专题06与圆锥曲线有关的定点、定值问题（两种技巧精讲精练+过关检测）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

专题06与圆锥曲线有关的定点、定值问题 （两种技巧精讲精练+过关检测） 题型01定点问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，C，D是椭圆上异于A，B的两点，若直线AC，BD的斜率，满足，则直线CD过定点，定点坐标为 【例1-3】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·河北唐山·期末）已知点在抛物线上，则 ；过点M作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（不同于点M），则直线经过的定点坐标为 . 【变式1-3】（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知抛物线过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，． (1)求抛物线的方程； (2)求证：直线过定点； (3)在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02定值问题 【典例分析】 【例2-1】（22-23高二上·甘肃天水·期末）已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（21-22高二上·江西南昌·期末）已知椭圆交轴于A，两点，点是椭圆上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值．现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交轴于A，两点，点是双曲线上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值 ． 【例2-3】（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点. (1)若，求直线的方程． (2)若过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，直线的斜率是否为定值?若是，请求出定值，若不是，说明理由． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，两条直线：；：，过椭圆上一点P作，的平行线，分别交，于M，N，若为定值，则（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 【变式2-2】（22-23高二上·辽宁·阶段练习）过x轴上点的直线与抛物线交于A，B两点，若为定值，则实数a的值为 ． 【变式2-3】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 一、单选题 1．（21-22高二上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线，其准线为l，则过l上任意一点作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·新疆·期中）已知椭圆为椭圆的右顶点，直线交于两点，且，则恒过除点以外的定点（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点  （不同于点）.直线过定点（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·湖北·期末）已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上异于两点的一个动点，记的斜率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到双曲线的渐近线距离为2 D．为定值 6．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上 C．为定值 D．为定值（为抛物线的焦点） 三、填空题 7．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 8．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为 . 9．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，则直线HN过定点 ． 四、解答题 10．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 11．（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 12．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线， (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积； (2)斜率为1的直线与交于P、Q两点，若与圆相切，求证OPOQ (3)椭圆：，若M，N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06与圆锥曲线有关的定点、定值问题 （两种技巧精讲精练+过关检测） 题型01定点问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线l的方程为，代入抛物线方程由韦达定理可表示出，结合也表示出，可解出的值得直线所过定点． 【详解】设，，则，， 设直线l的方程为，代入抛物线方程可化为，， ，， 所以直线l一定过定点. 故选：A． 【例1-2】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，C，D是椭圆上异于A，B的两点，若直线AC，BD的斜率，满足，则直线CD过定点，定点坐标为 【答案】 【分析】 设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系求出C，D点坐标，得出直线方程，即可求出直线所过定点 【详解】 因为，，， 则：，：． 设，． 联立椭圆方程与得： 得， ∴， 因为， ∴，∴， 联立椭圆方程与得：， 得， ∴，∴， 因为，， 所以：，即， 当时，即时方程恒成立，故直线过定点． 故答案为： 【例1-3】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程 （2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点，从而可求得答案. 【详解】（1）由题意得，得，所以， 因为点在双曲线上，所以，解 得， 所以双曲线方程为． （2），设直线方程为， ， 由，得， 则， 所以，所以的中点， 因为，所以用代换，得， 当，即时，直线的方程为，过点， 当时，， 直线的方程为， 令，得， 所以直线也过定点． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在时，将P、Q坐标代入椭圆方程，结合，可得，再引入参数线段PQ中点的纵坐标，用其表示出，再得线段PQ的垂直平分线的方程，分析即可求解. 【详解】因为，在椭圆上， 且，当时，由， 得， 设线段PQ的中点为，所以， 所以线段PQ的垂直平分线的方程为， 即，该直线恒过定点 当时，线段PQ的垂直平分线也过定点， 故线段PQ的垂直平分线恒过定点 故选：A． 【变式1-2】（23-24高二上·河北唐山·期末）已知点在抛物线上，则 ；过点M作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（不同于点M），则直线经过的定点坐标为 . 【答案】 2 【分析】由抛物线过点求出；设直线的方程为：，，联立，得，利用韦达定理，通过，转化求解出直线方程，推出直线经过的定点. 【详解】 因为点在抛物线上，所以，解得； 抛物线，由题意知，直线斜率不存在时，不符合题意， 设直线的方程为：，， 联立，得， 所以， 因为，所以， ，， 所以，即， 所以，即， 验证    ， 所以， 直线经过的定点坐标为， 故答案为：2；. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式1-3】（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知抛物线过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，． (1)求抛物线的方程； (2)求证：直线过定点； (3)在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，点 【分析】（1）根据抛物线过点，代入运算得解； （2）设直线，与抛物线联立方程组，得到根与系数关系，结合，坐标运算得解； （3）假设存在满足条件的点，使得，利用根与系数关系进行坐标运算求得的值. 【详解】（1）抛物线过点， ，即， 抛物线的方程为． （2）证明：不妨设，， 联立，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得， ， 又， ，即， ，解得或（舍）， 直线的方程为，即直线过定点． （3）假设存在满足条件的点，使得， ， ， 即，解得或， 存在点，使得直线与直线的斜率之和为0． 【点睛】思路点睛：本题第二，三问是考查圆锥曲线中的定点问题.第二问，设直线，与抛物线方程联立，得根与系数关系，由得，代入运算可得，得解；第三问，由，得，代入根与系数关系化简运算得解. 题型02定值问题 【典例分析】 【例2-1】（22-23高二上·甘肃天水·期末）已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再表达出，结合双曲线的方程化简即可. 【详解】设，则， . 故选：B 【例2-2】（21-22高二上·江西南昌·期末）已知椭圆交轴于A，两点，点是椭圆上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值．现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交轴于A，两点，点是双曲线上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值 ． 【答案】－ 【分析】由双曲线的方程可得，的坐标，设的坐标，代入双曲线的方程可得的横纵坐标的关系，求出直线，的方程，令，分别求出，的纵坐标，求出的表达式，整理可得为定值． 【详解】由双曲线的方程可得，，设， 则，可得， 直线的方程为：，令，则，可得， 直线的方程为，令，可得，即， ∴，，， 故答案为：－． 另解：双曲线方程化为，只是将的替换为－，故答案也是只需将中的替换为－即可. 故答案为：－. 【例2-3】（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点. (1)若，求直线的方程． (2)若过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，直线的斜率是否为定值?若是，请求出定值，若不是，说明理由． 【答案】(1)或 (2)直线的斜率为定值0，理由见解析 【分析】（1）分斜率是否存在进行讨论，斜率存在时设，联立抛物线方程结合韦达定理、焦点弦弦长公式可得关于的方程，解方程并检验此时是否满足即可； （2）首先得，又，从而由即可判断. 【详解】（1）由题意知，抛物线焦点， 当直线斜率不存在时，联立与抛物线，解得，此时，不满足题意， 当直线斜率存在时，设， 由，得，注意， 由韦达定理知，，由抛物线的弦长公式，解得， 经验证，此时满足，所以，直线的方程为或． （2） 设，则直线与准线的交点为， 由（1）知，则，从而． 所以，直线的斜率为定值0． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，两条直线：；：，过椭圆上一点P作，的平行线，分别交，于M，N，若为定值，则（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设点，可得出，求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合为定值可求得的值，即可得解. 【详解】设点，则直线的方程为， 联立，解得，即点， 直线的方程为， 联立，解得，即点， 由已知可得，则， 所以，为定值， 则，可得. 故选：A 【变式2-2】（22-23高二上·辽宁·阶段练习）过x轴上点的直线与抛物线交于A，B两点，若为定值，则实数a的值为 ． 【答案】4 【分析】设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程可得，，然后得到，再根据为定值列方程，解方程即可. 【详解】设直线的方程为，联立得， 设，，则，， ，同理可得， 所以， 因为为定值，所以，解得. 故答案为：4. 【点睛】型式子为定值求参数的方法： ①让分子分母对应项系数比值相等，例如：为定值，则，解方程即可； ②设，然后根据定值与变量无关列方程，例如：为定值，设，整理得，定值与变量无关，所以. 【变式2-3】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合代入法进行求解即可； （2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线可得，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得；联立方程和渐近线方程求出，得到，由题易得，即，联立求出的关系式，再由定义表示出，将所有未知量全部代换成即可求证. 【详解】（1）因为双曲线：过点，离心率为， 所以有； （2）设直线的方程为， 直线的方程为，， 将代入直线得，即， 联立，得， 得，即，， 因为在第一象限，双曲线渐近线方程为， 联立，得，即， 联立，得.即， 所以， 因为，所以，所以①， 又②， ①②得，， 所以， 所以， 因为 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 一、单选题 1．（21-22高二上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线，其准线为l，则过l上任意一点作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，写出AP的直线方程，根据点P在直线AP上，化简得到，进而得到是方程的两个根，然后写出直线AB的方程，将韦达定理代入求解. 【详解】设， 因为， 所以，即， 所以AP的直线方程为：， 因为点P在直线AP上， 所以， 即， 同理， 所以是方程的两个根，且， ， 所以直线AB的方程为， 即， 所以直线AB过定点， 故选：B 2．（22-23高二上·新疆·期中）已知椭圆为椭圆的右顶点，直线交于两点，且，则恒过除点以外的定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若直线的斜率存在，设直线为，与椭圆联立，结合韦达定理得到，进而可求出结果，注意检验斜率不存在时即可得出结论. 【详解】椭圆为椭圆的右顶点，所以， 由题意知：若直线的斜率存在，设直线为， 则，联立可得， 设，则， ， 因为，即，则， 即 ， 即，因此， 即，所以直线过定点，不符合题意，舍去； ，所以直线过定点，符合题意； 当直线的斜率不存在时，直线为，此时设， ，符合题意，故直线恒过除点以外的定点， 故选：A. 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合椭圆方程推出，结合得出，设直线方程为，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，代入中化简求值，即可求得答案. 【详解】设，则，， 则，故， 同理，而， 故； 由题意可知直线的斜率不为0，设方程为， 代入椭圆方程得：， 需满足， 设，则， 又，，即， 即，即， 得， 即， 整理得，解得，或， 当时，，直线过A点，不符合题意； 当时，，直线恒过点， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要根据题意结合椭圆方程得出，再结合得出，然后设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，化简求值，即可求解。 4．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点  （不同于点）.直线过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件列方程求，由此可得椭圆方程，两切线的斜率分别为，由切线性质可求，求直线方程，确定其过定点. 【详解】 椭圆的上顶点为，离心率为 解得 椭圆的方程为. 设切线方程为，则 即 设两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得: 由 ， 消掉得 设 同理可得 直线方程为 令，得， 故直线过定点. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 二、多选题 5．（23-24高二上·湖北·期末）已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上异于两点的一个动点，记的斜率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．点到双曲线的渐近线距离为2 D．为定值 【答案】AD 【分析】根据题意求出，即可得双曲线方程，判断A；继而求得渐近线方程，判断B；结合点到直线的距离公式可判断C；设，表示出，结合双曲线方程，可判断D. 【详解】依题意，双曲线的左焦点在直线上， 令，则，双曲线C的左焦点F即为F，则半焦距， 又双曲线离心率为，即，则， 从而双曲线C的方程为，A正确， 双曲线C的渐近线方程为，B不正确， 渐近线方程即为，F点到双曲线C的渐近线的距离为，C不正确， 由题意知，不妨设，则， 则有，D正确． 故选：AD 6．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上 C．为定值 D．为定值（为抛物线的焦点） 【答案】BC 【分析】分析可知，，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A选项；求出线段中点的纵坐标，可判断B选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项. 【详解】若，则直线与抛物线只有一个交点， 不合乎题意，则，设直线的方程为， 联立可得， ， 对于A选项，不一定是定值，A错； 对于B选项，设线段的中点为，则， 为定值，故线段的中点在定直线上，B对； 对于C选项，为定值，C对； 对于D选项，不一定为定值，D错. 故选：BC. 三、填空题 7．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据离心率即可求解椭圆方程，即可联立直线与椭圆方程，根据点斜式求解直线方程，即可化简求解. 【详解】因为椭圆的离心率为，椭圆C过点， 椭圆C的标准方程为，由题可知直线PF的斜率存在， 设直线，则， 联立直线与椭圆方程得， 则，， 所以，整理得， 又 ， 所以直线QM的方程为，故直线QM过定点． 故答案为： 8．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为 . 【答案】 【分析】设出切线方程后代入抛物线方程，利用可求得，再通过方程的解可求得切点坐标，继而求出切线斜率，得到切线方程，进一步分析即可. 【详解】设过点的切线方程为， 代入抛物线方程得： , 其判别式， 即， 故得，， 又的解为， 所以切点的横坐标为， 代入抛物线方程可求得切点坐标为， 设， 令，则， 即切点的坐标为; 令，则， 即切点的坐标为， 故直线的斜率 故直线的方程为 ， 当时， 即直线过定点. 9．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，则直线HN过定点 ． 【答案】 【分析】设出椭圆方程，将两给定点代入待定系数求解可得椭圆方程；再设出直线方程，与椭圆C的方程联立，设，分斜率是否存在两种情况讨论，依次用坐标表示出坐标，求解直线方程，进而利用韦达定理关系式探求定点可得. 【详解】设椭圆E的方程为， 由椭圆过点， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. 直线的方程为，即. ①若过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 方程中，令， 可得，，在直线AB方程中， 令可得， 由得到. 则HN方程：，直线过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， ， 解得或. 由韦达定理可得， 所以， 且 ， 联立可得 则直线， 将点代入整理得， 将韦达定理所得各式代入可得 ， 即， 化简得显然成立， 综上可得，直线HN过定点 故答案为：.    【点睛】方法点睛：求定点问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，根据条件求解定点，再证明一般情况下也过此定点； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点. 四、解答题 10．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值. 【详解】（1）由题意得解得， 故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 由，得， 则. ， 解得或 当时，直线经过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为. （3）直线，均不与轴垂直，所以，则且， 所以 为定值. 11．（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【分析】（1）由和在椭圆上求出，即可. （2）求出直线BF的方程，并与椭圆方程联立求得点坐标，再由给定条件结合面积公式求解即可． 【详解】（1）由，，得：，解得， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为． （2） 证明:依题意，令，直线，由，得， 直线AB的斜率，直线AP的斜率， 则，即，有，得，， 于是得点，，， 所以为定值. 12．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线， (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积； (2)斜率为1的直线与交于P、Q两点，若与圆相切，求证OPOQ (3)椭圆：，若M，N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离为定值. 【答案】(1) (2).证明见解析 (3)定值，证明见解析 【分析】（1）求出渐近线方程，得到交点坐标，从而得到围成的三角形的面积； （2）设直线，根据直线与圆相切，得到，联立与得到两根之和，两根之积，计算出，得到； （3）考虑直线⊥轴时，得到到直线的距离为，再考虑当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆和双曲线，得到，，计算出到直线的距离为. 【详解】（1）由题意得，的左顶点坐标为，渐近线方程为， 过点作的平行线，方程为， 设该平行线与交于点，与轴交于点， 联立，解得，故， 中，令得，故， 则围成的三角形为，其面积为； （2）设直线， ∵直线与圆相切， ∴，故， 联立与得， ， 设，则， ， 所以， 故OPOQ. （3）当直线⊥轴时，，， 则，故到直线的距离为， 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 则直线的方程为， 由，得，所以， 同理可得， 设O到直线的距离为，因为ON， 所以， 由于， 故 ， 所以， 综上，O到直线的距离是定值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中探究性问题解题策略， （1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立； （2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$