2 空间向量与向量运算（第1课时 从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算）同步练习 -2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§2　空间向量与向量运算 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 A组 基础巩固 1.把所有空间单位向量归结到一个共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是(　　). A.一个圆 B.两个孤立的点 C.一个球面 D.以上均不正确 2.在四边形ABCD中,若,且||=||,则四边形ABCD为(　　). A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列选项化简后为零向量的是(　　). A. B. C. D. 4.(多选题)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的中心为O,则下列结论正确的有(　　). A.是一对相反向量 B.是一对相反向量 C.是一对相反向量 D.是一对相反向量 5.如图,已知四面体ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AC的中点,则)化简的结果为(　　). (第5题) A. B. C. D. 6.已知空间向量s,r不共线,若向量a=ts+r,b=s-t2r,且a与b共线,则实数t的值为　　　　　.  7.设四面体ABCD的三条棱=b,=c,=d.试用b,c,d表示四面体的其他各棱,以及向量,其中M是BC的中点,Q是△BCD的重心. 8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1的中点,N是BD的中点,判断向量是否共线. (第8题) B组 能力提升 1.在直三棱柱ABC-A'B'C'中,已知AB=5,AC=3,BC=4,CC'=4,则以三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为(　　). A.2 B.4 C.8 D.10 2.已知向量a,b是空间中的两个非零向量,a0,b0分别是与a,b同方向的单位向量,则下列各式正确的是(　　). A.a=b B.a0=1 C.a0=b0或a0=-b0 D.|a0|=|b0| 3.已知O为空间任意一点,在下列条件中,点M与点A,B,C一定共面的是(　　). A.=3-2 B.=0 C.=0 D. 4.下列命题是真命题的有(　　). A.两个相反向量必是共线向量 B.温度含有零上温度和零下温度,所以温度是向量 C.已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB,BC,CD,DA分别确定的四个向量之和为零向量 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为矩形ABCD对角线的交点,且+x+y,则x=　　　　　,y=　　　　　.  6.设e1,e2是空间两个不共线的向量,若=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k=　　　　　.  7.如图,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断向量是否共线. (第7题) 8.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,H为PC上的点,且,点G在AH上,且=m.若G,B,P,D四点共面,求实数m的值. (第8题) 参考答案 A组 基础巩固 1.答案:C 解析:单位向量的模为1,把所有空间单位向量移到一个共同起点后,向量的终点到起点的距离均为1,因此这些向量的终点构成一个球面. 2.答案:B 解析:若,则AB=DC,且AB∥DC,所以四边形ABCD为平行四边形.又||=||,即AC=BD,所以四边形ABCD为矩形. 3.答案:A 解析:=0. 4.答案:ACD 解析:如答图,A中,=-=-, (第4题答图) 所以=-(),是一对相反向量,故A正确; B中,,而,不是相反向量,故B不正确; C中,同A,也是正确的; D中,=-,是一对相反向量,故D正确. 5.答案:C 解析:)=)=.故选C. 6.已知空间向量s,r不共线,若向量a=ts+r,b=s-t2r,且a与b共线,则实数t的值为　　　　　.  6.答案:-1 解析:因为a与b共线,所以存在唯一的实数λ,使得a=λb,即ts+r=λ(s-t2r).因为s,r不共线, 所以解得 7.解:如答图,=d-b;=c-b; (第7题答图) =d-c; 则)=(b-d+c-d)=(b+c-2d); =d+=d+(b+c-2d)=(b+c+d). 8.解:如答图,连接AC. (第8题答图) ∵四边形ABCD为平行四边形,且N为BD的中点, ∴N为AC的中点. ∵M,N分别是AD1,AC的中点, ∴)=. ∴向量共线. B组 能力提升 1.答案:C 解析:向量及它们的相反向量的模都等于5,共有8个.故选C. 2.答案:D 解析:向量a,b不一定是共线向量,若a,b不共线,则a0,b0也不共线,故A,C错误;向量与数量不相等,故B错误;单位向量的模相等,均为1,故D正确. 3.答案:C 解析:因为=0,所以=-,所以点M与点A,B,C必共面. 4.答案:A 解析:A是真命题,相反向量是共线向量的特殊情况.B是假命题,因为零上、零下并不代表方向.C是假命题,当它们首尾顺次相接时,其和才为零向量.D是假命题,不相等的两个空间向量的模也可能相等. 5.答案: 解析:由题意知,E为BD的中点, ∵+x+y, ∴=x+y,即=x+y=x+y. ∴x=,y=. 6.答案:1 解析:=6(e1+e2),因为A,B,D三点共线,所以存在唯一的实数λ,使得=λ, 即e1+ke2=6λ(e1+e2). 又e1,e2不共线,所以解得k=1. 7.解:∵M,N分别是AC,BF的中点,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形, ∴=-. ∴=-, ∴+2=2()=2,∴∥ ,即向量共线. 8.解:连接BG(图略). 因为, 所以. 因为, 所以=-. 因为,所以, 所以(-)=-. 又因为, 所以=-. 因为=m, 所以=m=-. 因为, 所以=(1-+(-1). 又因为G,B,P,D四点共面,所以1-=0,解得m=,即m的值是. 学科网（北京）股份有限公司 $$