专题10 全等三角形模型之对角互补模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题10 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°—90°型对角互补模型、120°—60° 型对角互补模型、 α—（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 2 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 9 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 20 25 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，在的平分线上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与相交于点D，E． (1)如图1，当于D，于E，则的大小关系为　 　．(2)当三角板绕点C旋转到与不垂直时，在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想．    例2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践 已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F． （1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1）， ①证明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝　 　S△ABC． （2）【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明． （3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明） 例3．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明：；(3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 例4．（23-24七年级下·山东济南·期末）在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度；②求证：；(2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 例1．（2024.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 例2．（2024重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 例3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即）的角尺来作的角平分线． 问题发现：(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线OP是的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？ 问题探究：(2)如图2，小新在确认射线OP是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由． 例4．（23-24八年级上·山东东营·期末）已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，OD＝4，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE＝_________；        （1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由； （2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：①请在图3中画出图形；②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明． 例5．（23-24八年级上·浙江台州·期中）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为　 　； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置? 例6．（23-24九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系． 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 例1．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 例2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）如图，为的平分线上的一点，于点，为上一点，为上一点，．（1）求证：；（2）若，求的值． 例3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由． (2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 1．（23-24七年级下·成都市·阶段练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（       ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2024·江苏·校考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A． B．9 C．6 D．7．2 3.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，是的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线上，两直角边分别与交于点C，D，，垂足为点N，，则四边形的面积为 ． 5．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 6．（2023·广西·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC， 求证：∠A+∠C=180°． 7．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）综合与实践．问题情境：七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？ (1)七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八年级教材不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明． 变式拓展：(2)如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题： ①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，并直接写出结论． 8．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明； 变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题： ①与还相等吗？为什么？ ②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 9．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC．①如图1，若α=90°，请直接写出AD与CD之间的数量关系________； ②在图2中，①中结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （2）根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC． 　 10．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，画，并画的平分线． (1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为、如图①，则 ；(填“”“”或“”) (2)把三角尺绕着点旋转如图②，两直角边分别与、交于点、，那么与相等吗？试猜想与的大小关系，并说明理由． 11．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，，平分，直角三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角分别与相交于点C、D． (1)求证：；(2)若，求四边形的面积． 12．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）我们曾做过如下的实验：画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F． 　 　 (1)若，（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由； (3)探究：画∠AOB，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由． 13．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）知识感悟：如图1，点Р是的角平分线是一点，于M，于N，由角平分线的性质，易知：（不需证明） 知识迁移：如图2，平分 求证： 知识拓展：如图3，四边形中，，若，求的长． 14．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 15．（2024·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． （1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形 经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝ （2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明． 16．（23-24八年级上·重庆·期中）四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 17．（23-24八年级上·广东·期中）已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E． (1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是 ． (3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ． 18．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）【问题背景】在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】如图4，在四边形ABCD中，，，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若，请直接写出与的数量关系．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°—90°型对角互补模型、120°—60° 型对角互补模型、 α—（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 2 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 9 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 20 25 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，在的平分线上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与相交于点D，E．    (1)如图1，当于D，于E，则的大小关系为　 　． (2)当三角板绕点C旋转到与不垂直时，在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想． 【答案】(1)(2)成立，见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质即可判断；（2）过点C分别作，垂足为F，，垂足为G．证明，可得结论． 【详解】（1）∵平分，，，∴；故答案为：； （2）上述结论仍然成立．理由如下： 如图2，过点C分别作，垂足为F，，垂足为G．∴, ∵为的角平分线， ∴，∴，∴， ∴，∴．    【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题的关键． 例2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践 已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F． （1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1）， ①证明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝　 　S△ABC． （2）【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明． （3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明） 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）上述结论成立；理由见解析； （3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝；理由见解析. 【分析】（1）①先判断出DE∥AC得出∠ADE=∠B，再用同角的余角相等判断出∠A=∠BDF，即可得出结论；②当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；（2）成立；先判断出∠DCE=∠B，进而得出△CDE≌△BDF，即可得出结论； （3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF==S△CFE+S△ABC． 【详解】解：（1）①∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B， ∵∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠BDF＝90°， ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∴∠A＝∠BDF， ∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF（SAS）； ②如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形． 设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a． ∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2，即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为． （2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°， ∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，， ∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC； （3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示： 同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135° ∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC． ∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键． 例3．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，进而得出是等腰直角三角形，勾股定理可得，结合全等三角形的性质即可得出结论；（2）根据（1）的方法，在上截取，连接，证明得出是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）延长至，使得，证明得出四边形是正方形，得出进而即可得出结论． 【详解】（1）解：∵∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，∴∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵，，∴， 设，则，，∴， 又∵，，∴，∴ ∴∴是等腰直角三角形， ∴∴即 （3）解：如图所示，延长至，使得， ∵，∴，又∵，∴ 又∵∴，∴，又∵∴， ∴∴四边形是矩形， 又∵∴四边形是正方形，∴∴ 即 ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 例4．（23-24七年级下·山东济南·期末）在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度；②求证：；(2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)①1；②见解析(2)的值不发生改变，等于 【分析】（1）①证，即可得出；②过分别作于点，作于点，证，得出．得出平分，即可得出结论；（2）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出．证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ，， 在和中，，，； ②过分别作于点，作于点，如图1所示： 在四边形中，，． 在与中，，，． ，，平分，； （2）解：的值不发生改变，等于．理由如下：连接，如图2所示： ，，为的中点，，， ，，． ，即，． 在和中，，，， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定定理、直角三角形的性质、余角的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 例1．（2024.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析 【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：CF=CG； 证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB， ∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）CF=CG.理由如下：如图， 过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º， ∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º， ∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º， ∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE， ∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG， 在△MCF和△NCG中， ∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）； 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ． 例2．（2024重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析. 【分析】(1)根据OM是∠AOB的角平分线，可得∠AOB=60°，则∠OCE=30°，再根据30°所对直角边是斜边的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出结论；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根据AAS证明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，则OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出结论.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根据等量代换可得OE﹣OD=OC. 【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°， ∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°， 在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC， (2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC； (3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC， 理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.正确作辅助线是解题的关键. 例3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即）的角尺来作的角平分线． 问题发现：(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线OP是的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？ 问题探究：(2)如图2，小新在确认射线OP是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)小新的观点正确，理由见解析；(2)OE＝2OD，理由见解析． 【分析】（1）根据SSS证明△OPD≌△OPE（SSS），求出∠POD＝∠POE可得结论；（2）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT，证明△POD≌△POT（SAS），可得∠ODP＝∠OTP，然后根据平行线的性质求出∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，然后根据等角对等边求出PT＝OT，PT＝TE，可得结论． 【详解】（1）解：小新的观点正确； 理由：在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（SSS）， ∴∠POD＝∠POE，即射线OP是的角平分线； （2）OE＝2OD；理由：如图，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT． ∵OP平分∠AOB，∴∠POD＝∠POT， 在△POD和△POT中，，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP＝∠OTP， ∵PDOB，∴∠PDO＋∠AOB＝180°，∠DPE＋∠PEO＝180°， ∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°， ∴∠OTP＝∠ODP＝120°，∴∠PTE＝60°，∴∠TPE＝∠PET＝60°，∴TP＝TE， ∵∠PTE＝∠TOP＋∠TPO，∠POT＝30°，∴∠TOP＝∠TPO＝30°，∴OT＝TP，∴OT＝TE，∴OE＝2OD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例4．（23-24八年级上·山东东营·期末）已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，OD＝4，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE＝_________；        （1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由； （2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：①请在图3中画出图形；②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明． 【答案】8;(1)上述结论成立;(2)①见详解;②上述结论不成立，. 【分析】利用角平分线定理得出DE=CD，即可得出结论； (1)先判断出∠DCQ=∠ECP，进而判断出△CQD≌△CPE，得出DQ=PE，即可得出结论；(2)①依题意即可补全图形；②先判断出∠DCQ=∠ECP，进而判断出△CQD≌△CPE，得出DQ=PE，即可得出结论． 【详解】解：∵，∴，在中，，，OD＝4， ∵点是的平分线上的点，∴，同理，，∴，故答案为8； （1）上述结论成立. 理由：如图2，    过点作于，于，∴，∴， 由旋转知，，∴，∴， ∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴； （2）①补全图形如图3.    ②上述结论不成立，. 理由：过点作于，于，∴，∴， 由旋转知，，∴，∴， ∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴. 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键 例5．（23-24八年级上·浙江台州·期中）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为　 　； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置? 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析；（3）周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2． 【分析】（1）先利用等边三角形判断出BD=CD=AB，进而判断出BE=BD，再判断出∠DFC=90°，得出CF=CD，即可得出结论；（2）①构造出△EDG≌△FDH（ASA），得出DE=DF，即可得出结论； ②由（1）知，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），得出EG=FH，即可得出结论；（3）由（1）（2）判断出L=2DE+12，再判断出DE⊥AB时，L最小，点F和点C重合时，DE最大，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC， ∵点D是BC的中点，∴BD=CD=BC=AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°-∠B=30°， 在Rt△BDE中，BE=BD，∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°， ∵∠C=60°，∴∠DFC=90°，在Rt△CFD中，CF=CD，∴BE+CF=BD+CD=BC=AB， ∵BE+CF=nAB，∴n=，故答案为； （2）如图， ①过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴∠DGB=∠AGD=∠CHD=∠AHD=90°， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠GDH=360°-∠AGD-∠AHD-∠A=120°，∵∠EDF=120°，∴∠EDG=∠FDH， ∵△ABC是等边三角形，且D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG=DH， 在△EDG和△FDH中，，∴△EDG≌△FDH（ASA），∴DE=DF，即：DE始终等于DF； ②同（1）的方法得，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），∴EG=FH， ∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=AB，∴BE与CF的和始终不变； （3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=AB， ∵AB=8，∴BE+CF=4，∴四边形DEAF的周长为L=DE+EA+AF+FD =DE+AB-BE+AC-CF+DF=DE+AB-BE+AB-CF+DE=2DE+2AB-（BE+CF）=2DE+2×8-4=2DE+12， ∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DE⊥AB时，DE最小，L最小， 此时∠BDE=90°-60°=30°，BE=BD=2， 当点F和点C重合或点E和点B重合时，DE最大，点F和点C重合时，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°， ∵∠B=60°，∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BE=DE=BD=AB=4， 当点E和点B重合时，DE=BD=4，周长L 有最大值， 即周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线定理，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解题的关键． 例6．（23-24九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系． 【答案】（1）1（2）证明见解析（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB 【分析】（1）如图1中，只要证明∠BED=90°，根据直角三角形30度角性质即可解决问题． （2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要证明△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解决问题．（3）（2）中的结论不成立．结论：BE﹣CF=AB，证明方法类似（2）． 【详解】解：（1）如图1中， ∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4， ∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°， 又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=BD=1． （2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF， ∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB． （3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF， ∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=AB． 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 例1．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 【答案】3 【分析】过点作，垂足为点．证明、，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为点． ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，且，∴，∴， ∵，∴故①错误， 在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∵∴，∵，∴，故③正确， ∵，∴， ∴．故④正确．故答案为3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 例2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）如图，为的平分线上的一点，于点，为上一点，为上一点，．（1）求证：；（2）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析      （2） 【分析】（1）作于F，根据角平分线的性质可得，通过全等三角形的性质以及判定证明，从而得证；（2）根据可得，根据可推出，即可求出的值． 【详解】（1）作于F ∵为的平分线上的一点，于点，于F ∴， ∵，∴ 在△PCD和△PFE中∴∴； （2）∵∴ ∵∴ ∴∴ ∵∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的性质和判定． 例3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由． (2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，由点在的角平分线上，且于，M，得，，进而证明（），即可得证明； （2）过点作于点，同（），可证，得，证，得，从而即可得解；（3）过点作于点，同（），可证，，又证，得，从而即可得解． 【详解】（1）解：．理由：过点作于点， ∵点在的角平分线上，且于，，∴，， ∵，∴，，∴， 在和中，，∴（），∴． （2）解：结论：，理由如下：如图，过点作于点， 同（），可证，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． （3）解：，理由如下：如图，过点作于点， 同（），可证，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，垂线定义，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键， 1．（23-24七年级下·成都市·阶段练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（       ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA； ③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC． ④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA． 【详解】解：如图， ①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度， ∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，∴D、A、E三点共线；故①正确； ②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE， ∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE为等边三角形， ∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°-60°=60°， ∴DC平分∠BDA；故②正确； ③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正确； ④由旋转可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD． ∵△CDE为等边三角形，∴DC=DB+DA．故④正确；故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量． 2.（2024·江苏·校考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A． B．9 C．6 D．7．2 【答案】B 【分析】要求的值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题． 【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠CFD=∠CEB=90°， ∵∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD， ∴CE=CF， ∵四边形ABCD对角互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°， 又∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠CBE=∠CDF， 在△CBE和△CDF中， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF， 在△AEC和△AFC中， ∴△AEC≌△AFC（AAS）， ∴AE=AF， 设BE=a，则DF=a，   ∵AB=15，AD=12， ∴12+2a=15，得， ∴AE=12+a=，BE=a=， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系． 3.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 【答案】（1）（4） 【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断． 【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF， 在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF， 在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确， ∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误， ∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，故答案为：（1）（4）． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，是的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线上，两直角边分别与交于点C，D，，垂足为点N，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，等腰三直角三角形的判定和性质．先根据角平分线的性质得出，再证明，是等腰直角三角形，证明，则，根据即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， 是的平分线，，， ，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，    故答案为：． 5．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 【答案】6 【分析】过点作，设与交于点，证明，由全等三角形的性质可得，结合，可知，即可获得答案． 【详解】解：∵是等边三角形，边长为4， ∴，， 如图，过点作，设与交于点， ∴，∴， 又∵，，∴， 又∵点为的中点，且，∴是的中位线， ∴， 在和中，，∴，∴， 又∵， ∴．故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用、正确作出辅助线构建全等三角形是解题关键． 6．（2023·广西·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC， 求证：∠A+∠C=180°． 【答案】见解析 【分析】先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD, 根据,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,∠A=∠BED．再根据AD=CD,等量代换可得ED=CD,根据等边对等角可得:∠DEC=∠C． 由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°． 【详解】证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示, ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD, 在△ABD和△EBD中,, ∴△ABD≌△EBD（SAS）,∴AD=ED,∠A=∠BED． ∵AD=CD,∴ED=CD,∴∠DEC=∠C． ∵∠BED+∠DEC=180°,∴∠A+∠C=180°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质. 7．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）综合与实践．问题情境：七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？ (1)七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八年级教材不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明． 变式拓展：(2)如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题： ①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，并直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）由题意过点P作于M，于N．证明，可得结论． （2）①由题意过点P作于M，于N．证明，可得结论． ②结论：．证明，推出，再由，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：过点P作于M，于N， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：①结论：PE＝PF， 理由：过点P作于M，于N， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②解：结论：． 理由：在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明； 变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题： ①与还相等吗？为什么？ ②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】问题情境：相等，理由见解析；变式拓展：①，见解析；②，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质； 问题情境：过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求证； 变式拓展：①过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求解； ②先证得，可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】问题情境：证明：如图1，过点作于，于． ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 变式拓展：解：①结论：．理由如下： 如图2，过点作于，于． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②结论：．理由如下： ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC．①如图1，若α=90°，请直接写出AD与CD之间的数量关系________； ②在图2中，①中结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （2）根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC． 　 【答案】（1）①AD=CD；②仍然成立，理由见解析；（2）见解析． 【分析】（1）①利用角平分线的性质定理即可证得AD=CD； ②在BC截取BE=BA，连接DE，证明△ABD≌△EBD，再证明△ECD是等腰三角形即可； （2）在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，证得DF=FC，再证明△ABD≌△EBD，推出∠DEF=∠DFE=80°，得到AD=DE=DF=CF，即可证明BD+AD=BC． 【详解】解：（1）①∵∠BAD=90°，∠BCD=180°−90°=90°，BD平分∠ABC，∴AD=CD； ②成立，理由如下：在BC截取BE=BA，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠EBD， 又BE=BA，BD=BD， ∴△ABD≌△EBD(SAS)， ∴AD=ED，∠BAD=∠BED， ∵∠BCD=180°−∠BAD， ∴∠BCD=180°−∠BED=∠DEC， ∴CD=ED， ∴AD=CD； （2）∵在等腰△ABC中，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C=， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=20°， 在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF， ∴∠BDF=∠BFD=80°， ∵∠C=40°， ∴∠CDF=80°-40°=40°， ∴DF=FC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠EBD， 又BE=BA，BD=BD， ∴△ABD≌△EBD(SAS)， ∴AD=ED，∠BAD=∠BED=100°， ∵∠DEF=180°−∠BED=180°−100°=80°， ∴∠DEF=∠DFE=80°， ∴DE=DF， ∴AD=DE=DF=CF； ∴BD+AD=BF+FC=BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，画，并画的平分线． (1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为、如图①，则 ；(填“”“”或“”) (2)把三角尺绕着点旋转如图②，两直角边分别与、交于点、，那么与相等吗？试猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据角平分线的性质定理证明即可； （2）证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）解：∵平分，，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 过作于，于，如图②所示： 则， ，平分， ， ， ， ， ， 由（1）得，， 在和中， ， ， ． 11．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，，平分，直角三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角分别与相交于点C、D． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）过P分别作于E，于F，根据角平分线的性质，可得，可证得，即可； （2）先证得四边形是正方形，根据，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：过P分别作于E，于F， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 12．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）我们曾做过如下的实验：画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F． 　 　 (1)若，（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由； (3)探究：画∠AOB，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)相等，理由见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解； （2）PE＝PF，分两种情况，当时，证明，可得PE＝PF；当PE与OA不垂直时，作于点M，于点N，先证明得PM＝PN，再证明，可得PE＝PF； （3）在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG，先证明，可得，PG＝PE，再由同角的补角相等证明，则PG＝PF，得PE＝PF． 【详解】（1）解：相等；理由如下： ∵OC平分∠AOB，，， ∴PE＝PF． （2）解：PE＝PF，理由如下： 当时，如图①， ∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB， ∴∠POE＝∠POF＝45°， ∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO＝360°， ∴∠PFO＝90°， ∴∠PEO＝∠PFO， ∵OP＝OP， ∴， ∴PE＝PF； 当PE与OA不垂直时，如图②， 作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N， ∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∠POM＝∠PON＝45°，OP＝OP， ∴， ∴PM＝PN， ∵∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN＝360°， ∴∠MPN＝90°， ∵∠EPF＝90°， ∴， ∵∠PME＝∠PNF＝90°， ∴， ∴PE＝PF， 综上所述，PE＝PF． （3）解：PE＝PF，理由如下： 如图③，在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG， ∵OC平分∠AOB， ∴∠POG＝∠POE， ∵OP＝OP， ∴， ∴∠OGP＝∠OEP，PG＝PE， ∴∠PGF+∠OEP＝∠PGF+∠OGP＝180°， ∵，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP＝360°， ∴∠PFG+∠OEP＝180°， ∴∠PGF＝∠PFG， ∴PG＝PF， ∴PE＝PF． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法、角平分线的性质定理等，熟练掌握角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点向角两边作垂线构造辅助线的方法，是解决本题的关键． 13．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）知识感悟：如图1，点Р是的角平分线是一点，于M，于N，由角平分线的性质，易知：（不需证明） 知识迁移：如图2，平分 求证： 知识拓展：如图3，四边形中，，若，求的长． 【答案】知识迁移：见解析；知识拓展： 【分析】知识迁移：作于，于，由证明，即可得出结论； 知识拓展：连接，作于点，首先由证明≌，再由证明即可解决问题． 【详解】知识迁移：作于，于，如图所示： 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ； 知识拓展：连接，作于点， ∵ ， ， 在和中， ≌， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 14．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3） 【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）先根据四边形内角和等于可得，由可得，再根据证明，则可得； （3）过C点作于E点，的延长线于F点．由（2）得，则可得，，进而可得．证明，则可得，由、可求得的长，进而可得、的长，由此可得的值，即可得的值． 【详解】（1）解：∵平分， 点 F在上，且， ，∴． （2）解：，理由如下：∵，，∴， ∵四边形中，， ∴，∴， 又，，， 在和中，，，． （3）解：如图，过C点作于E点，的延长线于F点， 由（2）得，，，， ∵是的平分线，， 又，，，， 又，，，解得， ，，， 答：该空地的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．（2024·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． （1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形 经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝ （2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明． 【答案】（1）△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）连接AD，根据∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，可以得到∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，从而可以证明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，由∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，可得∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，即可证明； （2）连接AD，同样证明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，再由∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，即可得到∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，即可证明． 【详解】解：（1）如图所示，连接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，， ∴∠B=∠BAD=∠CAD，在△BDE和△ADF中，， ∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF， ∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形；故答案为：△BDE，△ADF，90°； （2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由如下：连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠ABC=∠C=45°，AD⊥BC，，， ∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF， ∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 16．（23-24八年级上·重庆·期中）四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3）． 【分析】（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证； （2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证； （3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长． 【详解】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ， 则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴点Q在直线CA上， ∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°， ∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN， ∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN； （2）：.理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，则DN=DP，AN=BP， ∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上， ∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°， ∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP， ∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM； （3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H， ∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG， 根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN， ∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH， ∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1， ∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点． 17．（23-24八年级上·广东·期中）已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E． (1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是 ． (3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【解析】(1)证明：取AB的中点F，连接OF． ∵△ABC是等边三角形，∴， ∵点O与点F分别是BC与AB的中点，∴， ∴△BOF是等边三角形，∴， ，∴，∴， ∵在△DOF和△EOC中，，∴，∴． (2)解：结论：．理由：∵，∴，∴， ∵是等边三角形，∴， ∵，∴．故答案为：； (3)结论：．理由如图2中，取的中点F，连接OF． 同（1）中的方法可证是等边三角形，， ∴，∴， ∵，∴ 18．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）【问题背景】 在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 在在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】 如图4，在四边形ABCD中，，，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若，请直接写出与的数量关系．    【答案】初步探索：；探索延伸：仍然成立，证明见解析；结论运用：此时两舰艇之间的距离是210海里；问题发现：． 【分析】初步探索：根据全等三角形的判定可得，推得，，根据，，推得，根据全等三角形的判定可得，推得，即可推得； 探索延伸：延长到，使，连接，证明，和，得到答案； 结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可； 问题发现：延长到H，使，利用邻补角可得，利用可证明，可得，，根据角的和差关系可得，根据可得，利用可证明，可得，根据周角的定义即可得答案． 【详解】初步探索：线段、、之间的数量关系为：； 证明：延长到，使，连接，如图1：    在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故线段、、之间的数量关系为：． 故答案为：． 探索延伸：仍然成立； 证明：如图2，延长到，使，连接，    ∵，∴， 在和中，，∴， ∴， ∵，∴. ∴， 在和中，， ∴∴，∴；故结论仍然成立． 结论运用：解：连接，延长交于点，如图3：    ∵，，∴， ∵，∴， ∴符合探索延伸中的条件，∴结论成立，即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里； 问题发现：延长到H，使，如图4，    ∵，∵，∴， 在和中，， ∴，∴，， ∴，即， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 $$