2024-2025学年安徽版九年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：21章、22章、23章 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

2024-2025学年安徽版九年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：二次函数与反比例函数、相似形、解直角三角形 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．对于函数，下列说法错误的是（　　） A．该函数的图象位于第一、三象限 B．随的增大而减小 C．该函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形 D．点在该函数图象上 2．下面四组线段中，不能成比例的是（　　）． A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝ ，c＝ ，d＝ C．a＝4，b＝4，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2 3．下列抛物线的对称轴是直线的是（    ）， A． B． C． D． 4．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ） A．﹣5 B．﹣ C． D．5 5．已知函数y＝(m＋1)是反比例函数，且其图象在第二、四象限内，则m的值是(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．－ 6．反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是() A． B． C． D． 7．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣4 8．如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（     ） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．大小关系不能确定 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E的坐标为（　　） A．（8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 10．如图，抛物线的对称轴为，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中所有正确的结论是（    ） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．若，则的值为 ． 12．AD是的中线，G是重心，且，则 ． 13．甲、乙两城间的图上距离约为5cm，在比例尺为1：5000的地图上，甲、乙两城间的实际距离约为 cm． 14．在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标 （用含 的代数式表示） ； （2）若对于点 总有 ，则满足条件的最大整数的值为 ． 三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．计算 (1) (2)． 16．计算：． 17．昭通市彝良县小草坝镇是乌天麻原产地，近段时间，天麻陆续上市．某公司推出一款成本为70元的天麻特产礼盒，当每盒售价为120元时，每周可销售300盒．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒每降低1元，每周销量可增加10盒． (1)写出公司每周的利润W元与降价x元之间的函数关系； (2)当降价多少元时，公司每周的利润最大，最大为多少元？ (3)若公司每周的利润要达到15960元，并最大限度让利于民，则定价应为多少元？ 18．如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，） (1)求步道BC的长； (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？ 19．肥东县素有“吴楚要冲，包公故里”之美誉，县城境内的长江东路上，巍然屹立着一座神态威严的包公铜像，是这座城市珍贵而又显著的地标，一游客想知道包公铜像（含底座）的高度．如图，与水平面垂直，在点D处测得顶部A的仰角是，向前走了24米至点E处，测得此时顶部A的仰角是，请聪明的你帮游客求出包公铜像的高度．（参考数据：，，） 20．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米． （1）以地面为x轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式； （2）通过计算，判断这个球员能否投中？ 21．问题背景：如图1，一块边长为，面积为的矩形纸片缺少一块面积的等腰直角三角形，在余下的五边形中画出一个面积较大的矩形．小华和小红两名同学进行了如下操作探究．    操作探究：（1）小华首先尝试画出一个有一边为的面积最大矩形，请你在图1中画出来，并计算其面积； （2）小红稍加思索，她认为可以画出有一边为的矩形面积比小华画出的那个面积大，你同意吗？请在图2中画出来，并说明理由； （3）你还能画出一个比图2中小红画的矩形面积更大的矩形吗？如果能，求出这个矩形面积，如果不能，请说明理由． 22．阅读下面材料： 小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值． 请回答： （1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB； （2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决． 请你帮小明计算：OC＝　 　OF＝　 　； 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算： OC＝　 　，OF＝　 　． 23．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E． （1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径； （2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD； （3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年安徽版九年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：二次函数与反比例函数、相似形、解直角三角形 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．对于函数，下列说法错误的是（　　） A．该函数的图象位于第一、三象限 B．随的增大而减小 C．该函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形 D．点在该函数图象上 【答案】B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟记相关结论即可． 【详解】解：A、∵，∴图象位于一、三象限，不符合题意； B、∵，∴图象位于一、三象限，且每个象限内随的增大而减小，符合题意； C、反比例函数的图象，既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意； D、当时, ，∴点在该函数图象上，不符合题意； 故选：B． 2．下面四组线段中，不能成比例的是（　　）． A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝ ，c＝ ，d＝ C．a＝4，b＝4，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b=c：d．只要代入验证即可． 【详解】解：A、3：6=2：4，则a：b=c：d，即a，b，c，d成比例，不符合题意； B、1：=：，则a：b=d：c．故a，b，d，c成比例，不符合题意； C、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例，符合题意； D、：2=：2，即b：a=c：d，故b，a，c，d成比例，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序． 3．下列抛物线的对称轴是直线的是（    ）， A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质解答即可得． 【详解】解：A、对称轴为，此选项不符合题意； B、对称轴为，此选项不符合题意； C、对称轴为，此选项符合题意； D、对称轴为，此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练根据顶点式得出二次函数的性质． 4．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ） A．﹣5 B．﹣ C． D．5 【答案】A 【知识点】比例的性质 【详解】试题分析：因为x：y=1：3，2y=3z，所以y=3x，z=2x，所以，故选A． 考点：比例的性质． 5．已知函数y＝(m＋1)是反比例函数，且其图象在第二、四象限内，则m的值是(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．－ 【答案】B 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】当k＞0时，反比例函数图象在一、三象限，当k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限内． 【详解】解：由题意可知， 解得：m<-1且m=2 ∴m=-2 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数的定义及图象性质．反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式，注意自变量x的次数是-1； 6．反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是() A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【详解】∵反比例函数中，k=6＞0，∴此反比例函数图象的两个分支在一、三象限； ∵x3＞0，∴点（x3，y3）在第一象限，y3＞0；∵x1＜x2＜0， ∴点（x1，y1），（x2，y2）在第三象限，y随x的增大而减小，故y2＜y1， 由于x1＜0＜x3，则（x3，y3）在第一象限，（x1，y1）在第三象限，所以y1＜0，y2＞0，y1＜y2， 于是y2＜y1＜y3．故选B． 7．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣4 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，由题意可知△AOB的面积为． 【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为， ∴△AOB的面积为， ∴， ∴k1﹣k2＝4， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 8．如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（     ） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．大小关系不能确定 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出S1、S2的值即可进行比较． 【详解】由于A、B均在反比例函数的图象上， 且AC⊥x轴，BD⊥x轴， 则S1＝； S2＝． 故S1＝S2． 故选：B． 【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义，找到相关三角形，求出k的绝对值的一半即为三角形的面积． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E的坐标为（　　） A．（8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似变换的性质把△EFO扩大到原来的2倍，对应点E'的横纵坐标都扩大2倍或-2倍，然后计算即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（−4，2）， ∴点E的对应点E'的坐标为（−4×2，2×2）或（4×2，−2×2），即（−8，4）或（8，−4）， 故选D． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 10．如图，抛物线的对称轴为，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中所有正确的结论是（    ） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据开口判断a与0的关系，根据对称轴判断b与0、a的关系，根据与y轴的交点判断c与0的关系，即可判断①③，根据与x轴交点判断②，根据与x轴交点判断时y与0的关系． 【详解】解：由图像可得， 根据开口向下得到， 与y轴交于正半轴得到， 根据对称轴可得，，故①③正确； 由图像可知方程有两个不相等的实数解，，故②正确； 根据对称性及图像可知另一个交点横坐标为：， ∴，故④错误； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图像的性质：解题的关键是掌握图像与a、b、c之间的关系． 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】先根据已知设出a=k，b=2k，再把a，b的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴设a=k，b=2k， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形． 12．AD是的中线，G是重心，且，则 ． 【答案】3 【知识点】重心的有关性质 【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，即可求出AD． 【详解】解：∵AD是的中线，G是重心， ∴， ∴3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查的是三角形中重心的性质，掌握其性质是解题的关键． 13．甲、乙两城间的图上距离约为5cm，在比例尺为1：5000的地图上，甲、乙两城间的实际距离约为 cm． 【答案】25000 【知识点】比例线段 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 【详解】设甲、乙两城间的实际距离为xcm，则： ， 解得：x=25000． 经检验x=25000是原方程的解． 故答案为：25000． 【点睛】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算． 14．在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标 （用含 的代数式表示） ； （2）若对于点 总有 ，则满足条件的最大整数的值为 ． 【答案】 ； ． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（）把配成顶点式即可； （）利用二次函数性质求最值即可； 此题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握图象及其性质的应用． 【详解】解：（）由二次函数得， ， ∴顶点坐标为：， 故答案为：； （）由（）得：顶点坐标为， ∴，即， 则满足条件的最大整数的值为， 故答案为：． 三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了解一元二次方程：以及特殊角的三角函数的混合运算：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． （2）先化简各个式子的三角函数值，再根据加减混合运算，即可作答． 【详解】（1）解： 则 即 （2）解： ． 16．计算：． 【答案】． 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】按顺序先进行负整数指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值、化简绝对值、0次幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可. 【详解】原式 = =． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负整数指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 17．昭通市彝良县小草坝镇是乌天麻原产地，近段时间，天麻陆续上市．某公司推出一款成本为70元的天麻特产礼盒，当每盒售价为120元时，每周可销售300盒．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒每降低1元，每周销量可增加10盒． (1)写出公司每周的利润W元与降价x元之间的函数关系； (2)当降价多少元时，公司每周的利润最大，最大为多少元？ (3)若公司每周的利润要达到15960元，并最大限度让利于民，则定价应为多少元？ 【答案】(1)， (2)每盒天麻降价为10元时，该公司每周能获得最大利润，最大的利润是16000元， (3)公司想要每周获得15960元的利润，销售单价应定为108元． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，明确题意，列出相应的方程，写出函数关系式，并利用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系； （2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，即可求解； （3）令求出相应的x值，再根据最大限度让利于民，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由（1）得： ， ∴时，最大为16000， 即当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为16000元； （3）解：当， 解得：，， ∵最大限度让利于民， ∴不合题意，舍去， ∴定价应为（元）， 答：定价应为108元． 18．如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，） (1)求步道BC的长； (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？ 【答案】(1)步道BC的长为24米； (2)此次改建费用足够． 【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点C作CF⊥BE，垂足为F，根据题意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE的长，再在Rt△GCD中，利用锐角三角函数的定义求出CG，DG的长，从而求出BF的长，最后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答； （2）根据四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积，进行计算即可求出四边形ABCD的面积，然后再求出此次改建费用，进行比较即可解答． 【详解】（1）过点B作于点E，过C作于点F，于点G． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在矩形CGEF中，， ∴， 在，，且， ∴． ∴， ∴． 答：步道BC的长为24米． （2）在中1，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴ ， ∴总共花费：， ∵， 答：此次改建费用足够． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 19．肥东县素有“吴楚要冲，包公故里”之美誉，县城境内的长江东路上，巍然屹立着一座神态威严的包公铜像，是这座城市珍贵而又显著的地标，一游客想知道包公铜像（含底座）的高度．如图，与水平面垂直，在点D处测得顶部A的仰角是，向前走了24米至点E处，测得此时顶部A的仰角是，请聪明的你帮游客求出包公铜像的高度．（参考数据：，，） 【答案】72米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 先在中，证得，再解，即可求解． 【详解】解：由题意得米，在中，， ， ， 设米， 在中，， ， ，解得，经检验是原方程的解， 米， 答：包公铜像AB的高度为72米． 20．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米． （1）以地面为x轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式； （2）通过计算，判断这个球员能否投中？ 【答案】（1）；（2）不能投中 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点，设函数的顶点式，再将（0，2）代入，求得二次项系数，从而可得抛物线的解析式； （2）判断当x＝7时，函数值是否等于3.19即可． 【详解】（1）依题意得抛物线顶点为（4，4）， 则设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4 依题意得抛物线经过点（0，2） ∴a（0﹣4）2+4＝2 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）当x＝7时，= ∴这个球员不能投中． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法以及实际应用，关键是求得函数的解析式，借助二次函数解决实际问题. 21．问题背景：如图1，一块边长为，面积为的矩形纸片缺少一块面积的等腰直角三角形，在余下的五边形中画出一个面积较大的矩形．小华和小红两名同学进行了如下操作探究．    操作探究：（1）小华首先尝试画出一个有一边为的面积最大矩形，请你在图1中画出来，并计算其面积； （2）小红稍加思索，她认为可以画出有一边为的矩形面积比小华画出的那个面积大，你同意吗？请在图2中画出来，并说明理由； （3）你还能画出一个比图2中小红画的矩形面积更大的矩形吗？如果能，求出这个矩形面积，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）70cm²，图见解析；（2）同意，理由见解析；（3）能，矩形面积为72.25cm2，理由见解析． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据矩形的性质求面积、四边形其他综合问题 【分析】（1）求出CD=9，再求出DF，再用矩形的面积公式计算，即可得出结论； （2）先求出BE，再用矩形的面积公式计算，即可得出结论； （3）先判断出PE=PM，设PM=PE=x，进而表示出QM=（8+x），MN=（9-x），进而得出S矩形ANMQ=-（x-）2+72.25，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，    ∵一块边AD长为10cm，面积为90cm2的矩形纸片， ∴CD=AB=90÷10=9（cm）； ∵△ECF是面积为2cm2的等腰直角三角形， ∴CE=CF=2（cm），DF=CD-CF=7（cm）， ∴S矩形ADFG=AD•DF=70（cm2）； （2）同意，理由：如图2，    同（1）的方法得，BE=10-2=8（cm）， ∴S矩形ABEH=8×9=72（cm2）； （3）能，理由：如备用图，    延长NM交BE于P， 由（1）知，∠MEP=45°， ∴∠EMP=∠MEP=45°， ∴PE=PM， 设PM=PE=x， 则QM=（8+x），MN=（9-x）， ∴S矩形ANMQ=MN•QM=（8+x）（9-x）=-（x-）2+72.25， ∴当x=时，S矩形ANMQ最大=72.25（cm2） 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的面积公式，二次函数的性质，建立S矩形ANMQ=-（x-）2+72.25是解本题的关键． 22．阅读下面材料： 小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值． 请回答： （1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB； （2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决． 请你帮小明计算：OC＝　 　OF＝　 　； 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算： OC＝　 　，OF＝　 　． 【答案】（1）详见解析；（2），；（3），． 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可． （2）利用相似三角形的性质解决问题即可． （3）构造相似三角形解决问题即可． 【详解】（1）如图线段CD即为所求． （2）连接AC，BD． 由题意AC＝2，DB＝3，CD＝＝2， ∵AC∥BD， ∴△ACO∽△BDO， ∴， ∴OC＝CD＝， ∵AC∥DE， ∴△ACF∽△EDF， ∴＝1， ∴DF＝CF＝， ∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝． 故答案为，． （3）如图3中，线段AE即为所求． 连接BC，作AM∥BC交CD于M． 由题意：BC＝1，AM＝2.5，CD＝2，DF＝CF＝，CM＝， ∵BC∥AM， ∴△BOC∽△AOM， ∴， ∴OC＝CM＝． ∴OF＝CF﹣OC＝＝． 故答案为，． 【点睛】本题考查勾股定理、正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用勾股定理、正方形的性质、相似三角形的判定和性质． 23．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E． （1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径； （2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD； （3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径． 【答案】（1）PA的长为，⊙O的半径为；（2）见解析；（3）⊙O的半径为2或或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点A作BP的垂线，作直径AM，先在Rt△ABH中求出BH，AH的长，再在Rt△AHP中用勾股定理求出AP的长，在Rt△AMP中通过锐角三角函数求出直径AM的长，即求出半径的值； （2）证∠APB＝∠PAD＝2∠PAE，即可推出结论； （3）分三种情况：当AE⊥BD时，AB是⊙O的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，通过证△BFE∽△DAE，求出BE的长，再证△OBE是等边三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB时，过点D作BC的垂线，通过证△BPE∽△BND，求出PE，AE的长，再利用勾股定理求出直径BE的长，即可得到半径的值． 【详解】（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP， 在Rt△ABH中，∠ABH＝60°， ∴∠BAH＝30°， ∴BH＝AB＝2，AH＝AB•sin60°＝2， ∴HP＝BP﹣BH＝1， ∴在Rt△AHP中， AP＝＝， ∵AB是直径， ∴∠APM＝90°， 在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°， ∴AM＝＝＝， ∴⊙O的半径为， 即PA的长为，⊙O的半径为； （2）当∠APB＝2∠PBE时， ∵∠PBE＝∠PAE， ∴∠APB＝2∠PAE， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠APB＝∠PAD， ∴∠PAD＝2∠PAE， ∴∠PAE＝∠DAE， ∴AE平分∠PAD； （3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°， ∴AB是⊙O的直径， ∴r＝AB＝2； ②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F， ∵AD∥BC， ∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE， ∴＝， 在Rt△ABF中，∠ABF＝60°， ∴AF＝AB•sin60°＝2，BF＝AB＝2， ∴＝， ∴EF＝， 在Rt△BFE中， BE＝＝＝， ∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE， ∴△OBE是等边三角形， ∴r＝； ③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°， ∴AE为⊙O的直径， ∴∠BPE＝90°， 如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q， 在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4， ∴DN＝DC•sin60°＝2，CN＝CD＝2， ∴PQ＝DN＝2， 设QE＝x，则PE＝2﹣x， 在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°， ∴AE＝2QE＝2x， ∵PE∥DN， ∴△BPE∽△BND， ∴＝， ∴＝， ∴BP＝10﹣x， 在Rt△ABE与Rt△BPE中， AB2+AE2＝BP2+PE2， ∴16+4x2＝（10﹣x）2+（2﹣x）2， 解得，x1＝6（舍），x2＝， ∴AE＝2， ∴BE＝＝＝2， ∴r＝， ∴⊙O的半径为2或或． 【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质. 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