重难点突破专题02 函数与相似-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

22章 重难点突破专题02 函数与相似 学习目标 ①会在反比例函数与图形综合的问题中，灵活运用所学知识构造相似三角形，转化问题。 ②会在二次函数与图形综合的问题中，根据不同的条件，作出相应的辅助线，构造相似解决未知坐标问题。 方法01 利用相似三角形的性质求线段的比值（未知线段、未知坐标） 如图，在函数与图形综合问题中，可以构造出两个相似的三角形，再根据相似三角形的性质（对应边成比例），结合已知条件列出相对应的比例式，解关于参数的方程即可。 比例式：方法02 动点坐标与线段的表示 ·动点坐标：二次函数y=ax2+bx+c上的任意点P的坐标可以表示为P（x，ax2+bx+c），如果已知点P的横坐标为t，则点P的坐标即为P（t，at2+bt+c）； ·线段长：设A(x1，y1 ) B(x2，y2 ) ①AB平行于x轴：；②AB平行于y轴：； ③AB与坐标轴不平行：（很少用到）。 方法03 相似在函数中的应用 ·二次函数与图形综合问题——利用相似三角形对应边成比例辗转求未知坐标 （1）根据函数解析式设未知坐标 （2）根据条件构造相似★ （3）根据相似三角形对应边成比例，建立方程求未知坐标值 作辅助线构造A字、8字、直角三角形相似模型 ·反比例函数与图形综合中相似三角形的构造：一般都是向坐标轴引垂线，构造两个三角形相似（常见的有“一线三垂直”模型、“A”字模型） ·二次函数与图形综合中相似三角形的构造：构造8字相似或A字相似、向坐标轴引垂线构造直角三角形相似 ①8字相似案例： ②直角三角形相似案例： 【题型一：函数与图形相似——一线三直角相似模型】 例1．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，点A在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数（）的图象于另一点C．连按，若点C为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，，．分别以，所在直线为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系．为边上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图像与边交于点，连接． （1） ； （2）将沿折叠，点恰好落在边上的点处，此时的值为 ． 【题型二：反比例函数与图形相似——“A”字模型】 例2．（2024·安徽淮北·二模）如图，是等边三角形，在轴上，已知，反比例函数的图象交于点． （1） ． （2）反比例函数的图象交于点，则的值为 ． 变式2．（2023·安徽池州·三模）如图，菱形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，对角线、的交点在第一象限，反比例函数的图像经过点，已知轴． （1）若菱形的面积为6，则的值为 ． （2）若反比例函数的图像与边交于点，则 ．    【题型三：二次函数与图形的相似——8字模型】 例3．（2024·安徽合肥·三模）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求直线，的函数表达式； (2)如图2，P是直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点Q，当的值最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点P作的平行线交抛物线的对称轴于点M，交直线于点D，抛物线对称轴与交于点N，若求的长． 【题型三：二次函数与图形的相似——A字模型】 例4．（2024·安徽淮南·三模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，且在第二象限，连接交轴于点． ①若的长为，点的横坐标为，求与的函数关系式； ②取的中点，连接，当时，求点的坐标． 【题型四：二次函数与图形的相似——直角三角形相似模型（含一线三直角相似模型）】 例5．（2024·四川成都·二模）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上有一点，轴上有一点，连接，若，请求出点的坐标． 变式5.（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，直线是抛物线的对称轴，且与抛物线交于点C，与x轴交于点P，动点D在B、C之间的抛物线上（与B、C不重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，当时，求点D的坐标； (3)如图2，设直线交抛物线对称轴于点E，连接、，求面积的最大值． 例6．（22-23九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图（1）所示，抛物线，经过，，三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否一点，使得以，，的顶点的三角形与相似，如有请求出满足要求的所有点，如果没有，请说明理由． (3)如图（2）所示，点，为抛物线上的动点，满足，请证明直线必定通过一个定点，并求出这个定点的坐标． 【题型五：二次函数与图形的相似——分类讨论相似三角形成立的动点坐标】 例7.（2024·广东东莞·一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标； (3)在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中．等边的顶点A在第一象限，点．双曲线把分成两部分，若． （1）双曲线与边，分别交于，两点，的值为 ． （2）连接，则的面积为 ． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．    (1)求二次函数的表达式； (2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标； (3)求线段的最大值． 3.（2024·安徽马鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点，点D为线段上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 4．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，矩形的对角线所在的直线是，函数在第一象限内的图象与对角线交于点，与边交于点，的面积为2．    (1)求k的值； (2)设P是线段上的点，且满足以C、D、P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标； (3)若M是边上的一个动点，将沿对折成，求线段长的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22章 重难点突破专题02 函数与相似 学习目标 ①会在反比例函数与图形综合的问题中，灵活运用所学知识构造相似三角形，转化问题。 ②会在二次函数与图形综合的问题中，根据不同的条件，作出相应的辅助线，构造相似解决未知坐标问题。 方法01 利用相似三角形的性质求线段的比值（未知线段、未知坐标） 如图，在函数与图形综合问题中，可以构造出两个相似的三角形，再根据相似三角形的性质（对应边成比例），结合已知条件列出相对应的比例式，解关于参数的方程即可。 比例式： 方法02 动点坐标与线段的表示 ·动点坐标：二次函数y=ax2+bx+c上的任意点P的坐标可以表示为P（x，ax2+bx+c），如果已知点P的横坐标为t，则点P的坐标即为P（t，at2+bt+c）； ·线段长：设A(x1，y1 ) B(x2，y2 ) ①AB平行于x轴：；②AB平行于y轴：； ③AB与坐标轴不平行：（很少用到）。 方法03 相似在函数中的应用 ·二次函数与图形综合问题——利用相似三角形对应边成比例辗转求未知坐标 （1）根据函数解析式设未知坐标 （2）根据条件构造相似★ （3）根据相似三角形对应边成比例，建立方程求未知坐标值 作辅助线构造A字、8字、直角三角形相似模型 ·反比例函数与图形综合中相似三角形的构造：一般都是向坐标轴引垂线，构造两个三角形相似（常见的有“一线三垂直”模型、“A”字模型） ·二次函数与图形综合中相似三角形的构造：构造8字相似或A字相似、向坐标轴引垂线构造直角三角形相似 ①8字相似案例： ②直角三角形相似案例： 【题型一：函数与图形相似——一线三直角相似模型】 例1．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，点A在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数（）的图象于另一点C．连按，若点C为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过B、A作x轴垂线，垂足分别为E、D，过O作于F；设，证明，则可得，即可得；设，可分别求得的长，由勾股定理求出，即可求得结果． 【详解】解：如图，分别过B、A作x轴垂线，垂足分别为E、D，过O作于F； 则， ∴； 设， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴， 即； 设，则， 由勾股定理得：； ∵C为中点， ∴； ∵， ∴， 由勾股定理得， 在中，． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，求角的余弦值等知识，构造相似三角形是关键． 变式1．（2024·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，，．分别以，所在直线为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系．为边上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图像与边交于点，连接． （1） ； （2）将沿折叠，点恰好落在边上的点处，此时的值为 ． 【答案】 2 //6.75 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、反比例函数与几何综合 【分析】（1）首先根据矩形的性质可得，，，结合题意确定点的坐标，进而可得，，然后根据求解即可； （2）过点作于，根据折叠的性质可得，，，证明，由相似三角形的性质可解得，在中，由勾股定理可得，代入并解得的值即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵为边上的一点，过点的反比例函数的图像与边交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （2）由（1）可知，，，， 如下图，过点作于， ∴，， ∴， 由折叠知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：2；． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的应用、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、折叠的性质、锐角三角函数等知识，用含有的代数式表示出是解题的关键． 【题型二：反比例函数与图形相似——“A”字模型】 例2．（2024·安徽淮北·二模）如图，是等边三角形，在轴上，已知，反比例函数的图象交于点． （1） ． （2）反比例函数的图象交于点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】（1）过点D作交于点G，过点D作交于点H，证明，结合，是等边三角形，求出，再利用等边三角形的性质得到，利用勾股定理求出，得到，代入即可求出； （2）过点A作交于点P，根据等边三角形的性质易得，求出直线的解析式，联立，求出点C的坐标，利用两点间距离公式求解即可． 【详解】解：过点D作交于点G，过点D作交于点H， ， ， ，是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点A作交于点P， 是等边三角形，， ，， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 联立，即， 解得：或（舍去）， 则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，坐标与图形，三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，综合较强，正确作出辅助线，构造相似是解题的关键． 变式2．（2023·安徽池州·三模）如图，菱形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，对角线、的交点在第一象限，反比例函数的图像经过点，已知轴． （1）若菱形的面积为6，则的值为 ． （2）若反比例函数的图像与边交于点，则 ．    【答案】 3 【知识点】利用菱形的性质求面积、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】（1）由，可得，由，即可求出k的值； （2）过A点作轴，过F点作于H点，构造相似三角形．设，，由“相似三角形对应边成比例”列比例式得，即，求出的值即可得的值． 【详解】（1）， ． ∵E点在反比例函数的图像上， ， ， ， ， 故答案为：3． （2）过A点作轴，过F点作于H点，    则． 设，， 则， ，， ， ， ，，，， ， 得， ， 解得或（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识，及数形结合的思想是解题的关键． 【题型三：二次函数与图形的相似——8字模型】 例3．（2024·安徽合肥·三模）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求直线，的函数表达式； (2)如图2，P是直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点Q，当的值最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点P作的平行线交抛物线的对称轴于点M，交直线于点D，抛物线对称轴与交于点N，若求的长． 【答案】(1)直线解析式为，直线解析式为 (2) (3)12 【分析】（1）由求出，，，再用待定系数法可得直线、解析式； （2）过P作交于G，设，可得，，由，即可得，根据二次函数性质可得答案； 【详解】（1）解：在中，令得， ∴， 令得， 解得或， ∴，， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为； 设直线解析式为'，把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：过P作交于G，如图： 设， 在中，令得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最大值； 此时， ∴当的值最大时，点P的坐标为； 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 【题型三：二次函数与图形的相似——A字模型】 例4．（2024·安徽淮南·三模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，且在第二象限，连接交轴于点． ①若的长为，点的横坐标为，求与的函数关系式； ②取的中点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②点的坐标为． 【分析】（1）由点在抛物线上，得到点坐标，再根据求出点坐标，代入抛物线解析式即可得到值； （2）①过点作轴于点，证明，设点坐标为，结合相似三角形对应边成比例，表示出，从而表示出，得到和的关系式； ②先通过待定系数法求出直线的表达式，因为和平行，知道直线的与直线的相同，再代入点，求出的表达式，设点坐标为，表示出的坐标，然后将代入直线，求出． 【详解】（1）抛物线与轴交于点， 点坐标为， ， 点的坐标为， 将代入抛物线解析式，得：， ， 抛物线的解析式为； （2）①如图，过点作轴于点， ， ， ， 点的横坐标是，抛物线的解析式为， 点坐标为， ， ， ， 即； ②抛物线与轴交于点，， 令， 解得或， 点坐标为， 设直线的解析式为， 把点代入解析式，得， ， 设直线的解析式为， 把点坐标代入上式，得： ， 设点坐标为，作轴，如图所示 又 点是的中点， ， 点的坐标为， 点在直线上， 将点坐标代入中， 得：， 解得（舍去）或， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的表达式，三角形相似的判定与性质，一次函数平移问题，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【题型四：二次函数与图形的相似——直角三角形相似模型（含一线三直角相似模型）】 例5．（2024·四川成都·二模）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上有一点，轴上有一点，连接，若，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分为点E在上方和下方，两种情况讨论，当点E在上方时，过点D作交直线与点Q，过点Q作y轴的平行线，过点E点D作x轴的平行线，交过点Q作y轴的平行线于点M，N，易证，设，则，，求出，证明，得到，即可求出x的值，同理，当点E在下方时，求出x的值即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点， ， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：根据题意得点D的坐标为， 当点E在上方时， 过点D作交直线与点Q，过点Q作y轴的平行线，交x轴于点H，过点E点D作x轴的平行线，交过点Q作y轴的平行线于点M，N， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 设，则，， ， ， ， ，即， 解得：， ， 此时，； 当点E在下方时， 同理可得：， ， 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，主要利用了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式）；利用三角形相似，确定出点的位置是解题的关键． 变式5.（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，直线是抛物线的对称轴，且与抛物线交于点C，与x轴交于点P，动点D在B、C之间的抛物线上（与B、C不重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，当时，求点D的坐标； (3)如图2，设直线交抛物线对称轴于点E，连接、，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大为2 【分析】本题考查二次函数几何最值、定值、动点问题，熟练掌握并利用待定系数法求二次函数的解析式，对于动点问题能够“化动为定”利用题意提供的信息列出等量关系是解题的关键，（1）利用待定系数法，将点和对称轴代入即可求得抛物线的解析式；（2）过点D作，垂足为H，由（1）可得抛物线顶点的坐标，得，的长，设点D的横坐标为t，则，易证，可得，进而得到， ，故点D的纵坐标为 ，利用 ，解得，即可得点D坐标；（3）过点D作，垂足为Q，设，则得到，的长，由于，可得，故 ，可得 ，则，故当时，最大． 【详解】（1）解：点在抛物线上，直线是抛物线的对称轴， ∴ 解得，， ∴， （2）解：过点D作，垂足为H， 由抛物线可知顶点， ∴，， 设点D的横坐标为t，则， ∵， ∴当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴点D的纵坐标为 ， ∴ ， 解得或（舍）， 即点D的坐标为 ， （3）解：过点D作，垂足为Q，设， 则，， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ∴当时，最大为2， 例6．（22-23九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图（1）所示，抛物线，经过，，三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否一点，使得以，，的顶点的三角形与相似，如有请求出满足要求的所有点，如果没有，请说明理由． (3)如图（2）所示，点，为抛物线上的动点，满足，请证明直线必定通过一个定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）设抛物线解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）假设，如图所示，易求得此时，不在抛物线上．同理当时也不在抛物线上，当时求得，符合要求． （3）设，，所以，；，．根据，得出，设的直线方程为：，代入P，Q的坐标有，得出的方程为，即可求解． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 抛物线过点代入得 解得： 所以抛物线解析式为：． （2）解：∵，， ∴， 当，则，即 ∴，过点作轴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则① 又∵ ∴② 联立①②解得：（负值舍去） ∴ 由，当时，，故，不在抛物线上 当时，则，即，如图所示，则 由，当时，，故，不在抛物线上 当时，则，即，如图所示， 同理可得 由，当时，，故，在抛物线上，符合要求． 综上满足要求的点为 （3）如图（3）所示，设，， 所以，；，． ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 设的直线方程为：，代入P，Q的坐标有 所以的方程为代入上式可得 当时恒等于4，所以总经过定点． 【题型五：二次函数与图形的相似——分类讨论相似三角形成立的动点坐标】 例7.（2024·广东东莞·一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标； (3)在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用一次函数求出两点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G，设点，则， 求出点F的坐标，证明，由，得到，即，求解出m的值即可； （3）当点P在y轴时，以A、C、P为顶点的三角形与相似，存在、 两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点P 在x轴上时，同理可解． 【详解】（1）解：把代入，得：， ． 把代入得：， ，                         将、代入得：， 解得，． 抛物线的解析式为； （2）解：分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G， 抛物线的解析式为，令，得， 解得：或， ， 设点，则， 当时， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 得， ∴， 解得， ∴点D坐标为或时，； （3）解：存在，理由： 由题意得，点， 由点A、B、C、D的坐标得，，， ， ， 在中，则，， 当点P在y轴时， ∵以A、C、P为顶点的三角形与相似， 当时， 则， 则， ， ， 则点； 当时， 此时，点P、O重合， ， ， ， 故点； 当点在x轴上时， 只有，以A、C、P为顶点的三角形与相似， 则， 则点， 综上，点P的坐标为或或时，以A、C、P为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中．等边的顶点A在第一象限，点．双曲线把分成两部分，若． （1）双曲线与边，分别交于，两点，的值为 ． （2）连接，则的面积为 ． 【答案】 / 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，三角形的面积． （1）依据题意，作轴于，轴于，设，从而，再表示出，，从而可得，计算可以得解； （2）依据题意，连接，作轴于，于，从而，进而，再结合题意得，故可得，又由，从而，最后可以计算得解． 【详解】解：（1）如图，作轴于，轴于， 设， ． 在中，， ，． ， 在中，， ，． 又， ． ， 又、在上， ． ，． 故答案为：； （2）如图，连接，作轴于，于． ∴， ∴， ， 由题意，， ， 又由（1）得，， ，． ． 连接． ， 又， ． 又，即， ． ． ． ． 故答案为：． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．    (1)求二次函数的表达式； (2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标； (3)求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3)线段的最大值为 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似等，理解当最大时，最大，是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）当D点为线段的中点时，求出点坐标，再利用求得直线的解析式，即可解答； （3）过点作轴的平行线，交于点，证明为直角三角形，则可得，则最大时，最大，求得最大值，再利用相似比求得最大值即可。 【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点点，， 设二次函数的表达式为， 将点代入，得， 解得：． 二次函数的表达式为； （2）解：当D点为线段的中点时，可得 直线的一次函数解析式的值为， ， 直线的一次函数解析式的值为， 设直线的一次函数解析式为， 把代入，可得，解得， 直线的一次函数解析式为， 列方程， 解得， 点P是第一象限内抛物线上的一动点， （3）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， ， ， 为直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 设， 设直线的解析式为， 把代入，可得， 直线的解析式为， ， ， 当时，取最大值为2， 此时， 故线段的最大值为．    3.（2024·安徽马鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点，点D为线段上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或 (3)点P的坐标为，S的最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式，即可解题； （2）作，交于点，证明，利用相似三角形性质得到，利用待定系数法求出直线，根据建立等式求解，即可得到点E的坐标； （3）由（2）知直线的解析式，且同理可得直线的解析式，根据设直线的解析式为，点P的坐标为，得到直线的解析式，联立直线和直线的解析式表示出点，再利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的最值即可求出点P的坐标和S的最大值． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：作，交于点， 则， ， ， ， ， ， 由题知点，点，点， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式中， 有，解得， 直线的解析式为， ， 解得或， 当时，，当时，， 点E的坐标为或； 4．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，矩形的对角线所在的直线是，函数在第一象限内的图象与对角线交于点，与边交于点，的面积为2．    (1)求k的值； (2)设P是线段上的点，且满足以C、D、P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标； (3)若M是边上的一个动点，将沿对折成，求线段长的最小值． 【答案】(1) (2)点P的坐标为； (3)的长的最小值为． 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】（1）将点代入求得n的值，再利用待定系数法即可求解； （2）过点E作于点G，过点P作于点H，过点F作于点N，连接，分和时，两种情况讨论，利用相似三角形的性质即可求解； （3）当点N在线段上时，的长最小，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 将点代入得， 解得； （2）解：∵四边形是矩形， ∴点的横坐标与的横坐标相同都是， 当时，， ∴点，由（1）知， ∵点也在函数图象上， ∴，点， 如图所示，过点E作于点G，过点P作于点H，过点F作于点N，连接，    则，，， 在中，，且， ∴为等腰三角形，， ∴以C、D、P为顶点的三角形与相似有2种情况． ，，， ∴在中，， 又∵的面积为2， ∴ 解得， 设点P的坐标为， ①当时，， 即，解得， 则，将代入得， ∴点P的坐标为； ②当时，， 即，解得， 则，将代入得，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为；； （3）解：对于， 当时，， 解得， 则且， ∴， 由勾股定理得， 由折叠的性质知， 当B、N、D构成三角形，， ∴当点N在线段上时，的长最小，为， ∴的长的最小值为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及反比例函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识点．本题考查知识点较多，综合性很强，难度较大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$