2.2.3一元二次不等式的解法（同步课件）数学人教B版必修第一册

2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法 第2章 等式与不等式 情境与问题 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间的关系分别为，. 试判断甲、乙两车有无超速现象. 新知探索 不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式 和_____________________， 即和____________________. 一般地，形如的不等式称为一元二次不等式，其中，，是常数，而且.一元二次不等式中的不等号也可以是“”“”“”等. 新知探索 如何求一个一元二次不等式的解集呢？ 让我们从简单的一元二次不等式开始探讨.首先来看一元二次不等式 .① 尝试与发现：任意选一些数，看它们是否是不等式的解，由此给出解这个不等式的方法. 注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说， 当且仅当或 新知探索 因此，不等式可以转化为两个不等式组或 解得或，因此，不等式的解集为. 用类似的方法可以求得不等式 ②的解，但此时的依据是： 当且仅当或 因为不等式②可以转化为两个不等式组或 不难解得或，因此，不等式的解集为. 新知探索 一般地，如果，则不等式的解集是， 不等式的解集是. 例1 求不等式的解集. 解 因为， 所以原不等式等价于， 因此所求解集为. 例题 回到情境与问题中的不等式， 可以化为， 因此甲车的车速；而可以化为____________________, 因此乙车的车速_______.由此可见，乙车肯定超速了. 上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？ 新知探索 尝试与发现：通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法： (1)；(2)；(3). 因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中 (1)的解集为______，(2)的解集为______. 对于来说，两边同时开根号可得，即， 因此，从而得到(3)的解集为. 这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集. 例题 例2 求下列不等式的解集： (1)； 解(1) 因为， 所以原不等式可化为，即， 两边开平方得，从而可知 或， 因此或， 所以原不等式的解集为. 例题 例2 求下列不等式的解集： (2)； 解(2) 因为， 所以原不等式可化为，即， 两边开平方得，从而可知 ， 因此， 所以原不等式的解集为. 例题 例2 求下列不等式的解集： (3)； 解(3) 原不等式可化为， 又因为，所以上述不等式可化为. 注意到只要，上述不等式就成立， 所以原不等式的解集为. 例题 例2 求下列不等式的解集： (4). 解(4) 原不等式可化为. 因为，所以上述不等式可化为， 不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为. 由上可知，一元二次不等式()通过配方总是可以变为 或的形式，然后根据的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 例题 例3 求不等式的解集. 解 据题意知，因此， 原不等式两边同时乘以可得 且， 即且， 因此所求不等式的解集为. 例3说明，有些不等式通过变形之后，可以借助于一元二次不等式的解法来解，我们可以总结其中的规律. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根() 有两个不相等的实数根 没有实数根 的解集 或 的解集 练习 题型一：不含参一元二次不等式的解法 例1.解下列不等式： (1)(2) 解：(1)∵ ∴方程有两个不等实根. 又二次函数的图象开口向上， ∴原不等式的解集为. (2)原不等式可化为：∵ ∴方程无实根. 又二次函数的图象开口向上， ∴原不等式的解集为 求出一元二次方程的根 根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 练习 方法技巧： 解不含参一元二次不等式的步骤： 练习 变1.(多选)若不等式的解集是，则下列选项正确的是(　). 且 不等式的解集是 答案： 解：由题意，不等式的解集是， 可得－1，2是方程的两个根，且＜0，正确. ∴有，.解得，∴正确. 当x＝－1时，a＋b＋c＝0，C不正确； 把代入，可得， 因为，所以，即， 此不等式的解集为，不正确. 练习 题型二：含参一元二次不等式的解法 例2.解关于的不等式 解：情形一：若时，则原不等式可化为，即. 情形一：若，原不等式可化为. 若，原不等式可化为 ∵，∴或 若，原不等式可化为 若，即则 若，即则 若，即则 练习 题型二：含参一元二次不等式的解法 例2.解关于的不等式 综上所述，当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 练习 方法技巧： 解含参一元二次不等式的步骤： 练习 变2.解下列不等式的解集： (1)当时，求关于的不等式的解集； 解：(1)当时，原不等式化为： 即， ∴不等式的解集为. 练习 变2.解下列不等式的解集： (2)若，求关于的不等式的解集. 解：(2)∵ 当时，有 ∴不等式的解集为. 当时，有 ∴不等式的解集为. 当时，有 ∴不等式的解集为. 练习 题型三：三个“二次”之间对应关系的应用 例3.已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 解：∵关于的不等式的解集为， ∴，且是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴不等式化为， 即，解得 因此不等式的解集为 练习 方法技巧： 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究. (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 练习 变3.不等式的解集为，则（ ）. A. B. C. D. 答案：B. 解：∵，开口向上， 而解集为，∴ 由韦达定理可得， 解得 ∴ 故选B. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)一元二次不等式的解法； (2)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P75的练习，练习； (3)课本P80的习题的第5题、习题的第6、7、10题. 谢谢学习 Thank you for learning $$