精品解析：山西省太原市部分学校2024-2025学年九年级上学期阶段评估（一）数学试题

山西省2025届九年级阶段评估（一） 数学 上册第一章第1节～第二章第4节 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中．） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程方程的定义，根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，则， 故选：A． 2. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3. 如图，在中，，D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的和，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键． 根据，D为边的中点，得，结合点B，C对应的数求出长，即得． 【详解】解：∵在中，，D为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 5. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键．利用正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴ ∴， 故选项正确；选项B错误； 故选B． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．对于，当， 方程有两个不相等的实根，当， 方程有两个相等的实根，， 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 如图，菱形的顶点的坐标分别为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形，勾股定理，根据菱形的性质，可得，，进而即可求得顶点D的坐标，注意数形结合思想的应用是解此题的关键． 【详解】解：∵菱形的顶点的坐标分别为， ∴，， ∴顶点D的坐标为． 故选：B． 8. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( ) A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形，平行四边形，菱形和矩形的判定，根据相关判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误； B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误； C、，则四边形是矩形，原选项判断错误； D、，则四边形是矩形，原选项判断正确； 故选：D． 9. 如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点E，交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，正方形的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键，连接，则，得出是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形平移得到正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵, ∴， 故选：C． 10. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将，代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 12. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，根据题意可知，根据平行线的性质得出，根据矩形的性质得出，根据三角形内角和求出求出结果即可． 【详解】解：延长交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 【答案】１ 【解析】 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 14. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中， ，，为边上一点，，为边上一动点，连接、，将沿折叠，点的对应点为点，当落在边上时，的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理是解题的关键．由折叠的性质可得，,再由勾股定理求得，得,最后由列方程求解即可． 【详解】在矩形中， ，，， ，，，, 将沿折叠，点的对应点为点， ，, 在中，， ∴, ，且 ∴. 解得. 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. （1）解方程：． （2）如图，矩形的对角线相交于点O，若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和矩形的性质．熟练掌握解一元二次方程的方法，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）等号左边提公因式x分解因式，化成两个一元一次方程解答即可； （2）根据矩形的性质可得，结合，判定是等边三角形，得到，即得的度数． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 17. 下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： （1）小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； （2）请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】（1）二 （2） 或， 解得：或． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【小问1详解】 解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 略 18. 已知菱形的两条对角线分别为和． （1）用含的代数式表示菱形的面积． （2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求此时菱形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积以及根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握相关结论即可． （1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解； （2）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【小问1详解】 解：菱形的面积 【小问2详解】 解：由题意得：， 即：， ∴， ∴菱形的面积 19. 我们规定：对于任意实数，，，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：，已知关于的方程的一个根为2． （1）的值为________． （2）求方程的另一个根． 【答案】（1） （2）方程的另一个根是4 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程的根和解一元二次方程，正确理解新定义列出方程是解题的关键． （1）根据新定义可得，且方程的一个根为2，将代入求解，即可得到的值； （2）由（1）知，则可得方程，整理得，再利用因式分解法求解方程，由方程的一个根为2，即可得到方程的另外一个根． 【小问1详解】 解：根据定义得：，且方程的一个根为2， 则即， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知， ，即， ， 解得：， 方程的一个根为2， 方程的另一个根是4． 20. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为等腰直角三角形，，为中线， ∴，， ∴平行四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质． （1）由“”可证，由全等，可得； （2）先根据（1）的结论得到四边形是平行四边形，然后等腰直角三角形的性质得到，，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明： ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）24． 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】解：（1）略 （2） ∵， ∴是直角三角形． ∵为的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵． ∴． ∴， ∴． ∵四边形为菱形． ∴． 在中，， ∴ ∴（负值舍去）． ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 22. 已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． （2）记的两种变形为和，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）由表格中的数据观察即可得到答案； （2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案； （3）由方程变形可得，，从而，整理即可解答． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7； ②，，，， 为一次项系数的相反数， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由可得， 由可得， ∴，， ∴， ∴． 23. 如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． （1）如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． （2）如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． （3）在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形，分别为边上的中点， ∴四边形为矩形， ∵，分别为边上的中点， ∴ ∴四边形为正方形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ （2） 证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）或 【解析】 【分析】本题综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得：四边形为正方形，进而得；证得，即可； （2）证得，进而得，再证得，即可求解； （3）证可得，分类讨论点落在靠近点的三等分点和点落在靠近点的三等分点两种情况即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 综上所述：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2025届九年级阶段评估（一） 数学 上册第一章第1节～第二章第4节 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中．） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 2. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的和，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 5. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，菱形的顶点的坐标分别为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( ) A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 9. 如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点E，交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 12. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为________． 13. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 14. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 15. 如图，在矩形中， ，，为边上一点，，为边上一动点，连接、，将沿折叠，点的对应点为点，当落在边上时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. （1）解方程：． （2）如图，矩形的对角线相交于点O，若，求的度数． 17. 下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： （1）小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； （2）请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 18. 已知菱形的两条对角线分别为和． （1）用含的代数式表示菱形的面积． （2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求此时菱形的面积． 19. 我们规定：对于任意实数，，，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：，已知关于的方程的一个根为2． （1）的值为________． （2）求方程的另一个根． 20. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 21. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 22. 已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． （2）记的两种变形为和，求的值． 23. 如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． （1）如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． （2）如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． （3）在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $