专题11 全等三角形模型之角平分线模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题11 全等三角形模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 25 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 37 61 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，以的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于长为半径，两条弧交于点P，作射线，点C是上一点，于点F，点D，E分别在，上．已知，，，则的长度为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，为的角平分线，过点C作与点P，通过证明，可得，证明可得，根据即可求解． 【详解】解：根据题意可得，为的角平分线，过点C作与点P， ∵，，∴， 在和中， ，∴，∴， 在和中， ，∴， ∴，∴，设，则，解得：， ∴，故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等． 例2．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， 平分，平分，，，， ，，，， ，，，，， 与不一定相等，与不一定相等，点不一定是的中点， 与不一定相等，故①不正确； ②，，，， ，， ，，，，②正确； ③平分，平分， ，，，③正确； ④由①可知， ，，，故④正确，故选：C． 例3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．    【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作于，    ∵，平分，∴， ∵点为的中点，∴，∴， 又∵，∴平分； （2）证明：在和中， ，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （3）证明：∵，∴， ∵，∴，∵，∴． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 例4．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．    分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点P作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）证明：，，， 是的平分线，， 在和中，，，； （2）证明：如图②，过点作于，于，    是的平分线，，，， ，，， 在和中，，，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 例1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角形面积的计算，延长交于点E，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【详解】解：延长交于点E， 在中，，，∴， ∵平分，且，∴，， ∴，∴，∴，， ∴，∴，∴，故答案为：． 例2．（2024·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值． 【详解】解：如图：延长，交点于，    平分，，，， 在和中，，，，； ，，即；  ，， 当时，取最大值，即取最大值．．故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到． 例3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】（1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】（2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】（3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线；再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论；（）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论；（）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点，由已知可知，∴， ∵，∴； （），证明如下：如图，延长交于点，则， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，由已知可知，，∴； （）如图，延长交于，由已知可知，，，∴， ∵，∴，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 等知识，解本题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数． 【答案】40° 【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得 【详解】解：如图，在上截取，连接， 是的平分线，， 在和中， ，，， ∴DE=DF，，又，， ，， 在和中，，故． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 例2．（2023·四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析 【分析】（1）在上取一点，使得，连接，则利用可得出，从而得出，即有，通过这样的转化可证明与互补． （2）由（1）的结论中得出的，结合三角形的外角可得，可将转化为，从而在线段上可解决问题． 【详解】证明：（1）在上取一点，使得，连接 ∵ ∴∴， ∵∴∴ ∵∴ 即与互补． （2）由（1） ∵ ∴ 又∵ ∴即 ∴∴∵∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有“翻折构造全等”“作角边的垂线段”两种辅助线方法． 例3．（2023·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．      （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析． 【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC＋AB＝CD． 【详解】（1）猜想：． 证明：如图②，在上截取，连结， ∵为的角平分线时，∴，∵， ∴，∴，，∵，∴． ∵，∴，∴，∴． （2）猜想：．证明：在的延长线上截取，连结． ∵平分，∴． 在与中，，，， ∴．∴，．∴． 又，，． ∴．∴．∴． 【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形的外角的性质；（1）根据题意再证明得出，进而即可得证；（2）根据角平分线的定义可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；（3）在上截取，证明，，根据全等三角形的性质，即可得证；（4）在上截取，证明，结合已知可得，进而根据等边对等角可得，进而根据角平分线的定义，全等三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解． 【详解】（1）补充证明如下：∵，∴， 又∵∴，∴ ∵点是边的中点，∴，又∵∴， 在中，∴∴， 又，∴，即； （2）∵，∴， ∵为的角平分线，∴ ∴，故答案为：． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵，∴，∵是的角平分线，∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴， 又∵∴∵是的角平分线，∴， 在中，∴∴∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵平分∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴∴， ∴， ∴ 故答案为：． 1．（2023·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　） A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，利用“HL”证明可得对应角,全等三角形对应边相等可得,然后求出可得出答案． 【详解】∵平分,∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确． ∵,平分，∴，且（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确． ∵，，∴， 在和中，∴≌（HL）， ∴故③正确，，∴，即，故④正确，故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性质是解题的关键． 2．（2023·河北唐山·八年级校考阶段练习）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【分析】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DG，证明Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG=∠DFH，根据互为邻补角的性质得到答案． 【详解】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H， ∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC，∴DH=DG， 在Rt△DEG和Rt△DFH中， ∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠DEG=∠DFH，又∠DEG+∠BED=180°，∴∠BFD+∠BED=180°， ∴∠BFD的度数=180°-140°=40°，故选A． 【点睛】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，解题关键在于作辅助线 3．（2024·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知是直角三角形，．在边上分别截取，使；分别以G，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点H；作射线交于点D，过D作，垂足为E．若，则与的周长差为（　　） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】首先由作图得平分，根据角平分线的性质得，再证得到，然后利用等线段代换得到，从而得解． 【详解】解：由作图得平分， ， 在和中，，()，， ，， ，由勾股定理得∶，，故选∶A． 【点睛】本题考查了基本尺规作图，角平分线性质，勾股定理，直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识是解本题的关键． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：∵E、F分别是上的任意点，∴与不一定相等，故①错误； ∵于点于点D，∴， ∵，∴的另一个条件是， ∵与不一定相等，∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则，∴， 在和中，，∴， ∴ ∵， ∴，∴， 在和中，，∴，   ∴∴， ∴平分，故③⑤正确；若平分，而，∴，与题干信息矛盾，故④错误；故选C 5．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，D为内一点，平分于点D，交于点E．若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了确定三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由已知条件判定三角形全等，得出，进而即可求解． 【详解】解：∵平分，， 又，，， ，故答案为：3． 6．（23-24八年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，中，是中线，是角平分线，垂直于点F，，，则的长是 ．    【答案】2 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质．延长交于点G，证明，从而可得是等腰三角形，，点F是中点，判断出是的中位线，继而可得出答案． 【详解】解：延长交于点G，    ∵平分，∴，∵垂直，∴， ∵在和中，，∴，∴， 又∵点D是中点，∴是的中位线， ∴．故答案为：2． 7．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，平分，于E，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角度的运算，三角形内角和定理和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据三角形内角和结合可求得的值，再根据角平分线的性质结合三角形内角和可求得，最后根据结合三角形内角和即可求得的度数． 【详解】解：，，， ，，， 平分，，， ，，． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）（1）如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则 （填写“＞”“＜”或“＝”），请证明你的猜想；（2）如图2，在中，平分交于点，连接，．判断与的大小关系，并证明； （3）如图3，在中，，的角平分线，交于点，若，则 ． 【答案】（1）>，见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）在上截取，连接，则，由，得，因为，所以，于是得到问题的答案； （2）延长到点，使，连接，则，因为，所以，再证明，得，所以； （3）在上截取，连接，可证明，则，，所以，由，得，则，作于点，于点，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）， 证明：如图1，在上截取，连接，则， ，，，，故答案为：； （2）， 证明：如图2，延长到点，使，连接，则， ，，平分，， 在和中，，，，； （3）如图3，在上截取，连接， ，的角平分线，交于点， ，， ，， 在和中，，， ，，， ，，，， 作于点，于点，平分，， ，，故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 9．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线． 【答案】见解析 【分析】延长、交于点F，利用即可证出，从而得出，结合可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，利用三线合一即可证出结论． 此题主要考查了全等三角形，线段垂直平分线，等腰三角形，熟练掌握全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三线合一，是解题关键． 【详解】如图，延长、交于点F．∵，∴， 又，∴，∴， 在和中，，∴，∴． 又，∴，∴，∵，∴是线段的垂直平分线，∴， ∴，∴是的角平分线． 10．（23-24八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，是的角平分线. (1)当时，求的度数；(2)当时，求证：. 【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1），延长至，使，连接，则，再证明 ，可得，设，则，可表示，及，然后根据三角形内角和定理得出答案； （2），求出，再截取，可证明，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）延长至，使，连接，则． ，．平分，． ，，． 设，则，.∵，． 在中，，，解得，； （2）∵，且，， 在BC上截取，连接DF．平分，． ，，， ，，， ，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义等，构造全等三角形是解题的关键． 11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着逆向思考： 【情境建模】（1）如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： ①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交于点E、F，．求证：； ②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，请直接写出此时的长． 【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在上，步道分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少米？（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②2；（3）米 【分析】本题考查了等腰三角形“三线合一”性质的证明与运用，涉及了勾股定理等知识点，利用全等三角形证明“三线合一”性质是解题关键． （1）证即可求证；（2）①由（1）可得，根据，可得，即，即可求证；②延长交于点，由（1）可得，可推出；根据可知当时，最大，最大，据此即可求解；（3）延长交于点，延长交于点，由（1）得，证得；设，分别表示出即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，∴ ∵，∴∵∴，∴． （2）①∵平分，， ∴由（1）可得： ∵，∴，∴ ∵∴； ②延长交于点，如图所示： ∵平分，，∴由（1）可得： ∵∴ ∵为得中点，∴∴当时，最大，最大， 此时：∴ （3）延长交于点，延长交于点，如图所示： ∵分别平分和，， ∴由（1）可得： ∵∴∴， ∵，米，米，∴米， 设∴ ∵∴ ∴ ∴需要围挡米 12．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)，理由见解析 【分析】（1）根据角的轴对称性，即可得到； （2）证明，得到，根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）在上截取，证明，得到，，利用外角的性质，得到，进而得到，于是，利用即可得出． 【详解】（1）解：∵角关于角平分线所在的直线对称，， ∴点A、B关于直线对称，∴；故答案为：； （2）证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接，则：，    又，∴，∴， ∵是的一个外角，∴，∴； （3）；理由如下：在上截取，连接，    ∵平分，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴. 【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 13．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．    (1)【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理 ①∵，平分，∴ ， ； ②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．    (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明． 已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一：如图2，延长到点E，使， 连接． 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F． (3)【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值． 【答案】(1)，；；(2)证明见解析；(3)的最大值为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）由，平分，直接得出，； 设，，，由的周长为32，得出，由的周长为23，得出，即可求解； （2）方法一，延长到点E，使， 连接，可证明，得出，，再由角平分线的性质得到，进而得到，得出，即可求证；方法二，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，通过分别证明，，从而得到，，即可求证；（3）延长交的延长线为点， 可证明，进而得到，根据题意得到，当以为底边， 为高时，有最大值，即有最大值，即可求解． 【详解】（1）解：如图：       ∵，平分，∴，，故答案为：，； 设，，， ∵的周长为32，∴，∴， ∵的周长为23，∴，∴，故答案为：． （2）证明：方法一：如图2， 延长到点E，使， 连接， ∵点D是的中点，∴， 在和中，∵，∴，∴，， ∵平分，∴，∴，∴，∴； 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，    ∵平分，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵点D是的中点，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （3）解：延长交的延长线为点，如图：    ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，∵，∴，∴， ∵，∴， ∵的面积分别为，∴， ∵点E为中点，∴，∵，∴， ∴， 当以为底边， 为高时，有最大值，即有最大值， ∴的最大值为：，∴的最大值为． 14．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（）若，可得，，再根据角平分线的性质即可求解；（）如图，过点分别作于，的延长线于点，由角平分线的性质可得，再由，可得，即可证明，得到； （）如图，在上取，由等腰三角形的性质可得，进而得到，再得到，即得，再由（）可得，，然后利用三角形外角性质可得，可得到，进而得到，即得，据此即可求证； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定义及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：若，则，，∴，， ∵平分，∴，故答案为：； （2）解：如图，过点分别作于，的延长线于点，则， ∵平分，∴∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：如图，在上取， ∵是等腰三角形，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴，由（）可得，， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴，即． 15．（2024·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题． (1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． (2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC． 【答案】(1)=(2)见解析 【分析】（1）根据题目挖掘条件证明△ACD≌△ABD即可（2）在AB边上取点E，使AC=AE，证明△ACD≌△AED，利用全等对应角和∠ABD+∠ACD=180°得到∠DEB=∠B，从而推出结论 【详解】（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°∴∠C=90° ∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠BAD ∵AD=AD∴△ACD≌△ABD（AAS）∴BD=CD （2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE ∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD ∵AD=AD，AC=AE∴△ACD≌△AED（SAS）∴DC=DE，∠AED=∠C ∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°∴∠DEB=∠B∴DE=DB∴DB=DC 【点睛】本题考查全等三角形的证明，以及角平分线常见辅助线；注意第二小题难点在于辅助线 16．（2023·浙江·八年级专题练习）在中，，，是的两条角平分线，且，交于点． （1）如图1，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； 小东通过观察、实验，提出猜想：．他发现先在上截取，使，连接，再利用三角形全等的判定和性质证明即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整： ⅰ）在上截取，使，连接，则可以证明与 全等，判定它们全等的依据是 ； ⅱ）由，，是的两条角平分线，可以得出 °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想的过程． （2）如图2，若 ，求证：． 【答案】（1）①ⅰ）△BMF，边角边；ⅱ）60；②详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）先得出结论； ①利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论； ②利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论； （2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE，进而判断出△BGF≌△CEA，即可得出结论． 【详解】（1） ①如图1，在上取一点，使， ⅰ）是的平分线，， 在和中，，； ⅱ），是的两条角平分线，，， 在中，， ，， ， ；故答案为：ⅰ）ΔBMF，SAS；ⅱ）60；      ②由①知，，，， ∵，，，， 是的平分线，， 在和中，， ，； （2）如图2，在中，，，， ，是的两条角平分线，，， ，，， 在的边左侧作，交的延长线于，． ，，， ，，在和中，，，． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是（1）判断出，（2）作出辅助线，判断出． 17．（2023春·浙江·八年级开学考试）已知在中，，AD是的平分线． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，线段还存在（1）中的等量关系吗？说明理由． 【答案】(1)过程见解析(2)存在，过程见解析 【分析】（1）过D作，交AB于点E，易证，则可得，又由，所以，易证，则可证得； （2）存在．在AB上截取，可证明，得到再根据及外角的性质得到即可求证． 【详解】（1）证明：过D作，交AB于点E，如图1所示， ∵AD为的平分线，，， 在和中， ，，则； （2）存在，理由为：在AB上截取，如图2所示， ∵AD为的平分线，， 在和中，，， ， 又，则． 【点睛】此题考查角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键． 18．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E： (1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________. (2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想. (3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.        【答案】（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD. 【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论． 【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD， ∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CD=DE=AD，故答案为CD=AD （2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE， 在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°， ∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=DE=AD. （3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°． ∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG． ∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°， ∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED． 在△DAF和△DEG中，，∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED． ∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC， ∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE． ∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键． 19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）我们曾做过如下的实验：画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F． 　 　 (1)若，（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由； (3)探究：画∠AOB，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由． 【答案】(1)相等，理由见解析(2)相等，理由见解析(3)相等，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解； （2）PE＝PF，分两种情况，当时，证明，可得PE＝PF；当PE与OA不垂直时，作于点M，于点N，先证明得PM＝PN，再证明，可得PE＝PF；（3）在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG，先证明，可得，PG＝PE，再由同角的补角相等证明，则PG＝PF，得PE＝PF． 【详解】（1）解：相等；理由如下： ∵OC平分∠AOB，，，∴PE＝PF． （2）解：PE＝PF，理由如下：当时，如图①， ∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°， ∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO＝360°， ∴∠PFO＝90°，∴∠PEO＝∠PFO，∵OP＝OP，∴，∴PE＝PF； 当PE与OA不垂直时，如图②， 作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N， ∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∠POM＝∠PON＝45°，OP＝OP，∴，∴PM＝PN， ∵∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN＝360°，∴∠MPN＝90°， ∵∠EPF＝90°，∴， ∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴，∴PE＝PF，综上所述，PE＝PF． （3）解：PE＝PF，理由如下： 如图③，在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG， ∵OC平分∠AOB，∴∠POG＝∠POE，∵OP＝OP，∴， ∴∠OGP＝∠OEP，PG＝PE，∴∠PGF+∠OEP＝∠PGF+∠OGP＝180°， ∵，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP＝360°， ∴∠PFG+∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝PF，∴PE＝PF． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法、角平分线的性质定理等，熟练掌握角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点向角两边作垂线构造辅助线的方法，是解决本题的关键． 20．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）【基础练习】（1）如图1，在等腰中，，，平分交于点，于点，求的长． 【类比探究】（2）如图2，是的角平分线，，，点在上，．求证：． 【拓展延伸】（3）如图3，点是等边外一点，连结，恰好满足平分交于点，线段之间有什么关系？请作出猜测并进行证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是关键．（1）由勾股定理求得的长度，再证明，即可求解； （2）证明，则易得，从而求证；（3）在上找一点，使得．证明，则易得是等边三角形．即可证明猜测成立． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，， ．平分，． ，． ∵．．． （2）证明：是的角平分线，． ，．． ，，，． （3）解： 证明如下：在上找一点，使得． 是等边三角形，，． ，．． 平分，．， 是等边三角形．，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 全等三角形模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 25 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 37 61 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，以的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于长为半径，两条弧交于点P，作射线，点C是上一点，于点F，点D，E分别在，上．已知，，，则的长度为（    ） A．5 B． C．6 D． 例2．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．    例4．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．    分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。证明：同图1的证法， 例1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为 ． 例2．（2024·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    例3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】（1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】（2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】（3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线；再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数． 例2．（2023·四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 例3．（2023·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．      （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 1．（2023·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　） A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 2．（2023·河北唐山·八年级校考阶段练习）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 3．（2024·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知是直角三角形，．在边上分别截取，使；分别以G，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点H；作射线交于点D，过D作，垂足为E．若，则与的周长差为（　　） A．4 B．3 C．2 D．5 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 5．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，D为内一点，平分于点D，交于点E．若，则的长为 ． 6．（23-24八年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，中，是中线，是角平分线，垂直于点F，，，则的长是 ．    7．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，平分，于E，若，求的度数． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）（1）如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则 （填写“＞”“＜”或“＝”），请证明你的猜想；（2）如图2，在中，平分交于点，连接，．判断与的大小关系，并证明； （3）如图3，在中，，的角平分线，交于点，若，则 ． 9．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线． 10．（23-24八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，是的角平分线. (1)当时，求的度数；(2)当时，求证：. 11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着逆向思考： 【情境建模】（1）如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： ①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交于点E、F，．求证：； ②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，请直接写出此时的长． 【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在上，步道分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少米？（步道宽度忽略不计） 12．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明）；(3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 13．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．    (1)【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理 ①∵，平分，∴ ， ； ②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．    (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明．已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一：如图2，延长到点E，使， 连接． 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F． (3)【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值． 14．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 15．（2024·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题． (1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． (2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC． 16．（2023·浙江·八年级专题练习）在中，，，是的两条角平分线，且，交于点． （1）如图1，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； 小东通过观察、实验，提出猜想：．他发现先在上截取，使，连接，再利用三角形全等的判定和性质证明即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整： ⅰ）在上截取，使，连接，则可以证明与 全等，判定它们全等的依据是 ； ⅱ）由，，是的两条角平分线，可以得出 °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想的过程． （2）如图2，若 ，求证：． 17．（2023春·浙江·八年级开学考试）已知在中，，AD是的平分线． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，线段还存在（1）中的等量关系吗？说明理由． 18．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E： (1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________. (2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想. (3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.        19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）我们曾做过如下的实验：画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F． 　 　 (1)若，（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由； (3)探究：画∠AOB，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由． 20．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）【基础练习】（1）如图1，在等腰中，，，平分交于点，于点，求的长． 【类比探究】（2）如图2，是的角平分线，，，点在上，．求证：． 【拓展延伸】（3）如图3，点是等边外一点，连结，恰好满足平分交于点，线段之间有什么关系？请作出猜测并进行证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$