九年级数学上学期期中试卷（北师大第1～6章，能力提升卷）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

九年级数学上学期期中试卷（北师大第1-6章，能力提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（江西省上饶市2024-2025学年上学期综合作业九年级数学试题）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A．（为常数） B．（为常数） C． D． 2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）函数(为常数)的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·山东日照·中考真题）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（    ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 7．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）常数a，b， c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 8．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 9．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容． 如图，四边形是平行四边形， ①当※时，平行四边形是矩形．    ②当时，平行四边形是矩形． ③当▲时，平行四边形是菱形．    ④当时，平行四边形是正方形． 则回答不正确的是（    ） A．※可以代表 B．◎可以代表 C．▲可以代表 D．可以代表 10．（24-25九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根是 ． 12．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知线段，C为的黄金分割点，则 ． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为____________ (第13题) (第14题) (第15题) 14．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，已知正方形中，，．点E是射线上一动点（点E不与点B，C重合），在右侧作，且，连接，则的度数为 ． 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，菱形中，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则周长的最小值是 ． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A， C两点，轴于B ， 轴于 D ，则四边形的面积为 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）解下列方程 (1) (2) 18．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）第八届丝博会于年月日至日在西安国际会展中心举办．本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”．某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选． (1)若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是____________； (2)若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选的概率． 19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 20．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）某景区宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天250元．国庆节来临之际，该景区酒店计划调整价格以吸引游客． (1)若经过两次涨价后，每间房的费用增至360元，求两次增长的平均增长率． (2)据经验，当每间房每天定价为200元时，宾馆会住满；定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的成本费用，除此之外无其他成本费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10120元？ 21．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 22．（22-23九年级下·山东泰安·期中）如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)求和双曲线的函数关系式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 23．（23-24八年级下·河南安阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) _______， ______（用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当______ 时，四边形是菱形； ②当 ______时，四边形是矩形． 24．（23-24九年级下·河南信阳·期中）综合与实践 (1)【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系： ． (2)【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，点在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长： ． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上学期期中试卷（北师大第1-6章，能力提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（江西省上饶市2024-2025学年上学期综合作业九年级数学试题）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A．（为常数） B．（为常数） C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 【详解】解：A．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元二次方程，故本选项符合题意； C．是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质．此题比较简单，注意掌握比例的性质是解此题的关键．由，利用比例的性质，即可求得的值． 【详解】解：， ． 故选：D 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为0.4，再根据概率公式列出方程，求出答案即可． 【详解】解：设红色小球x个，根据题意，得 ， 解得． 故选：C． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）函数(为常数)的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．先判断出函数反比例函数的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可． 【详解】解：， ，， 反比例函数的图象在二、四象限， 点的横坐标为， 此点在第四象限，； ，的横坐标， 两点均在第二象限，， 在第二象限内随的增大而增大， ， ． 故选：D． 5．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是其对应的夹角，所以与不相似，故③不正确． 因此有3个正确． 故选：C． 6．（2024·山东日照·中考真题）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（    ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项． 【详解】移动前的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： 移动后的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 所以它的主视图会发生变化． 故选A 7．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）常数a，b， c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；根据一元二次方程根的判别式解答，即可求解． 【详解】解：观察数轴可知：，，． ∴在方程中，， 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 8．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 9．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容． 如图，四边形是平行四边形， ①当※时，平行四边形是矩形．    ②当时，平行四边形是矩形． ③当▲时，平行四边形是菱形．    ④当时，平行四边形是正方形． 则回答不正确的是（    ） A．※可以代表 B．◎可以代表 C．▲可以代表 D．可以代表 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形的判定定理，熟知矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键. 【详解】解：①∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故①回答正确，不符合题意； ②∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故②回答正确，不符合题意； ③∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故③回答正确，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不一定是正方形，故④回答错误，符合题意； 故选：D。 10．（24-25九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④． 【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故①正确； 过B作，交的延长线于F，则，    ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即点B到直线的距离为1， 故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上可知，①③④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及解一元二次方程，先根据题意求出，再解方程即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， ， 解得：， 关于的一元二次方程为， 解得：， 关于的一元二次方程的另一个根是， 故答案为：． 12．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知线段，C为的黄金分割点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为，结合题意可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵C为线段的黄金分割点，且， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 拓展设问：与的面积比为________，周长之比为________． 【分析】本题考查坐标与图形，位似图形的性质，根据位似推行的性质解答即可． 【详解】解：∵△ABC与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点为， ∴△ABC与的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点B的对应点的坐标为，即， 14．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，已知正方形中，，．点E是射线上一动点（点E不与点B，C重合），在右侧作，且，连接，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，分类讨论，过点F作，利用证得，再根据全等三角形的性质即可求解，利用数形结合及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：过点F作，交于点H，如图1， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，， 当点E在C点左侧时，； 当点E在C点右侧时，如图2，过点F作，交于点H， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即． 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，菱形中，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是菱形的性质．勾股定理和轴对称-最短路线问题．熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答本题的关键． 由菱形的性质，找出B点关于的对称点D，连接，，则就是的最小值，再由勾股定理可求出，此时得周长的最小值． 【详解】解：连接，，， 四边形是菱形， ， 关于直线对称， ， , ， 的长为的最小值， ， ， 是等边三角形， 是的中点， ，， , 的周长． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A， C两点，轴于B ， 轴于 D ，则四边形的面积为 【答案】6 【分析】主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合和准确计算是解题的关键．联立方程组，求出A、C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：联立方程组， 解得或， ∴，， ∵轴于B ， 轴  于  D ， ∴，， ∴ ， 故答案为：6． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项，可得，然后配方法求出即可； （2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：， 整理得：， ，即， ∴，， ∴，． 18．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）第八届丝博会于年月日至日在西安国际会展中心举办．本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”．某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选． (1)若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是____________； (2)若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的应用，树状图的应用，列出结果，进行解答，即可． （1）根据概率的定义，进行解答，即可； （2）画出树状图，列出所有等可能的结果，进行解答， 【详解】（1）解：∵甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选 ∴这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是． （2）画树状图为： 由图可知，共有种等可能的结果，丙、丁同时当选的有种， ∴两位女生同时当选的概率是． 19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 20．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）某景区宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天250元．国庆节来临之际，该景区酒店计划调整价格以吸引游客． (1)若经过两次涨价后，每间房的费用增至360元，求两次增长的平均增长率． (2)据经验，当每间房每天定价为200元时，宾馆会住满；定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的成本费用，除此之外无其他成本费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10120元？ 【答案】(1) (2)240 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设两次增长的平均增长率为，由题意得，，解方程并检验； （2）设每个房间房价增加元，由题意得，，解方程并检验． 【详解】（1）解：设两次增长的平均增长率为， 由题意得，， 解得：或（舍）， ∴增长率为， 答：两次增长的平均增长率为； （2）解：设每个房间房价增加元， 由题意得，， 解得：或， 当时，， 故不符合题意，舍， ∴每个房间房价增加40元， ∴房价定为（元）， 答：当房价定为240元时，宾馆当天的利润为10120元． 21．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 【答案】(1)见解析 (2)添加，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定； （1）证明有两对角相等即可判断； （2）假设，可以推出即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：添加， 如果， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故添加：，能证明． 22．（22-23九年级下·山东泰安·期中）如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)求和双曲线的函数关系式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）把点代入，确定，分别代入，，计算即可． （2）首先求出与相交时两横坐标分别为1，3，结合不等式，运用数形结合思想求解即可． （3）分，计算即可． 【详解】（1）把点代入，得， ∴， 把分别代入，，得， 解得， ∴，． （2）∵当时，由， ∴， 去分母得， ∴， ∴与相交时两横坐标分别为1，3， 根据图象可知不等式的解集是． （3）∵直线，， ∴， 设，则； ∴， ∵把的面积分成两部分， 当时，得， 解得， 故； 当时，得， 解得， 故； 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合确定解析式构成不等式的解集，三角形面积之比，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． 23．（23-24八年级下·河南安阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 【答案】(1)，x (2)1 (3)①2；② 【分析】（）根据题意即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可得四边形和四边形是矩形，得，，，可得，利用勾股定理得，在中，由勾股定理得，解方程得或，又根据，得，即可求解； （）由菱形的性质得，即，解方程即可求解； 由矩形的性质得，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴不合，舍去， ∴； （3）解：要使四边形是菱形，则， 即， ∴， 故答案为：； 要使四边形是矩形，则， 即， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，勾股定理，不等式组的应用，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 24．（23-24九年级下·河南信阳·期中）综合与实践 (1)【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系： ． (2)【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，点在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题是四边形综合题，考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． （1）由全等三角形的判定与性质可得出结论； （2）证明，根据相似三角形的性质即可解答； （3）分两种情况，①当四边形关于所在直线对称时，②当四边形为矩形时，由轴对称的性质及直角三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：结论：， 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， 即， ， ， ， 又， ， ， ， （2）解：，理由如下： 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． （3）解：分以下两种情况讨论： ①当四边形关于所在直线对称时，如图，此时交于点， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． ②当四边形为矩形时，如图所示， ，，， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，线段的长为或． ( 26 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$