作于点G，交延长线于点F，先证明△BEF≌△CEG，再证明△ABF≌△DCG即可．（2）延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ，只要证得△BDAˊ≌△CDA即可． 【详解】（1）第一种辅助线做法： 证明：如图1，延长DE到点F，使得DE=EF，连接BF，∵E是BC的中点∴BE=CE 在△BEF与△CED中 ∴△BEF≌△CED（SAS）∴BF=CD ， ∠F=∠CDE 又∵∠BAE=∠CDE∴∠BAE=∠F∴BF=AB ∴AB=CD 第二种辅助线做法：证明：如图2，作CG⊥DE于点G，BF⊥DE交DE延长线于点E； 则∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵E是BC的中点，∴BE=CE 在△BEF与△CEG中∴△BEF≌△CEG （AAS）∴BF=CG， 在△ABF与△DCG中， ，∴△ABF≌△DCG（AAS），∴AB=CD ． （2）如图3，延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD．在△BDAˊ与△CDA中 ， ∴△BDAˊ≌△CDA （SAS）∴BAˊ=AC， ∠Aˊ=∠CAD， 又∵AE=EF，∴∠CAD=∠EFA=∠BFAˊ，∠Aˊ=∠BFAˊ∴BF=BAˊ ∴BF=AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中线等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段．求作：，使边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据______作出． ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（）若用其他思路，作法正确也可以． 作等腰，满足腰，底边上的高．       【答案】(1)证明见解析 (2)①，；②；③(3)见解析 【分析】（1）由是边上的中线，可知，进而可证； （2）根据全等三角形的判定定理进行作答即可； （3）作延长线到使，根据垂直平分线的性质，分别以为圆心，长为半径画弧，弧的交点即为，连接，则即为所求． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线，∴， ∵，，，∴； （2）解：①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据作出符合条件的；若知道，则可以根据作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出．故答案为：，； ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据作出．故答案为：； ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得，可得．故答案为：； （3）解：如图，，即为所求；    【点睛】本题考查了中线，垂直平分线的性质，作垂线，全等三角形的判定定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 变式2．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】（2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】（3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 【答案】（1），见解析；（2）A、B、C；（3）见解析 【分析】（1）如图①中，延长至点，使，证明，得，再利用三角形的三边关系，可得结论； （2）如图2中，延长至，使，证明，即可判断； （3）如图3中，延长到，使得，连接，证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图①中，延长至点，使． 在和中，，，， ，，，； （2）答案为：A、B、C；解：如图②中，延长至，使， 由，故A正确由（1）得，， ，，， 点为的中点，，， ，，， 又，， ，，故B、C正确．，故D错误． （3）证明：如图（3）中，延长到，使得，连接． 同法可证，，，，， 与互补，，， ，，， 在和中，，，，，即． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系，解题的关键是学会倍长中线，构造三角形全等． 变式3．（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；（3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4） 【分析】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （2）延长交延长线于点，证即可；（3）延长至点，使得，连接、、，证即可；（4）过点作交于点，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可． 【详解】（1）为边上的中线，， 在和中     ，， ，，即， ，，，故答案为： （2）如下图，交延长线于点       ，（同旁内角互补，两直线平行），，， 为的中点，，，， 又，，即， 在和中， （全等三角形的对应角相等），即平分 （3）延长至点，使得，连接、、 由（1）同理易知，，， ，且， ，，， ，，，， （4）过点作交于点，由（3）可得，，，，    ，， 和互余，，， ，， ， 又，，故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，画出辅助线推理论证是解题的关键． 模型2.截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 【答案】(1)；(2) ，证明见解析；(3)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质； （1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论；（2）在上取，连接，根据等边对等角得出，根据三角形的外角的中得出，进而得出，即可得证；（3）先证明 ，过作，交于点，证明，根据等角对等边得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴， 在和中，，，，∴ ∴，， ∵，∴，∴，∴，∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，，，∴，∴， ∵，∴； （2）在上取，连接，∵于∴∴ ∵，∴，∴ ∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，， ∴∴，∴ ∴∴ 过作，交于点，∴， ∵是的中点，∴，又∴ ∴ ，，而， ∴， 又∵∴∴    即　． 例2．（23-24八年级·广东·假期作业）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析 【分析】（1）根据题意，采用截取等长的方法，在上截，构造，再利用等腰三角形的性质求解；（2）巧妙利用（1）的结论和方法进行延伸，延长，结合等边三角形的性质，同时构造两个全等三角形，进而找到边长关系． 【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图， ∵平分，∴，在和中，， ∴，，， ∵，，∴，，∴． 方法2：延长到点，使得，连接，如图， ∵平分，∴．在和中，， ∴，，， ∵，，∴，∴，∴． （2）、、之间的数量关系为：， 如图2所示，延长到点，使，连接，由（1）可知， ∵，∴为等边三角形．，， ∵， ∴，， ∵，∴为等边三角形，∴，， ∵，∴，即， 在和中，，∴，， ∵，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形、等边三角形关系与性质，关键是要采用截长补短的方法，添加适当的辅助线构造出全等三角形． 变式1．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 【答案】证明见解析 【分析】如图，在上截取证明再证明可得 从而可得结论. 【详解】证明：如图，在上截取 平分 平分 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键. 变式2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)(2)结论仍然成立(3)此时两舰艇之间的距离是120海里 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，方位角的计算： （1）延长到点，使，连接，先证明得到，再证明得到即可推出； （2）如图，延长到，使，连接，先证明得到，再证明得到即可推出； （3）如图，连接，延长交于点，先证明，再由，结合探索延伸中的结论可知，海里． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵，∴， ∵∴，∴， ∵，，∴， ∴，即， 又∵∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）解：结论仍然成立，证明如下：如图，延长到，使，连接， ，， 在和中， ， 在和中， ，，； （3）解：如图，连接，延长交于点， ，，， ，，符合探索延伸中的条件， 结论成立，即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是120海里． 变式3．（23-24八年级上·山东济南·期末）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． (1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是______； 【拓展延伸】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为______cm． 【答案】(1)DA=DB+DC(2)DA=DB+DC；理由见解析(3) 【分析】（1）延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°，知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ABD=∠ACE，证得△ABD≅△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证明△ADE是等边三角形，等量代换可得结论；（2） 同理可证△ABD≅△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，由勾股定理得，等量代换即得结论；（3）由直角三角形的性质可得QN的长，由勾股定理可得MQ的长，由（2）知，由此可求得PQ长． 【详解】（1）（1）延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE， ∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°，∴∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°， 又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≅△ACE(SAS)， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠BAC=60°，∴∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°， ∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB， （2）DA=DB+DC，理由如下：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE， ∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∴∠ABD+∠ACD=180° 又∵∠ACE+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC，CE=BD， ∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∴∠DAE=∠BAC=90°，∴，∴，∴， （3）如图所示：连接PQ，∵，∠QMN=30°，∴， 根据勾股定理得，由（2）知， ∴， 【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．     1．（2024·浙江·一模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长． 【详解】解：延长BE交CD延长线于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中， ∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5 又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故选：C． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP． 2．（23-24八年级·广西贵港·期中）如图，在四边形中，，M是边的中点，平分，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，过点作，得，进而得到平分，根据四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据角平分线的定义，求出即可． 【详解】解：过点作， ∵平分，∴， ∵M是边的中点，∴，∴平分， ∵，∴；故选B． 3．（24-25八年级上·湖北·假期作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 在上截取，连接，证明，得出，，证出得出，即可证明； 【详解】解：在上截取，连接， ∵，∴， ∵∴，∴，， ∴，∴，∴． 4．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接． (1)如图1，点O在线段上，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______； (2)若点O在线段的上方，连接，且满足．如图2，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线段，得到，，根据是等边三角形，得到，，推出，当点O在上时，，推出，推出，，推出垂直平分，推出，得到；（2）在上截取，连接，根据证明，得到，根据 推出，得到，根据证明，得到，，推出，得到是等边三角形，得到，推出． 【详解】（1）∵点O是线段垂直平分线l上的一个动点， ∴， ∵以为边作等边，∴，， ∴，∴， 当点O在上时，，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴垂直平分，∴，∴；故答案为： （2），理由如下：如图，在上截取，连接， ∵点O是线段垂直平分线l上的一个动点，∴，， 又∵，∴，∴， ∵是等边三角形，∴，，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，∴是等边三角形，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，含30°的直角三角形，等边三角形，全等三角形等，解决问题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，含30°的直角三角形的边的性质，等边三角形的边角性质，全等三角形判定和性质等． 5．（23-24八年级·山西临汾·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．具体做法是：延长三角形某条边上的中线，使延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，借助于图形的关系和性质展开求解或证明． 请结合下图完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：．    证明：延长至点，使，连结、． 【答案】见解析 【分析】延长至点，使，连结、，得出，根据是斜边上的中线，得出，进而推出四边形是平行四边形，由，得出四边形是矩形，进而得出，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连结、，则， ∵是斜边上的中线，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴，∴. 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平形四边形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 6．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接， 为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______） （______），∴． 【答案】线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，延长至点，使，连接，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接， 为中点，（线段中点的定义）， 在和中，，，， ，（两直线平行，同位角相等），， 平分（角平分线的定义）， （等量代换），，∴． 故答案为：线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换． 7．（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【答案】(1)A(2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，解题关键是根据倍长中线构造出全等三角形． （1）证明即可求解；（2）如图，延长至，使，连接，证明，根据即可求解． 【详解】（1）解：在和中，，故选：A． （2）解：延长到，使，连接，如图所示， ，，∵是中线，， ∵在和中，，， ，，， ，，． 8．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴， 设，在中，由三边关系可得，即，∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示：∴， ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴． 9．（22-23八年级上·福建莆田·期末）数学活动课中，老师给出以下问题： (1)如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围 ． (2)如图2，在中，为锐角，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连接，请探索由三条线段构成的三角形的形状，并说明理由． (3)已知：如图3，，且，F是线段的中点．求证：． 【答案】(1)(2)线段构成的三角形是钝角三角形，理由见解析.(3)证明见解析 【分析】（1）如图1，延长到E，使，连接，证明，则，由,可得，即，计算求解即可； （2）如图2，延长到点G，使，连接，证明，则，线段构成的三角形为，由，可判断三角形的形状； （3）如图3，延长至G，使，连接，同理（2），，则，由，，可得，证明，则，进而结论得证． 【详解】（1）解：如图1，延长到E，使，连接， ∵，∴，∴， 在中，,∴，即， ∴，故答案为：； （2）解：线段构成的三角形是钝角三角形，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵，，∴，∵， ∴，∴，∴线段构成的三角形为， ∴， ∴当为锐角时，为钝角三角形，即由三条线段BE、EF、CF构成的三角形为钝角三角形； （3）证明：如图3，延长至G，使，连接， 同理（2），，∴， ∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形内角和定理等知识．熟练掌握倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 10．（23-24八年级上·安徽·单元测试）综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）延长至点E，使，连接，证明，得出，求出，得出即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，证明，得出，，，证明，得出即可得出结论； 【详解】解：（1）如图，延长至点E，使，连接， ∵D是中点，∴， 在和中，，∴，∴， 在中，∴，即， ∴，∴； （2）如图，延长至点F，使得，连接，则， ∵是的中线，即E是中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，， ∵，，，∴， 在和中，得，∴，∴，∴； 11．（2024·江苏·八年级课时练习）（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：； （2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：； （3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可； （2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论； （3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP， ∵AD是△ABC的中线，∴D为BC的中点，BD=CD， 在△ABD与△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP， 在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，∴； （2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC， ∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH， 在△ABH和△QCH中，∴△ABH≌△QCH(SAS)， 同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点， ∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK， 又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE， ∵AB=CQ，AD=EQ，∴； （3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE， ∵M为DE中点，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM， 在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)， 同理可证△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此时，延长AE，交CN于T点， ∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT， 又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE， ∵AB=NC，AD=NE，∴． 【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键． 12．（2024·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：．（2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长．（3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ． 【答案】；（1）详见解析；（2）5；（3）， 【分析】【应用举例】由全等的性质可得AB=EC，由三角形三边关系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD； 故答案为EC，AE； 【问题解决】（1）由题意不难得到所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC，∴有AF=EF； （2）延长ED到G，使DG=ED，连结CG、FG，不难得到EF=FG，另同（1）有△BDE≌△CDG，所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG即EF的长； （3）由全等三角形的性质可以得到解答． 【详解】【应用举例】【问题解决】如图延长到， 使得连接易证得， ． 如图，延长到，使得连接易证 得，垂直平分 即 在中，， ，理由如下： 如图3，延长AD到G，使AD=DG，延长DA交EF于P，连结BG，则不难得到△BGD≌△CAD， ∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC， 又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠ BAC=∠EAF， ∴在△ABG和△EAF中，，∴△ABG≌△EAF， ∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC，∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°， ∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD ． 【点睛】本题考查全等三角形的综合运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键 ． 13．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务． 【认识“倍长”】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．如图1，在中，是边上的中线，延长到点．使．连接，易证（依据），进一步可得到等结论． 任务：（1）上述材料中的依据是_____________；（2）如图2，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，求证：． 【启发拓展】如图3，爱思考的小轩受到启发，把和边的中点和连接起来，得到线段，线段叫做三角形的中位线．下面是小轩的证明方法：延长到点，使，连接易证，得到，即，进而得到，因此可知，最终得到．通过推理，小轩总结得到这样的结论：如果点和点分别为和边中点，那么是的中位线，且．“几何语言”：和分别为和的中点是的中位线． 【旧知新论】 （3）已知和，，，，连接和，点是线段的中点，连接交于点．请直接应用【启发拓展】中的结论，合理猜想与的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）（2）见解析（3），证明见解析 【分析】（1）根据题意，证明即可得解； （2）延长到点．使．连接，证明．利用等腰三角形的判定和性质证明即可．（3）延长到点．使．连接，构造运用三角形中位线定理，证明 即可． 【详解】（1）∵是边上的中线，∴． ∵． ∵，∴， ∴，，∴．故答案为：． （2）延长到点．使．连接， ∵是边上的中线，∴．∵． ∵，∴，∴，，∴． ∵，∴，∵，∴，∴，∴． （3）．理由如下： 延长到点．使．连接，∵是的中点，∴， ∵，，∴直线是线段的垂直平分线，， ∴，∴， ∴， ∴，∴， ∵， ∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，平行线的判定和应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理的应用是解题的关键． 14．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）【问题提出】如图①，在中，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，经过推理可知…（2）的取值范围为 　　． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【应用】如图②，在中，点D为边的中点，点E在边上，与相交于点F，，求证：． 【拓展】如图，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交的延长线于点G，若，则的面积为 　　．    【答案】问题解决：；应用：见解析；拓展：9 【分析】问题解决：证明，得到，利用三角形的三边关系，求出的取值范围，进一步计算即可； 应用：延长至点，使，连接，证明，得到，证明为等腰三角形，得到，等量代换即可； 拓展：延长至点，使，连接，证明，得到，，推出均为等腰三角形，得到，进而求出的长，根据，求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：问题解决：延长到点E，使，连接， ∵是的中线，∴， 又，∴，∴， 在中，，，，∴， ∵，∴；故答案为：； 应用：延长至点，使，连接，    同法可得：，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴； 拓展：延长至点，使，连接，    同法可得：，∴，， ∵，平分，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴的面积为：；故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是理解并掌握倍长中线法，构造全等三角形． 15．（23-24八年级上·河北衡水·期中）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：． （2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长． （3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ．             【答案】；（1）详见解析；（2）5；（3）， 【分析】【应用举例】由全等的性质可得AB=EC，由三角形三边关系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD； 故答案为EC，AE； 【问题解决】（1）由题意不难得到所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC，∴有AF=EF； （2）延长ED到G，使DG=ED，连结CG、FG，不难得到EF=FG，另同（1）有△BDE≌△CDG，所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG即EF的长； （3）由全等三角形的性质可以得到解答． 【详解】【应用举例】 【问题解决】如图延长到，       使得连接易证得， ． 如图，延长到， 使得连接易证得， 垂直平分 即 在中，， ，理由如下： 如图3，延长AD到G，使AD=DG，延长DA交EF于P，连结BG，则不难得到△BGD≌△CAD，    ∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC， 又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠ BAC=∠EAF， ∴在△ABG和△EAF中，，∴△ABG≌△EAF，∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC， ∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD ． 【点睛】本题考查全等三角形的综合运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键 ． 16．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，在中 (1)若平分，求证： (2)若为边上的中线，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形三边关系，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． （1）在上取点E，使得，证明得到，由得到，根据三角形三边关系得到，即可证明结论； （2）延长到点F，使得，连接，证明，得到，在中，利用三角形三边关系即可求解． 【详解】（1）证明：如图，在上取点E，使得，在与中， 平分，，，，， ，，，； （2）解：延长到点F，使得，连接， ，，为边上的中线， ， ，，，， 在中，，． 17．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出解答． （1）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （2）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （3）作N关于的对称点，根据轴对称的最短路径解答即可． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：， 理由：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 在和中，∴， ∴， ∵，∴，、 ∵，∴，∴，∴； （3）解：作N关于的对称点， 由（2）可知，在上，， 当共线时，最小，当时，最小， ∵，，∴∴， ∴，故的最小值为4． 18．（22-23八年级下·山东滨州·期中）如图，四边形是正方形，，点在射线上，且交正方形外角的平分线于点，过点作交直线于点． (1)（1）如图一，点是边的中点， 求证：①．（提示：取的中点，连接．）②； (2)如图二，当点在的延长线上时，①判断与的数量关系，说明理由； ②直接写出，，的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①，理由见解析；② 【分析】（1）①如图1，取的中点，连接，证明，可得； ②证明，得，再由等腰直角三角形的性质可得结论； （2）①作辅助线，构建三角形全等，证明，可得； ②证明，则，，根据等腰直角三角形的性质和线段的和差可得结论． 【详解】（1）证明：①如图1，取的中点，连接， 四边形是正方形，，，， 平分，，， 是的中点，，， 是等腰直角三角形，，，， ，， ，，； ②如图2，，，， ，，，， ，，， ，，是等腰直角三角形，， ，； （2）解：①，理由如下：如图3，延长至，使，连接，， ，即，，是等腰直角三角形，， ，，，，，； ②，理由如下：如图4，，，， ，，， ，，． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 19．（22-23八年级下·山西运城·期末）学完平移与旋转后，数学老师再次介绍了截长补短法：截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． 例如：如图1，已知点P是的平分线上一点，点A是射线上任意一点，在上截取B点，使（截长法），连接，易得：．如图2，已知中，平分，延长至点F（补短法），使得，连接，易得．    问题情境： 今天我们继续运用截长补短法进行探究学习．如图3，点P是等边外一点，连接且满足，线段之间有何等量关系呢？ 经过探究，勤奋小组讲解了他们的思路： 如图4，在上截取一点Q，使，连接． ∵是等边三角形， ∴， 又∵，∴，又∵  ∴ ∴（依据1： ）∴， ∴，即 可知是等边三角形（依据2： ），所以，因此最终得出线段 之间的等量关系是 ．    反思交流：（1）①上述证明过程中“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1： ．依据2： ．②图3中线段之间的等量关系是 ． 探索发现：（2）创新小组受勤奋小组的启发，把点D移动到边下方，如图5，是等边三角形，且点D是边下方一点，，将绕点A逆时针旋转得到，根据上述解题思路，继续探究三条线段之间的等量关系，并写出你的证明过程．    问题解决：（3）请你参考上面的解题思路，探究并解决下列问题：如图6，在正方形内有一点P，且，，则＝ ． 【答案】（1）①、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；②；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和等边三角形的判定定理及相关结论填空即可； （2）按照（1）的思路证明是等边三角形即可得出； （3）按照（2）的辅助线作法进行旋转，再利用勾股定理逆定理求解即可得出． 【详解】解：（1）①依据1是：、依据2是：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 ②∵，，， ∴ （2）∵， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴ ∵D、C、E三点在一条直线上， ∴是等边三角形， ∴． （3）将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定、正方形的性质，解题关键是准确理解题意，按照题目给出的方法作辅助线． 20．（23-24八年级下·福建漳州·期中）【阅读理解】 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法、截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题，    （1）如图1，是等边三角形，点D是边下方一点，，探索线段之间的数量关系． 解题思路：延长到点E，使，连接，根据，可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系． 根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是_______； 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，．若点D是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的长分别为______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由等边三角形知，结合知，由知，证得，再证是等边三角形得； （2）延长到点E，使，连接，先证得，，据此可得，由勾股定理知，继而可得； （3）由直角三角形的性质知，，利用（2）中的结论知，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴，即， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，延长到点E，使，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，连接，    ∵， ∴， ∴， 由（2）知． ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 20 36 模型1.倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（23-24八年级上·福建泉州·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．         B．            C．              D． （2）求得的取值范围是 ． A．   B．      C．     D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 例2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法． 第一种辅助线做法：如图②，延长到点F，使，连接； 第二种辅助线做法：如图③，作于点G，交延长线于点F. (1)请你任意选择其中一种对原题进行证明： 方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (2)方法运用：如图④，是的中线，与交于点F且．求证：． 变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段．求作：，使边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据______作出． ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（）若用其他思路，作法正确也可以． 作等腰，满足腰，底边上的高．       变式2．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】（2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】（3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 变式3．（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；（3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 模型2.截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 例2．（23-24八年级·广东·假期作业）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 变式1．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 变式2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 变式3．（23-24八年级上·山东济南·期末）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． (1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是______； 【拓展延伸】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为______cm． 1．（2024·浙江·一模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．3 2．（23-24八年级·广西贵港·期中）如图，在四边形中，，M是边的中点，平分，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北·假期作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 4．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接． (1)如图1，点O在线段上，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______； (2)若点O在线段的上方，连接，且满足．如图2，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 5．（23-24八年级·山西临汾·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．具体做法是：延长三角形某条边上的中线，使延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，借助于图形的关系和性质展开求解或证明． 请结合下图完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结、．    6．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接， 为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______） （______），∴． 7．（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 8．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 9．（22-23八年级上·福建莆田·期末）数学活动课中，老师给出以下问题： (1)如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围 ． (2)如图2，在中，为锐角，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连接，请探索由三条线段构成的三角形的形状，并说明理由． (3)已知：如图3，，且，F是线段的中点．求证：． 10．（23-24八年级上·安徽·单元测试）综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 11．（2024·江苏·八年级课时练习）（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：； （2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：； （3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：． 12．（2024·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：．（2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长．（3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ． 13．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务． 【认识“倍长”】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．如图1，在中，是边上的中线，延长到点．使．连接，易证（依据），进一步可得到等结论． 任务：（1）上述材料中的依据是_____________；（2）如图2，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，求证：． 【启发拓展】如图3，爱思考的小轩受到启发，把和边的中点和连接起来，得到线段，线段叫做三角形的中位线．下面是小轩的证明方法：延长到点，使，连接易证，得到，即，进而得到，因此可知，最终得到．通过推理，小轩总结得到这样的结论：如果点和点分别为和边中点，那么是的中位线，且．“几何语言”：和分别为和的中点是的中位线． 【旧知新论】 （3）已知和，，，，连接和，点是线段的中点，连接交于点．请直接应用【启发拓展】中的结论，合理猜想与的数量关系？并证明你的结论． 14．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）【问题提出】如图①，在中，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，经过推理可知…（2）的取值范围为 　　． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【应用】如图②，在中，点D为边的中点，点E在边上，与相交于点F，，求证：． 【拓展】如图，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交的延长线于点G，若，则的面积为 　　．    15．（23-24八年级上·河北衡水·期中）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：． （2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长． （3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ．             16．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，在中 (1)若平分，求证： (2)若为边上的中线，且，求的取值范围． 17．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 18．（22-23八年级下·山东滨州·期中）如图，四边形是正方形，，点在射线上，且交正方形外角的平分线于点，过点作交直线于点． (1)（1）如图一，点是边的中点， 求证：①．（提示：取的中点，连接．）②； (2)如图二，当点在的延长线上时，①判断与的数量关系，说明理由； ②直接写出，，的数量关系． 19．（22-23八年级下·山西运城·期末）学完平移与旋转后，数学老师再次介绍了截长补短法：截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． 例如：如图1，已知点P是的平分线上一点，点A是射线上任意一点，在上截取B点，使（截长法），连接，易得：．如图2，已知中，平分，延长至点F（补短法），使得，连接，易得．    问题情境：今天我们继续运用截长补短法进行探究学习．如图3，点P是等边外一点，连接且满足，线段之间有何等量关系呢？ 经过探究，勤奋小组讲解了他们的思路： 如图4，在上截取一点Q，使，连接． ∵是等边三角形， ∴， 又∵，∴，又∵  ∴ ∴（依据1： ）∴， ∴，即 可知是等边三角形（依据2： ），所以，因此最终得出线段 之间的等量关系是 ．    反思交流：（1）①上述证明过程中“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1： ．依据2： ．②图3中线段之间的等量关系是 ． 探索发现：（2）创新小组受勤奋小组的启发，把点D移动到边下方，如图5，是等边三角形，且点D是边下方一点，，将绕点A逆时针旋转得到，根据上述解题思路，继续探究三条线段之间的等量关系，并写出你的证明过程．    问题解决：（3）请你参考上面的解题思路，探究并解决下列问题：如图6，在正方形内有一点P，且，，则＝ ． 20．（23-24八年级下·福建漳州·期中）【阅读理解】 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法、截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题，    （1）如图1，是等边三角形，点D是边下方一点，，探索线段之间的数量关系． 解题思路：延长到点E，使，连接，根据，可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系． 根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是_______； 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，．若点D是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的长分别为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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