3.2.1 从平面向量到空间向量、3.2.2 空间向量的运算同步练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.1　从平面向量到空间向量　2.2　空间向量的运算 一、知识基础 1.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,,则下列向量相等的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.(2025广东深圳期末)如图,在四面体ABCD中,E为BC的中点,=4,则(　　) A. B. C.=- D.=- 3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　) A.-6 B.6 C.3 D.-3 4.已知非零向量a=3m-2n-4p,b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,则x+y=(　　) A.-13 B.-5 C.8 D.13 5.(2025安徽期末)已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°,其模均为1,则|a+b+c|=　　　　　. 6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,设=a,=b,=c,则<>=　　　　　. 7.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=6,则2a-b在a方向上的投影数量为　　　　　.  8.如图所示,四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,AB=4,SA=SD=5,SB=SC=3,点E是线段SD上靠近S的三等分点.记=a,=b,=c,用a,b,c表示. 9.如图所示,已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC=1,M,N分别是AB,SC的中点,求异面直线SM与BN所成角的余弦值. 二、能力提升 10.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>=(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 11.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则的值为(　　) A. B. C. D. 12.(2025广东期末)如图,在四面体OABC中,D为BC的中点,3=2,且P为OG的中点,则=(　　) A. B.- C. D. 13.在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为正方形,AB=AD=SA=1,且SA⊥底面ABCD,则向量在平面ABCD上的投影向量是　　　　　,=　　　　　.  14.如图,在正四面体A-BCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求线段MN的长. 15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F在对角线A1C上,且.若=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示; (2)求证:E,F,B三点共线. 16.如图所示,已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°. (1)求线段AC'的长; (2)求的夹角的余弦值. 参考答案 1.D　因为,所以四边形ABCD为平行四边形. 所以 2.B　=4,E是BC的中点, ),),故选B. 3.B 4.B　∵m,n,p不共面,又a∥b,故存在λ≠0,使得b=λa,即(x+1)m+8n+2yp=3λm-2λn-4λp, 解得则x+y=-5.故选B. 5　|a+b+c|= = 6令|a|=1,则||=,||==-=-1,所以cos<>==-又<>∈[0,π],所以<>= 7.1　∵a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=6,∴(2a-b)·a=2|a|2-a·b=2×22-2×6=2,∴2a-b在a方向上的投影数量为=1. 8.解 因为=a,=b,=c, 由题意得)+)=)+)=)+)=-=-a-b-c. 9.解 设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c三个向量两两夹角均为60°,所以a·b=b·c=a·c=因为)·()=(a+b)·c-b=a·c-a·b+b·c-b2=-1=-设异面直线SM与BN所成角为α.所以cos α=|cos<>|=所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为 10.B 11.D　∵空间四边形ABCD的每条边及AC,BD的长都为a,∴四面体是正四面体,且每个面都是等边三角形.∵点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,=()a2×-+a2a2a2.故选D. 12.A　由题意,)==)=)=故选A. 13　-1　如图,∵SA⊥底面ABCD,∴向量在平面ABCD上的投影向量是SA⊥底面ABCD,=0.∵四边形ABCD为正方形,AB=AD=SA=1,=()=-=-()=-=-1. 14.解 +()+)=-,-=a2-a2cos 60°-a2cos 60°+a2cos 60°=a2,故||=a,即线段MN的长为a. 15.(1)解 =a-c-b. (2)证明 =2, ,b, )=)=a+b-c,a-b-c=a-b-c.由(1)知=a-b-c,,且有公共点E,∴E,F,B三点共线. 16.解 (1),∴||2=()2=||2+||2+||2+2()=42+32+52+2×(0+10+7.5)=85. ∴||=,即线段AC'的长为 (2)设=a,=b,=c,依题意=(a+b+c)·(a+b)=a2+2a·b+b2+a·c+b·c=16+0+9+4×5×cos 60°+3×5×cos 60°=16+9+10+ ∴cos<>= 7 学科网（北京）股份有限公司 $$