课时分层作业22 空间向量的运算(三)(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

课时分层作业(二十二) 1．B　[由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6．] 2．C　[由·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．∴cos θ＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．] 3．A　[因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D．又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C．故选A．] 4．C　[因为，所以···＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12．] 5．B　[因为＝()＋()＝，所以()·()＝||2－||2＝0， 所以||，即△ABC是等腰三角形．] 6．0　[原式＝···()＝·()＋·()＝··＝0．] 7．3　[由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3．] 8．90°　[不妨设棱长为2，则， cos< ＝＝0，所以<>＝90°．] 9．解：(1)． 因为·＝0，·＝0，·＝0， 所以··． 又|，所以cos<． (2)证明：因为)， 所以·＝0， 所以． 10．解：(1)·>＝5×3×cos 60°＝7.5． (2)||2＝()2＝||2＋||2＋||2＋2(···)＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°)＝98＋56， 所以AC'≈13.3． 11．C　[根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得··＝0，所以·＝()··|2＋·|2＝1，所以cos<，所以AB与CD所成的角为60°．] 12．A　[因为)－， 所以||2＝)2＝···)． 又由已知得||＝2，·＝2，所以||2＝(4＋4＋4＋4)＝4．所以||＝2，即EF＝2．] 13．ABC　[只有D是假命题．] 14．60°　1　[法一：连接A1D，则∠PA1D就是所成角．连接PD， 在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形， 从而∠PA1D＝60°，即所成角的大小为60°． 因此·×cos 60°＝1． 法二：根据向量的线性运算可得·＝()·＝1． 由题意可得PA1＝B1C＝，则>＝1，从而<>＝60°．] 15．解：(1)证明：． 因为BB1⊥平面ABC， 所以·＝0，·＝0．又△ABC为正三角形， 所以<． 因为·＝()·()＝··· ＝||·||·cos<＝－1＋1＝0， 所以AB1⊥BC1． (2)结合第一问知·|·||·cos<－1． 又||． 所以cos<， 所以||＝2，即侧棱长为2． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(二十二)　空间向量的运算(三) 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分 一、选择题 1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－6　　　　 B．6　　 C．3　　　　 D．－3 2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，·b＝0，则a与b的夹角为(　　) A．30°　　　　 　 B．60°　　　　 C．120°　　　 　 D．150° 3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是　(　　) A．与 　 　 B．与 C．与 　 　 D．与 4．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　) A．6 　 B．6 C．12 　 D．144 5．设空间中有四个互异的点A，B，C，D，已知(－2)·()＝0，则△ABC是(　　) A．直角三角形 　 　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 　 D．等边三角形 二、填空题 6．在空间四边形ABCD中，＝________． 7．若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________． 8．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________． 三、解答题 9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1． (1)求〈〉的余弦值； (2)求证：⊥． 10．(源自人教A版教材)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°．求： (1)；(2)AC′的长(精确到0.1)． 11．已知在空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　) A．30° 　 　 B．45° C．60° 　 D．90° 12．在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝(　　) A．2 　 　 B．4 C． 　 D．3 13．(多选题)已知a，b是两个非零向量，下列结论中，正确的是(　　) A．a·b＞0⇔〈a，b〉∈ B．a·b＝0⇔〈a，b〉＝ C．a·b＜0⇔〈a，b〉∈ D．|a·b|＝|a||b|⇔〈a，b〉＝0 14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，＝________． 15．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为． (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $