精品解析：福建省三明市尤溪县2024-2025学年九年级上学期10月联考数学试题

福建省三明市尤溪县2024-2025学年九年级上学期10月联考数学试题 上册第一章第1节~第二章第4节 说明:共有三个大题,25个小题,满分150分,作答时间120分钟. 一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,将正确答案的代号填在下表中. 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，由题意得一次项系数是． 【详解】解：∵方程为一般形式， ∴一次项系数是， 故选：B 2. 若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则该四边形可能不是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．逐项进行判定是否既是轴对称图形，又是中心对称图形即可． 【详解】解：A中，平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意； B中，菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项不符合题意； C中，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项不符合题意； D中，正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，矩形的对角线相交于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质．由题意得，结合可得是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 4. 根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） x 3.24 3.25 3.26 0.03 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到和时，代数式的值一个等于，一个等于，从而可判断当时，． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解x的范围是． 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 6. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键．利用正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴ ∴， 故选项正确；选项B错误； 故选B． 7. 如图，菱形的顶点的坐标分别为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形，勾股定理，根据菱形的性质，可得，，进而即可求得顶点D的坐标，注意数形结合思想的应用是解此题的关键． 【详解】解：∵菱形的顶点的坐标分别为， ∴，， ∴顶点D的坐标为． 故选：B． 8. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( ) A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形，平行四边形，菱形和矩形的判定，根据相关判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误； B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误； C、，则四边形是矩形，原选项判断错误； D、，则四边形是矩形，原选项判断正确； 故选：D． 9. 如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，则原正方形空地的边长为（ ） A. 8m B. 9m C. m D. m 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设原正方形空地的边长为，由题意得：，据此即可求解 【详解】解：设原正方形空地的边长为， 由题意得：， 解得：（舍去）， 故选：D 10. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分. 11. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．由题意得：，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为： 12. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，根据题意可知，根据平行线的性质得出，根据矩形的性质得出，根据三角形内角和求出求出结果即可． 【详解】解：延长交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由一元二次方程没有实数根得到判别式列不等式即可求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，且， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程判别式的应用，对宇一元二次方程，若判别式，则方程有两个不相等的实数根；若判别式，则方程有两个相等的实数根；若判别式，则方程没有实数根． 14. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 【答案】１ 【解析】 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 16. 如图，在菱形中，为对角线上一点，且，若，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据菱形的性质以及等腰三角形的性质得到是角的直角三角形，继而得到，设，则，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得： ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程． 18. 如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的和，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作答即可． 【详解】解：由题意可知，， 又∵，且为边的中点， ∴， ∴的长为． 19. 已知菱形的两条对角线分别为和． （1）用含的代数式表示菱形的面积． （2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求此时菱形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积以及根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握相关结论即可． （1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解； （2）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【小问1详解】 解：菱形的面积 【小问2详解】 解：由题意得：， 即：， ∴， ∴菱形的面积 20. 我们规定：对于任意实数，，，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如:． （1）已知，求的值． （2）已知关于的方程的一个根为，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据定义化简，再解方程即可； （2）先根据定义化简，再将代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 整理得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的一个根为， 将代入，得， 解得：． 21. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为等腰直角三角形，，为中线， ∴，， ∴平行四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质． （1）由“”可证，由全等，可得； （2）先根据（1）的结论得到四边形是平行四边形，然后等腰直角三角形的性质得到，，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在矩形中，，点在上，连接． （1）在上求作一点，使得线段的长最小．（要求：尺规作图,不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】（1） 如图所示：点即为所求 （2） 证明：连接，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、尺规作垂线、全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）尺规作即可； （2）连接，证即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明： ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）24． 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】解：（1）略 （2） ∵， ∴是直角三角形． ∵为的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵． ∴． ∴， ∴． ∵四边形为菱形． ∴． 在中，， ∴ ∴（负值舍去）． ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 24. 已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． （2）记的两种变形为和，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）由表格中的数据观察即可得到答案； （2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案； （3）由方程变形可得，，从而，整理即可解答． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7； ②，，，， 为一次项系数的相反数， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由可得， 由可得， ∴，， ∴， ∴． 25. 如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． （1）如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． （2）如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． （3）在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形，分别为边上的中点， ∴四边形为矩形， ∵，分别为边上的中点， ∴ ∴四边形为正方形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ （2） 证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）或 【解析】 【分析】本题综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得：四边形为正方形，进而得；证得，即可； （2）证得，进而得，再证得，即可求解； （3）证可得，分类讨论点落在靠近点的三等分点和点落在靠近点的三等分点两种情况即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 综上所述：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省三明市尤溪县2024-2025学年九年级上学期10月联考数学试题 上册第一章第1节~第二章第4节 说明:共有三个大题,25个小题,满分150分,作答时间120分钟. 一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,将正确答案的代号填在下表中. 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 2. 若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则该四边形可能不是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3. 如图，矩形的对角线相交于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） x 3.24 3.25 3.26 0.03 A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 6. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的顶点的坐标分别为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( ) A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 9. 如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，则原正方形空地的边长为（ ） A. 8m B. 9m C. m D. m 10. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分. 11. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是__________． 12. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为________． 13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 14. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 15. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 16. 如图，在菱形中，为对角线上一点，且，若，则的长为__________． 三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解方程 18. 如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的和，求的长． 19. 已知菱形的两条对角线分别为和． （1）用含的代数式表示菱形的面积． （2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求此时菱形的面积． 20. 我们规定：对于任意实数，，，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如:． （1）已知，求的值． （2）已知关于的方程的一个根为，求的值． 21. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 22. 如图，在矩形中，，点在上，连接． （1）在上求作一点，使得线段的长最小．（要求：尺规作图,不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求证：． 23. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 24. 已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． （2）记的两种变形为和，求的值． 25. 如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． （1）如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． （2）如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． （3）在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $