专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 20 36 模型1.倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，求的取值范围． [探究方法]他们通过探究发现，延长至点E，使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． [问题解决](1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程． (2)如图2，是的中线，且，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等边对等角，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）利用证明，得到，利用三角形三边的关系得到，则；（2）如图所示，延长到F，使得，先证明，得到，，进而推出，再证明，推出，即可得到． 【详解】（1）解：如图1，延长至点，使，∵是的中线，∴， 在和中，，，， ，，，； （2）证明：如图所示，延长到F，使得，∵是的中线，∴， 在和中，，，，， ∵，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴． 例2．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）阅读以下材料，完成以下两个问题， [阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：AE平分． 结合此题，，点B是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角，有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示．以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长FE至G，使，连结CG． 在和中，，∴． ∴，． ∵，∴．∴．∴． ∵，∴．∴，∴平分． 问题：参考上述方法，请完成图（2）的证明． 【答案】见解析 【分析】根据题干图（1）的证明，可延长AE至G，使，连接DG．在和中利用“SAS”易证，得到结论，．由，可间接证明，最后由平行线的性质即可间接证明出，即AE平分． 【详解】图（2）的证明： 证明：延长AE至G，使，连接DG，如题干图（2）所示： 在和中，，∴．∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴AE平分． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义．阅读材料，根据图（1）的证明理解图（2）的辅助线作法是解答本题的关键． 变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段．求作：，使边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据______作出． ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（）若用其他思路，作法正确也可以． 作等腰，满足腰，底边上的高．       【答案】(1)证明见解析 (2)①，；②；③(3)见解析 【分析】（1）由是边上的中线，可知，进而可证； （2）根据全等三角形的判定定理进行作答即可； （3）作延长线到使，根据垂直平分线的性质，分别以为圆心，长为半径画弧，弧的交点即为，连接，则即为所求． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线，∴， ∵，，，∴； （2）解：①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据作出符合条件的；若知道，则可以根据作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出．故答案为：，； ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据作出．故答案为：； ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得，可得．故答案为：； （3）解：如图，，即为所求；    【点睛】本题考查了中线，垂直平分线的性质，作垂线，全等三角形的判定定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 变式2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，    ∵是的中点，， ，，， 在中，，，； （2）如图，延长交于点，∵的中点为D，∴，         ∵由题意可得：，而， ∴，∴，， ∵，，∴，是的垂直平分线，∴； （3），，理由如下：如图，延长，使，连接， ∵为的中点，∴，∵，∴， ∴，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴．∵， ∴，∴，∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式3．（2023·广西柳州·二模）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决 请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母） A．              B．              C．             D． (2)的取值范围是________． 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长． 【答案】(1)A(2)；． 【分析】（1）延长到，使，连接，根据对顶角相等，即可利用“”证明，得到答案；（2）根据全等三角形的性质，得到的长，再利用三角形的三边关系即可得到答案； 延长交的延长线于点H，先利用“”证明，得到，，进而得到的长，再证明垂直平分，根据垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接，点为的中点，， 在和中，，，故答案为：A； （2）解：，，， ，，， ，，故答案为：； 解决问题：如图，延长交的延长线于点H， 四边形是正方形，，为边的中点，， 在和中，，，，， ，，，， ，，，， ，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，垂直平分线的性质，利用“倍长中线法”作辅助线构造全等三角形是解题关键． 模型2.截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．探究之间的数量关系；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图，在上截取，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图，延长到点，使得，连接，得到等腰三角形，进而解决问题． (1)试猜想之间的数量关系 ．(2)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题；(3)如图4，四边形中，是上一点，，探究之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)(2)见解析(3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形，等腰三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，即可．（1）根据题意，猜想，即可； （2）方法一：根据题意，则平分，则；根据，全等三角形的判定，则，则，；根据，，等量代换，则，根据等角对等边，则，即可；方法二，根据，则，根据题意，则，，等量代换；根据，全等三角形的判定，则，则；根据，即可； （3），在上截取，使得，连接，根据，则，根据三角形内角和，则，根据，根据等量代换，则，再根据三角形外角，，求得；根据全等三角形的判定，则，则，；根据，则，根据等角对等边，则，再根据，即可． 【详解】（1）； （2）证明，方法一： ∵平分，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴； 方法二：证明，如下：∵，∴，∴， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． （3），证明，如下：在在截取，使得，连接， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴，∴． 例2．（2024·湖北·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，即 （3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论． 【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图． 平分，．在和中，， ，，． ，．．，． 方法2：延长到点，使得，连接，如图． 平分，． 在和中，，．，． ，．，，． （2）、、之间的数量关系为：．（或者：，）． 延长到点，使，连接，如图2所示． 由（1）可知，．为等边三角形．，． ，．． ，为等边三角形．，． ，，即． 在和中，，．， ，． （3），，之间的数量关系为：． （或者：，） 解：连接，过点作于，如图3所示． ，．． 在和中，，，，． 在和中，，．， ，． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 变式1．（2023·广东八年级课时练习）如图所示，平分平分； （1）求与的数量关系，并说明你的理由． （2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由． 【答案】（1），见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）先写出数量关系，过作于，然后证明和，便可得结论了．（2）成立, 在上截取证明和，便可得到结论． 【详解】 理由是：过作于 ∵CE为角平分线 同理可证 成立 理由：在上截取 ∵CE为角平分线    又 又是角平分线 变式2．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）【问题背景】在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】如图4，在四边形ABCD中，，，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若，请直接写出与的数量关系．    【答案】初步探索：；探索延伸：仍然成立，证明见解析；结论运用：此时两舰艇之间的距离是210海里；问题发现：． 【分析】初步探索：根据全等三角形的判定可得，推得，，根据，，推得，根据全等三角形的判定可得，推得，即可推得；探索延伸：延长到，使，连接，证明，和，得到答案；结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可；问题发现：延长到H，使，利用邻补角可得，利用可证明，可得，，根据角的和差关系可得，根据可得，利用可证明，可得，根据周角的定义即可得答案． 【详解】初步探索：线段、、之间的数量关系为：； 证明：延长到，使，连接，如图1：    在和中，，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， 故线段、、之间的数量关系为：．故答案为：． 探索延伸：仍然成立；证明：如图2，延长到，使，连接，    ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴.∴， 在和中，，∴∴， ∴；故结论仍然成立． 结论运用：解：连接，延长交于点，如图3：    ∵，，∴， ∵，∴， ∴符合探索延伸中的条件，∴结论成立， 即海里，答：此时两舰艇之间的距离是210海里； 问题发现：延长到H，使，如图4，    ∵，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴，即， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示） 【答案】180°-2x 【分析】在CD上截取CE=CB，证明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论． 【详解】解：在CD上截取CE=CB，如图所示， 在△ABC和△AEC中， ∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC, ∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED， ∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°， ∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360° ∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°， ∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案为：180°-2x 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点． 2．（23-24八年级上·江苏·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量CD与AB数量关系．请根据小明的思路，写出CD与AB的数景关系，并证明这个结论． 【答案】CD=AB，证明过程详见解析 【分析】延长CD到点E，使ED=CD，连接BE，根据全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：CD=AB，证明：如图，延长CD到点E，使ED=CD，连接BE， 在△BDE和△ADC中， ∴△BDE≌△ADC(SAS)， ∴EB=AC，∠DBE=∠A， ∴BEAC， ∵∠ACB=90°， ∴∠EBC=180°-∠ACB=90°， ∴∠EBC=∠ACB， 在△ECB和△ABC中， ∴△ECB≌△ABC(SAS)， ∴EC=AB， ∴CD=EC=AB． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线． 3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【答案】证明见试题解析． 【分析】延长AD到G，使DF=DG，连接CG，得到BD=DC，根据SAS推出△BDF≌△CDG，根据全等三角形的性质得出BF=CG，∠BFD=∠G，求出∠AFE=∠G，CG=AC，推出∠G=∠CAF，求出∠AFE=∠CAF即可． 【详解】解：延长AD到G，使DF=DG，连接CG， ∵AD是中线， ∴BD=DC， 在△BDF和△CDG中， ∵BD=DC，∠BDF=∠CDG，DF=DG， ∴△BDF≌△CDG， ∴BF=CG，∠BFD=∠G， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠AFE=∠G， ∵BF=CG，且已知BF=AC， ∴CG=AC， ∴∠G=∠CAF， ∴∠AFE=∠CAF， ∴AE=EF． 【点睛】本题考查了倍长中线法、三角形全等的判定、性质及等腰三角形的性质等，本题的关键是借助阅读材料中提供的方法延长AD到G，使DF=DG，进而构造三角形全等． 4．（2023·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： (1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析 【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD； ②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论． （1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°， 又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形； （2）①证明：延长OP至E，使PE=OP， ∵P为BD的中点，∴BP=PD， 又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD； ②证明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°， 又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC， 又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC， 又∵OE=2OP，∴AC=2OP． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（23-24八年级上·四川南充·期中）如图：锐角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求证：AC+CD＝BD． 线段和差，通常用截长或补短法证明，下面是甲、乙两位同学的思路，请你按他们的思路，给出一种证明． 甲：截长法，在DB上截取DE＝DC，连AE，去证BE＝AC； 乙：补短法，延长DC到E，使CE＝CA，连接AE，去证DB＝DE． 【答案】见解析. 【分析】甲：由线段垂直平分线的性质可得AE=AC，由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠C，由外角性质可得∠B=∠BAE，可得AE=BE=AC，即可得结论； 乙：由外角性质可得∠ACB=2∠E，可得∠B=∠E，可得AB=AE，由等腰三角形的性质可得BD=DE，即可得结论． 【详解】解：甲：截长法，如图1，在DB上截取DE＝DC，连AE， ∵DE＝DC，AD⊥BC， ∴AE＝AC， ∴∠AEC＝∠C，且∠C＝2∠B， ∴∠AEC＝∠B，且∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠B＝∠BAE， ∴AE＝BE＝AC， ∴BD＝BE+DE＝AC+CD 乙：补短法，延长DC到E，使CE＝CA，连接AE， ∵CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE，且∠ACB＝∠E+∠CAE， ∴∠ACB＝2∠E，且∠ACB＝2∠B， ∴∠B＝∠E， ∴AB＝AE，且AD⊥BC， ∴BD＝DE， ∵DE＝DC+CE＝AC+DC， ∴BD＝DC+AC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造等腰三角形是本题的关键． 6．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接， 为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______） （______），∴． 【答案】线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，延长至点，使，连接，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接， 为中点，（线段中点的定义）， 在和中，，，， ，（两直线平行，同位角相等），， 平分（角平分线的定义）， （等量代换），，∴． 故答案为：线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换． 7．（2024·山东·一模）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析． 【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案； （2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论； （3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案． 【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示， ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中，∵，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案为：1＜AD＜5， （2）BE+CF＞EF；证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示． 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF， ∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF； （3）AF+CF＝AB．如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G， 在△ABE和△GCE中  CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC， ∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF， ∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 8．（2024·贵州·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析 【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3． ∵AB-BE<AE<AB+BE∵2<AE<8．∵AE=2AD∴1<AD<4． （2）AC=BF，理由如下：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG， 在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．． ∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使．连接，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． (1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； (2)【问题解决】如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A． B． C． D． 直接写出所有正确选项的序号是　 　． (3)【问题拓展】如图③，在和中， ，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【答案】(1) (2)B、C (3)见解析 【分析】（1）如图①中，延长至点E，使，证明，得，再利用三角形的三边关系，可得结论； （2）如图2中，延长至F，使，证明，即可判断； （3）如图3中，延长到J，使得，连接，证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：解：如图①中，延长至点E，使， 在和， ， ， ， ， ， ，              ； （2）如下图2中，延长至F，使， 由（1）得，， ， ， 点B为的中点， ， ， ， ， 又， ， ，， 故B、C正确； （3）如下图③中，延长到J，使得，连接， 同法可证， ， ， ， 与互补， ， ，           ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系，解题的关键是学会倍长中线，构造三角形全等． 10．（2024·山西·一模）阅读材料，解答下列问题． 如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【答案】详见解析 【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可． 【详解】如图，延长至点，使得，并连结， ∵是三角形的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形． 11．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：； (2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）等量代换可得，根据全等三角形的判定可得； （2）延长到G，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质可得，，由（1）可知：，推得，根据等边对等角可得，即可求得； （3）根据等边对等角可得，推得，根据由（1）可知：，推得，求得，即可得到． 【详解】（1）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）延长到G，使得，连接，如图：    ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）[阅读理解] “倍长中线”是初中数学一种重要的思想方法．如图1，在中，是边上的中线，若延长至E，使，连接，可根据证明，则 ．    [问题提出] (1)如图2，平行四边形中，点E为边的中点，在边上找一点F，使得（要求∶用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照你（1）中的作图过程证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作，交于点F，点F即为所求； （2）结合（1）证明，然后证明，可得，利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：以A为圆心，任意长度为半径画弧，与分别交于点M、N， 以M为圆心，的长度为半径画弧，以A为圆心，的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点F，点F即为所求，   ； （2）证明：延长交于点G，如图，    在平行四边形中， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了是全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角的作法等，合理添加辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键． 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)已作；对顶角相等；； (2) (3)6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ∵是的中线 ∴ ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 14．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答；（2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答；（3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答． 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 15．（23-24八年级上·河北沧州·期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定得出，，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明； （2）证明方法与（1）一致，证明即可；     （3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果． 【详解】（1）证明：根据题意得：AD=BD， 延长到E，使，连接 ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°， 证明方法同（1）类似， ∴； （3）， 证明：在截取，连接， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解题关键． 16．（23-24八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 17．（2023·山东临沂·八年级期末）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． ①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是　 ； ②在图2中，求证：AD＝CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC． 【答案】（1）①角平分线上的点到角的两边距离相等；②见解析；（2）见解析． 【分析】（1）①根据角平分线的性质定理即可解决问题； ②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要证明△DEA≌△DFC即可解决问题； （2）如图3中，在BC时截取BK=BD，BT=BA，连接DK．首先证明DK=CK，再证明△DBA≌△DBT，推出AD=DT，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解决问题； 【详解】（1）①根据角平分线的性质定理可知AD＝CD． 所以这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等． ②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F． ∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C， ∵∠E＝∠DFC＝90°，∴△DEA≌△DFC，∴DA＝DC． （2）如图3中，在BC上截取BK＝BD，BT＝BA，连接DK． ∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°， ∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°， ∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°， ∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK， ∵BD＝BD，BA＝BT，∠DBA＝∠DBT，∴△DBA≌△DBT， ∴AD＝DT，∠A＝∠BTD＝100°，∴∠DTK＝∠DKT＝80°， ∴DT＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC． 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 18．（2022·湖北孝感·八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）BD＝CD；（2）成立，证明详见解析；（3）AB＝AC+2BE，证明详见解析． 【分析】（1）结论：BD＝CD．只要证明△ADC≌△ADB即可； （2）结论成立．如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，只要证明△ADC≌△ADB即可； （3）如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．首先证明△DFC≌△DEB（AAS），再证明Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）即可解决问题. 【详解】解：（1）结论：DB＝DC．理由：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°， ∵∠DAC＝∠DAB，AD＝AD，∴△ADC≌△ADB．∴BD＝CD．故答案为BD＝CD． （2）结论成立．理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF， ∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD， 在△DFC和△EDB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC＝DB． （3）结论：AB＝AC+2BE． 理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F． ∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD， 在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF＝DE，CF＝BE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用角平分线构造全等三角形是解决此题的关键. 19．（2024·安徽·九年级校联考阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】（1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】（3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①；②． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）是定值，①；②． 【分析】（1）证明，推出，再根据角度的和差可得结论； （2）如图2，在上取一点，使得，证明是等边三角形，然后证明，可得，利用线段的和差即可解决问题； （3）如图3，在上取一点，使得，证明，，，证明是等边三角形，所以，过点作，，垂足分别为，，根据，可得的面积的面积，根据，可得，根据，可得，所以，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于点，    ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，在上取一点，使得，    是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ，， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①，②都是定值，证明如下： 如图3，在上取一点，使得，    和均为正三角形，，，三点共线， ，， 由（1）知：， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 过点作，，垂足分别为，， ， 的面积的面积， ， ， ， ， ， ， ①； ②， ， ， ． 综上所述：①，②都是定值． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出图形寻找全等三角形． 20．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期末）(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中，，，， ，， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！49 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 20 36 模型1.倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，求的取值范围． [探究方法]他们通过探究发现，延长至点E，使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． [问题解决](1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程． (2)如图2，是的中线，且，求证：． 例2．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）阅读以下材料，完成以下两个问题， [阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：AE平分． 结合此题，，点B是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角，有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示．以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长FE至G，使，连结CG． 在和中，，∴． ∴，． ∵，∴．∴．∴． ∵，∴．∴，∴平分． 问题：参考上述方法，请完成图（2）的证明． 变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段．求作：，使边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据______作出． ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（）若用其他思路，作法正确也可以． 作等腰，满足腰，底边上的高．       变式2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 变式3．（2023·广西柳州·二模）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决 请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母） A．              B．              C．             D． (2)的取值范围是________． 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长． 模型2.截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．探究之间的数量关系；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图，在上截取，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图，延长到点，使得，连接，得到等腰三角形，进而解决问题． (1)试猜想之间的数量关系 ．(2)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题；(3)如图4，四边形中，是上一点，，探究之间的数量关系，并证明． 例2．（2024·湖北·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 变式1．（2023·广东八年级课时练习）如图所示，平分平分； （1）求与的数量关系，并说明你的理由． （2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由． 变式2．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）【问题背景】在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】如图4，在四边形ABCD中，，，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若，请直接写出与的数量关系．    1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示） 2．（23-24八年级上·江苏·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量CD与AB数量关系．请根据小明的思路，写出CD与AB的数景关系，并证明这个结论． 3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 4．（2023·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： (1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP． 5．（23-24八年级上·四川南充·期中）如图：锐角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求证：AC+CD＝BD． 线段和差，通常用截长或补短法证明，下面是甲、乙两位同学的思路，请你按他们的思路，给出一种证明． 甲：截长法，在DB上截取DE＝DC，连AE，去证BE＝AC； 乙：补短法，延长DC到E，使CE＝CA，连接AE，去证DB＝DE． 6．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接， 为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______） （______），∴． 7．（2024·山东·一模）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 8．（2024·贵州·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使．连接，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． (1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； (2)【问题解决】如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A． B． C． D． 直接写出所有正确选项的序号是　 　． (3)【问题拓展】如图③，在和中， ，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 10．（2024·山西·一模）阅读材料，解答下列问题． 如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 11．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：； (2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 12．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）[阅读理解] “倍长中线”是初中数学一种重要的思想方法．如图1，在中，是边上的中线，若延长至E，使，连接，可根据证明，则 ．    [问题提出](1)如图2，平行四边形中，点E为边的中点，在边上找一点F，使得（要求∶用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．(2)按照你（1）中的作图过程证明． 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 14．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 15．（23-24八年级上·河北沧州·期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 16．（23-24八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 17．（2023·山东临沂·八年级期末）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． ①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是　 ； ②在图2中，求证：AD＝CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC． 18．（2022·湖北孝感·八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 19．（2024·安徽·九年级校联考阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】（1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】（3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①；②． 20．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期末）(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$