精品解析：浙江省金华市东阳市横店联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024年下学期九年级数学练习（一） 试题卷 本卷考试范围：九年级上册1-2章 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷I 说明：本卷共有一大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中表示二次函数（ ） A. B. C. D. 2. “明天下雨的可能性为”这句话指的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 的地区下雨，的地区不下雨 C. 明天不一定下雨 D. 明天的时间下雨，的时间不下雨 3. 将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 在一个不透明的袋子里有红球、黄球共 15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 10 6. 抛物线与x轴的交点个数为（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 8. 若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（ ） A. B. C. D. 1 9. 已知是关于的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： … … … … 则关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 有最小值 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象对称轴是直线 D. 图象开口向上 10. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 卷II 说明：本卷共有两大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：______． 12. 从，，，四个实数，任取一个数是有理数的概率为______． 13. 已知，两点都在抛物线上，那么________． 14. 小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则______（填“公平“或“不公平”）． 15. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来共用了_________． 16. 如图，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一新函数图象．若一次函数的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围是__________________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求的值． （2）试判断点是否在此函数的图象上． 18. 计算下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大进行排列． （1）从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数； （2）铁块丢入水中后，浮在水面； （3）投掷一枚硬币，落地后反面朝上． 19. 已知二次函数（为常数，且）. （1）求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若点，在函数图象上，比较与的大小； 20. 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢的事件是______事件．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 21. 已知二次函数． （1）将写成的形式，并写出它的顶点坐标； （2）当时，直接写出函数值的取值范围； 22. 如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线的函数解析式： （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； （3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水__________（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带． 23. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数， （1）当，时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数； （3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 24. 综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； （3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期九年级数学练习（一） 试题卷 本卷考试范围：九年级上册1-2章 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷I 说明：本卷共有一大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中表示二次函数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； B、，分母中含有字母，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 2. “明天下雨的可能性为”这句话指的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 的地区下雨，的地区不下雨 C. 明天不一定下雨 D. 明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的意义，理解随机事件发生的可能性是可能发生，也可能不发生．根据相关概念判断，即可解题． 【详解】解：“明天下雨的可能性为”这句话指的是明天有很大可能下雨，但也不一定下雨，与地区和下雨时间长短无关，故明天不一定下雨， 故选：C． 3. 将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线平移后的顶点坐标，然后利用顶点式写出即可． 【详解】解∶ ∵抛物线的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为（1，2）， ∴平移后所得的抛物线的解析式为． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式求解更简便． 4. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性即可得到函数图象的对称轴． 【详解】解：， 令，则或， 函数图象与x轴的交点坐标为，， 函数图象的对称轴为直线， 故选：D． 5. 在一个不透明的袋子里有红球、黄球共 15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 根据红球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案． 【详解】解：设袋中红球有个， 根据题意，可得：， 解得：， 则红球的个数为6(个)． 故选：B． 6. 抛物线与x轴的交点个数为（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】令y=0，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：令＝0， ∵Δ＝， ∴抛物线与x轴的交点个数是1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握当方程>0时，方程有两个不同实数根，则函数与x轴有两个交点；当方程=0时，方程有两个相同实数根，则函数与x轴有一个交点；当方程<0时，方程没有实数根，则函数与x轴没有交点． 7. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数与二次函数交点求不等式的解集问题，数形结合是解题的关键．从图象上可知在点的右侧和点的左侧时有不等式成立，所以可得不等式的解集为． 【详解】解：一次函数与二次函数的图象相交于，两点， 从图象上可知在点的右侧和点的左侧时有不等式成立， 不等式的解集为． 故选：D． 8. 若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：共4张牌，其中能与手中牌组成一对的有5，8，共2种情况， ∴； 故选C． 9. 已知是关于的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： … … … … 则关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 有最小值 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象对称轴是直线 D. 图象开口向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据与的对应值得出二次函数的对称轴直线．由表可得当时，，当时，，推出对称轴直线为，且开口向上，逐一分析判断即可． 【详解】解：当时，，当时，， 对称轴直线为， 故C选项错误，符合题意； 时，， 函数有最小值，开口向上，故A、D正确，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 故选：C． 10. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 卷II 说明：本卷共有两大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为． 本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴解析式为． 故答案为：． 12. 从，，，四个实数，任取一个数是有理数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，掌握无理数的概念是解题的关键，先判断有理数有2个，无理数有2个，再根据概率的公式计算即可得出答案． 【详解】在，，，四个实数中，有理数是和，共2个，无理数是和， 任取一个数是有理数的概率为， 故答案为：． 13. 已知，两点都在抛物线上，那么________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解． 14. 小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则______（填“公平“或“不公平”）． 【答案】不公平 【解析】 【分析】分别求出小红和小军获胜的概率，然后进行比较即可． 【详解】解：∵当末位数字是2或4时，摆出的三位数是偶数，当末位数字为3时，摆出的三位数是奇数， ∴摆出的三位数是偶数的概率为，摆出的三位数不是偶数的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 【点睛】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是分别求出小红和小军获胜的概率． 15. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来共用了_________． 【答案】3秒## 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的最值与刹车距离的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】， 当时，是最大时间， 故答案为：． 16. 如图，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一新函数图象．若一次函数的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，先求出原抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，再求出翻转后的函数解析式为，然后求出当函数恰好经过点时，当函数与抛物线只有一个交点时m的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为； 设是抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折后的图象上一点，则是抛物线图象上一点， ∴，即， ∴翻转后的函数解析式为， 当函数恰好经过点时，则，解得， 当函数与抛物线只有一个交点时， 联立得， 当时，， ∴由函数图象可知，当时，一次函数的图象与新函数图象有4个公共点， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求的值． （2）试判断点是否在此函数的图象上． 【答案】（1）p=-3，q=1；（2）不在 【解析】 【分析】（1）把两点代入即可得出p，q的值； （2）把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案． 【详解】解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q， 得， 解得：， ∴p，q的值分别为-3，1； （2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5， ∴点P（-1，2）不在此函数的图象上． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键． 18. 计算下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大进行排列． （1）从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数； （2）铁块丢入水中后，浮在水面； （3）投掷一枚硬币，落地后反面朝上． 【答案】（1） （2） （3），可能性从小到大排列为（2）（1）（3） 【解析】 【分析】本题考查了可能性的大小，解题的关键在于掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据共有9个数，是4的倍数的有4和8，再根据概率公式求解，即可得出其上的数字是4的倍数的可能性； （2）铁块丢入水中后，不可能浮在水面，再根据概率公式即可得出答案； （3）根据硬币只有两个面，结合概率公式即可得出落地后反面朝上的可能性；最后进行比较，即可解题． 【小问1详解】 解：数字中有和两个数为4的倍数， 从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数的可能性为； 【小问2详解】 解：铁块丢入水中后，浮在水面是不可能事件，故该事件的可能性为； 【小问3详解】 解：投掷一枚硬币，落地后反面朝上的可能性为． ， 可能性从小到大排列为（2）（1）（3）． 19. 已知二次函数（为常数，且）. （1）求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若点，在函数图象上，比较与的大小； 【答案】（1） 证明：令，即， 或， ∴，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）当或时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，比较二次函数值大小，掌握二次函数图象与轴的交点的横坐标即为相关一元二次方程的解和二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． （1）令，则，可求出，，再根据，即得出方程有两个不相等的解，即说明该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）将，代入，得：，，从而可求出，最后分类讨论解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点，在函数图象上， 当时，， 当时，， ， 当或时，； 当时，； 当时，． 20. 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢的事件是______事件．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【答案】（1）随机 （2） 解：这个游戏对双方不公平．理由如下： 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为， ∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， 又∵， ∴这个游戏对双方不公平． 【解析】 【分析】本题考查游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平， （1）共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，所以小明胜的概率为，即可求解； （2）先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平； 解题的关键是掌握：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为． 【小问1详解】 解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为， ∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， ∵小明和小亮获胜是随机事件， ∴小明赢的事件是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 略 21. 已知二次函数． （1）将写成的形式，并写出它的顶点坐标； （2）当时，直接写出函数值的取值范围； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方差公式转化为顶点式，由顶点式写出顶点坐标； （2）利用二次函数的增减性求出的取值范围； 本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的性质，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． 【小问1详解】 解： ， 则得顶点坐标为：； 【小问2详解】 解： ∴对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又， 当时，， 当时，， 当时，函数的取值范围为． 22. 如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线的函数解析式： （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； （3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水__________（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带． 【答案】（1） （2）点B的坐标为 （3）不能 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，可得点的坐标； （3）根据米，可求得点的坐标为，当时，求出的值，再与1.1比较，从而得出答案． 【小问1详解】 如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， 代入得， ， 上边缘抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 上边缘抛物线的对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 当时，， 解得， （舍去）， 点的坐标为， 点的坐标为， 【小问3详解】 米，米，米， 点的坐标为， 当时，， 当时，随的增大而减小， 灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 故答案为：不能． 23. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数， （1）当，时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数； （3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】（1）该函数的完美点为（-1，-1）和（-2，-2）；（2）y=-x2+4x；（3）2≤m≤4． 【解析】 【分析】（1）根据完美点的定义设该完美点的坐标为（m，m），代入y=x2+4x+2可得关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可得答案； （2）由二次函数的图像上有且只有一个完美点可得ax2+4x+c=x时，方程有两个相等的实数根，可得4ac=9，方程的根为=，可求出a值，进而可求出c值，即可得答案； （3）根据（2）中解析式可得出顶点坐标及对称轴，根据二次函数的增减性即可得m的取值范围． 【详解】（1）设该完美点的坐标为（m，m）， ∵a=1，c=2， ∴二次函数解析式为y=x2+4x+2， ∴m2+4m+2=m， 解得：m1=-1，m2=-2， ∴该函数的完美点为（-1，-1）和（-2，-2）． （2）∵二次函数的图像上有且只有一个完美点， ∴方程ax2+4x+c=x即ax2+3x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=9-4ac=0，即4ac=9， ∵完美点坐标为， ∴方程ax2+3x+c=0的根为=， 解得：a=-1， ∴c=， ∴该函数解析式为y=-x2+4x． （3）∵y=-x2+4x-=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， ∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）， ∵-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x的增大而增大， 当y=-3时，-x2+4x-3=-3， 解得：x1=0，x2=4， ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴m的取值范围为：2≤m≤4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及根的判别式，利用数形结合的数学思想是解题关键． 24. 综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； （3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）先确定直线的解析式，设点，则点，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可； （3）分两种情况求解：当点在轴上方时和当点在轴下方时． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， 设直线的表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为； 【小问3详解】 如图2，当点在直线的上方的抛物线上时， ∵， ∴， ∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为， 当时，则， 解得，，， ∴， 如图3，当点在直线的下方的抛物线上时， 设交轴于点， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $