3.2 双曲线（3种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

3.2 双曲线（3种题型基础练+能力提升练） 一．双曲线的标准方程（共5小题） 1．（2023秋•高邮市月考）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为．再由双曲线离心率为2，得到，由定义知，代入即得此双曲线的渐近线方程． 【解答】解：双曲线的方程是， 双曲线渐近线为． 又离心率为， ， ， 由此可得双曲线渐近线为，即： 故答案为：． 故选：． 【点评】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题． 2．（2023秋•如皋市月考）“”是“方程表示双曲线”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据双曲线方程的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若表示双曲线，则，得或， 则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的标准方程求出的取值范围是解决本题的关键． 3．（2023秋•启东市校级期中）与双曲线有公共渐近线，且焦距为8的双曲线方程为　或　． 【分析】先设出双曲线的方程，根据已知条件求得和的比值，进而利用焦距求得和的另一关系式，联立方程求得和，则双曲线的方程可得． 【解答】解：设出所求的双曲线的方程为， 依题意可知求得， 双曲线的方程为：． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及公共渐近线的双曲线的方程，由于不能确定所求的双曲线的焦点所在的位置，一定要分在轴和轴两种情况去讨论． 4．（2023秋•邗江区校级月考）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为　　． 【分析】先根据椭圆的标准方程求出椭圆的顶点和焦点，从而得到双曲线的焦点和顶点，进而得到双曲线方程． 【解答】解：椭圆的顶点为和，焦点为和． 双曲线的焦点坐标是和，顶点为和． 双曲线的，． 双曲线方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的标准方程、双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆中数量关系的区别． 5．（2023秋•启东市校级月考）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是　或　． 【分析】根据方程表示双曲线，可知，从而可求实数的取值范围． 【解答】解：方程表示双曲线， 或 实数的取值范围是或 故答案为：或 【点评】本题考查的重点是双曲线的标准方程，解题的关键是确定双曲线标准方程中平方项的分母异号． 二．双曲线的几何特征（共11小题） 6．（2023秋•射阳县校级期中）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】可设方程为：，由离心率和的关系可得，而渐近线方程为，代入可解． 【解答】解：设双曲线的方程为， ，得， ， 双曲线的渐近线方程为 故选：． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题． 7．（2023秋•鼓楼区校级期中）若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据双曲线的几何性质，即可求解． 【解答】解：根据双曲线的几何性质可知： 右焦点到渐近线：的距离为， ． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，属基础题． 8．（2023秋•天宁区校级期中）双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为　　 A． B． C．2 D． 【分析】分析：由题意可判断出直线与渐近线垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为． 又直线可化为，可得斜率为． 双曲线的一条渐近线与直线垂直， ，得到． 双曲的离心率． 故选：． 【点评】熟练掌握双曲线的渐近线、相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式是解题的关键． 9．（2023秋•新吴区校级期中）已知方程表示双曲线，那么的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 【分析】根据双曲线的几何性质建立不等式，即可求解． 【解答】解：方程表示双曲线， ， 或． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，不等式思想，属基础题． 10．（2022秋•新北区校级期末）双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为　　 A．22 B．2 C．2或22 D．24 【分析】由双曲线的方程可得，的值，进而求出的值，再由的值及双曲线的定义可得在上半支上，进而可得的值． 【解答】解：设的上、下焦点分别为，，由题意可得， 由双曲线的方程可得，， 所以，所以在上支上， 由双曲线的定义可得：， 所以， 故选：． 【点评】本题考查双曲线的定义的应用及性质的应用，属于基础题． 11．（2023秋•睢宁县校级月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在左支上过的弦的长为5，若，那么的周长是　　 A．16 B．18 C．21 D．26 【分析】根据题意和双曲线的定义直接得出结果． 【解答】解：由双曲线的定义得， 又， 所以， 即， 所以的周长为． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的定义及简单几何性质，属于基础题． 12．（2023秋•玄武区校级月考）已知双曲线的离心率为2，则　　 A． B．1 C． D．3 【分析】利用双曲线的离心率公式可得出关于的等式，解之即可． 【解答】解：由题意可知，双曲线的焦点在轴上， 故该双曲线的离心率为， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题． 13．（2023秋•江苏月考）已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】利用双曲线的焦距以及点在渐近线上，求解，，即可得到双曲线方程． 【解答】解：双曲线的焦距为，点在的渐近线上， ，解得，， 所以双曲线方程为：． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基础题． 14．（2023秋•宿迁月考）已知方程表示的曲线为．给出以下四个判断，其中正确的是　　 A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【分析】结合的范围判断选项，，利用曲线的形状，求解的范围判断，． 【解答】解：方程表示的曲线为．当，时，曲线表示椭圆，所以不正确； 当时，曲线是双曲线，时，曲线是双曲线，所以正确； 曲线表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，所以正确； 曲线表示焦点在轴上的双曲线，可得，并且，解得，所以正确； 故选：． 【点评】本题考查曲线与方程的应用，双曲线以及椭圆的简单性质的应用，是基础题． 15．（2023秋•建邺区校级月考）如图，已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】延长与双曲线交于点，易得，设，结合双曲线定义得，进而在△中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率． 【解答】解：延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知， 设，则，，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在△中，由勾股定理得，即，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查双曲线离心率的求解，考查计算能力和转化思想，属于中档题． 16．（2023秋•工业园区月考）与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意设双曲线的方程为，，由椭圆的方程可得椭圆的焦点为，则，且所求双曲线的方程为，进而可得，解得，即可得出答案． 【解答】解：因为双曲线的渐近线为， 因为所求的双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以设双曲线的方程为，， 因为椭圆， 所以， 所以椭圆的焦点为， 所以，且所求双曲线的方程为， 所以， 所以， 所以双曲线的方程为， 故选：． 【点评】本题考查双曲线与椭圆的性质和方程，解题中需要理清思路，属于中档题． 三．直线与双曲线的综合（共9小题） 17．（2023秋•沛县月考）已知，为曲线上的两点，线段的中点为，则直线的斜率为　　 A． B． C． D．3 【分析】设，两点坐标代入双曲线方程，利用点差法得到方程，并利用中点坐标公式消去参数，即可得到斜率． 【解答】解：设，，，， 将，两点坐标代入双曲线方程可得： ， ①②得， 线段的中点为， ，， 即， 故选：． 【点评】本题考查双曲线方程和直线相交，已知中点坐标利用点差法求解斜率的运算，考查运算能力，属于基础题． 18．（2023秋•海陵区校级期中）过原点的直线与双曲线交于，两点，点为双曲线上一点，若直线的斜率为2，则直线的斜率为　　 A．4 B．1 C． D． 【分析】可设，，，代入双曲线的方程，作差，可得，再由直线的斜率公式，结合平方差公式，计算可得所求值． 【解答】解：由题意可设，，， 则，， 即有， 即， 由，， 可得， 而，所以． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 19．（2023秋•张家港市校级月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，，，为双曲线上不同的三点，且，两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则　　 A． B．双曲线的离心率为 C．直线倾斜角的取值范围为 D．若，则三角形的面积为2 【分析】利用平方差法，求解，判断的正误；求解离心率判断的正误；求解直线的倾斜角的范围判断；求解三角形的面积判断即可． 【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，且， ，，为双曲线上不同的三点，且，两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1， 设焦距为，则，设，，，，，， 则，，作差得，即， ， 故，又，所以，正确； 离心率，正确； 双曲线的渐近线方程为，直线过原点，由题可知直线与有两个不同的交点， 所以直线倾斜角的取值范围为，错误； 若，则，易得， 故，又， 可得，所以三角形的面积为，正确． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的判断，是中档题． 20．（2023秋•广陵区校级期中）已知双曲线：的一个焦点与抛物线的焦点重合． （1）求抛物线的方程； （2）若直线交抛物线于、两点，为原点，求证：以为直径的圆经过原点． 【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程； （2）直线与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证． 【解答】解：（1）由双曲线方程，可得其焦点在轴上且焦点坐标为，， 又为抛物线的焦点，所以， 即可得抛物线的方程为； （2）证明：设，，，， 联立，△， 由韦达定理得，， 所以 ， 所以， 即以为直径的圆经过原点． 【点评】本题考查了双曲线的方程、直线与双曲线位置关系，考查了运算能力，属于中档题． 21．（2023秋•清江浦区月考）已知双曲线的实轴长为，左右焦点为、，直线经过点，且与双曲线交于、两点．当直线与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为，求△的面积． 【分析】（1）根据长轴长确定，，得到，得到双曲线方程． （2）确定直线方程，联立计算得到交点，计算面积得到答案． 【解答】解：（1）实轴长为，故， 当时，，即， ，， 所以双曲线方程为； （2），直线的倾斜角为，故直线的方程为， 联立，整理得， 解得，， ． 【点评】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题． 22．（2023秋•盐城期中）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1． （1）求的方程； （2）是否存在直线，经过点且与双曲线于，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由题意，根据双曲线的性质以及点到直线的距离公式进行求解即可； （2）设出，两点的坐标和直线的斜率，利用点差法进行求解即可． 【解答】解：（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以， 解得，① 因为焦点到该渐近线的距离为1， 所以， 解得，② 又，③ 联立①②③，解得， 则双曲线的方程为； （2）假设存在， 易知直线的斜率存在， 不妨设，，，，直线的斜率为， 易知，， 所以，， 两式相减得， 即 此时， 所以， 解得， 所以直线的方程为， 即， 经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以直线的方程为． 【点评】本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力． 23．（2023秋•高邮市月考）已知双曲线的方程为，离心率为2，左、右顶点分别为，． （1）求双曲线的方程； （2）已知点是直线上任意一点，若直线，分别与双曲线交于点，，求证：直线恒过定点． 【分析】（1）由题意，结合所给信息以及双曲线中，，的关系，进而可得双曲线的方程； （2）设，由直线，的方程分别与双曲线方程联立，求出，两点的坐标，当时可得直线经过双曲线的右焦点，然后可得当时，直线也经过点，进而即可得证． 【解答】解：（1）不妨设双曲线的半焦距为， 因为离心率为2，左、右顶点分别为，， 所以， 解得， 又， 则双曲线的方程为； （2）证明：不妨设， 此时直线，的方程分别为， 联立，消去并整理得， 不妨设，，，， 易知和是该方程的两个根， 所以， 可得， 此时， 同理得， 当时，， 所以直线垂直于轴， 则直线经过双曲线的右焦点， 当时，直线也经过点， 此时，， 因为， 所以直线也经过双曲线的右焦点， 综上，直线恒过双曲线的右焦点． 【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力． 24．（2023秋•邗江区校级月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，右焦点为；点在双曲线上，直线与双曲线交于，两点，且当直线的斜率为1时，． （1）求双曲线的方程； （2）若，求到直线的距离． 【分析】（1）由题意可得为等腰直角三角形，且，求得的坐标，结合，可得，再由的坐标满足双曲线的方程，可得，，进而得到所求双曲线的方程； （2）讨论直线的斜率不存在，求得的坐标，可得到直线的距离；再考虑直线的斜率存在，设，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，化简整理，可得，再由点到直线的距离公式，计算可得所求距离． 【解答】解：（1）当直线的斜率为时，即，又， 可得为等腰直角三角形，且， 设，可得， 则，可得，， 由点在双曲线上，可得， 解得，，， 则双曲线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，，关于轴对称，设，，，， 由，可得，且，解得，则直线的方程为， 则到直线的距离为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，， 由可得， △，，， ， 由，可得，即， 可得， 所以到直线的距离为． 综上可得，到直线的距离为． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 25．（2023秋•宝应县期中）若双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点． （1）求双曲线的方程； （2）经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求线段的长． 【分析】（1）利用已知条件求出， 即可动点双曲线方程． （2）求出直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求解即可． 【解答】解析：（1）可知，解得，． 故双曲线的方程为． （2），联立得方程组消去得，，设，，，，则，， ． 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•赣榆区校级月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若△为等边三角形，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率． 【解答】解：由题意，因为△为等边三角形， 所以，， 因为△△， 所以，，即，故点， 因为， 则，解得． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 2．（2023秋•江苏月考）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意及三角形重心的性质易得，，又直线与的右支交于，两点，从而可得，从而可得，又易知当离心率时，，，，四点共线，从而可得，再根据点差法及双曲线的几何性质可得：直线斜率关于的函数模型，从而通过函数思想，即可求解． 【解答】解：设为的中点，为的重心， ，又， 从而可得，，又直线与的右支交于，两点， ，， 经检验知：当离心率时，，，，四点共线， ， 又根据点差法易得，又， ，又， ，，， 故选：． 【点评】本题考查三角形重心的性质，直线与双曲线的位置关系，点差法的应用，不等式思想，函数思想，属中档题． 3．（2023•泗阳县校级开学）已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若△的面积为，则双曲线的实轴长为　　 A．2 B． C． D． 【分析】由双曲线定义可得，，应用余弦定理及已知有，最后由三角形面积公式列方程求，即得实轴长． 【解答】解：设，则，故为双曲线参数）， 所以，，故， 而，则，则，， 所以，故， 则，故长轴长． 故选：． 【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题． 4．（2023秋•溧阳市期中）已知双曲线的中心为，离心率为，焦点为，，为上一点，，则　　 A． B．3 C．4 D．8 【分析】由离心率为得，设，利用双曲线的定义和列方程可得． 【解答】解：由离心率得，， 即，． 不妨设为的右支上一点， 由双曲线的定义， 得， 即， 即， 坐标代入计算可得， 整理得， 即． 所以． 故选：． 【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题． 5．（2023秋•如皋市月考）直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，则直线的斜率为　　 A．3 B．6 C．8 D．12 【分析】利用点差法计算即可． 【解答】解：设，、，， 又线段的中点为， 则，， 则， 化简得， 即． 故选：． 【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了直线与双曲线的位置关系，属中档题． 6．（2023秋•海安市校级期中）点到双曲线的一条渐近线的距离为　　 A．4 B．3 C．5 D． 【分析】由双曲线的性质，结合点到直线的距离公式求解． 【解答】解：双曲线中，，，且焦点在轴上， 所以渐近线方程为， 即， 由对称性可知，点到两条渐近线的距离相等， 不妨求点到的距离， 得． 故选：． 【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题． 7．（2023秋•天宁区校级月考）已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是　　 A．， B．， C． D． 【分析】先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．结合椭圆与双曲线的定义，利用余弦定理，构造函数，利用导数性质求出函数的值域，由此能求出的范围． 【解答】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为， 焦距，在双曲线的右支上， 根据椭圆及双曲线的定义可得，， 可得，，如图， 在△中，根据余弦定理得： ， 整理得，， 设，，则，， ，， ， ， 设，，则， 令，得，， 在，上恒成立， 在，上单调递减， 当趋于时，趋于；当趋于1时，趋于2， ，的范围是． 故选：． 【点评】本题考查椭圆及双曲线的交点，及椭圆与双曲线的定义，以及它们离心率的定义，余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题． 8．（2023春•广陵区校级期中）如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，、、、是它们的公共点，且都在圆上，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为　　 A．2 B． C． D．4 【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，根据椭圆离心率得到，故椭圆方程为，联立，求出点坐标，从而由对称性得到，，点坐标，表达出直线方程，将点代入双曲线方程，结合，得到双曲线方程，与方程联立坐标，利用斜率计算公式从而求出 ，即可得出答案． 【解答】解：由题意设椭圆标准方程为，， 双曲线标准方程为，则， 由，， ，， 故椭圆方程为，联立，可得：， ，， 则，， 由对称性可知、两点关于原点对称，、两点关于轴对称， 则，，，， ，， 故，直线． 将点代入 中得，．① ，② ②①结合得到或， ，显然， 故， 故双曲线的方程为． 联立与， 化为， 设，，解得，， ，， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆锥曲线方程及性质、相交问题、斜率计算公式、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 二．多选题（共3小题） 9．（2023秋•盐城期中）双曲线的左、右焦点分别、，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为，，△的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则　　 A．到轴的距离为 B．点的轨迹是双曲线 C．若，则 D．若，则 【分析】作出基本图形，结合内切圆性质和切线长定理，双曲线第一定义可证，判断项；结合内切圆性质和垂线性质可判断为中点，△，连接，易得，由双曲线第一定义可证，判断项；由内切圆性质易得，判断项；由，易得△为直角三角形，结合双曲线第一定义，椭圆第一定义，勾股定理可判断项． 【解答】解：设圆与△三边，，的切点为，，， 则 ，即①， 又②， 联立①②式得，故，显然，横坐标相等，故到轴的距离为，选项正确； 过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，由内切圆及垂线性质可知， △，则为中点且，连接， 由中位线定理可知， 故点的轨迹在以为圆心，半径为的圆上，故项错误； 若，则等价于，即，故项正确； 若，设椭圆的长半轴为，由可知， △为直角三角形，， 由双曲线性质可知③，由椭圆性质可知④， 由勾股定理可得⑤，③④⑤式联立可解得， 即，故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题． 10．（2023秋•秦淮区校级月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若，则下面有关结论正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知求得，的值及，再根据余弦定理列方程得出，的关系，再计算离心率，然后结合选项得答案． 【解答】解：， 由双曲线定义可知：，得， 由，可得， 在△中，由余弦定理可得：， 即， 解得：或， 或． 或 又， 或 故选：． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题． 11．（2023秋•海陵区校级月考）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则　　 A．双曲线的实轴长为6 B．双曲线的离心率 C．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则 D．直线与交于、两点，点为弦的中点，若为坐标原点）的斜率为，则 【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断选项的正误；设点，，则，结合点到直线的距离公式可判断选项的正误；利用点差法可判断选项的正误． 【解答】解：由题意知的渐近线方程为，， ，则，双曲线的实轴长为，故错误； ，，故正确； 设，，则， 可得，故正确； 设，、，则， 两式作差得， ，故错误． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题． 三．填空题（共3小题） 12．（2023秋•连云区校级期中）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 　9　． 【分析】先运用椭圆与双曲线的基本量的关系，依据椭圆与双曲线的焦点相同得到，最后利用基本不等式中“1”的妙用，将化为积定的形式，运用基本不等式求出最小值． 【解答】解：先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆的焦点分别为点与点， 于是点与点也是双曲线的两个焦点， 因此，最后使用基本不等式中“1”的代换， 于是就有（当且仅当时取等号）， 因此的最小值为9． 故答案为：9． 【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题． 13．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 　　． 【分析】（法一）设，，，根据题意可得点的坐标，进一步得到，再由，可得．结合点在双曲线上，可得解； （法二）易知，设，，解三角形可知，进而得解． 【解答】解：（法一）如图，设，，， 设，则， 又，则，可得， 又，且， 则，化简得． 又点在上， 则，整理可得， 代，可得，即， 解得或（舍去）， 故． （法二）由，得， 设，由对称性可得， 则， 设，则， 所以，解得， 所以， 在△ 中，由余弦定理可得， 即，则． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 14．（2023秋•盐城期中）如图，过双曲线的左焦点，引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 　　． 【分析】利用中位线结合双曲线的性质，解得，解得，然后转化成，求得离心率． 【解答】解：设双曲线的右焦点，，连接，． 则△中，，， 则， 由直线与圆相切， 可得． 又双曲线中，， 则， 又， 则， 整理得， 两边平方整理得，所以， 则双曲线的离心率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了双曲线的离心率，考查计算能力，属于中档题． 四．解答题（共5小题） 15．（2023秋•钟楼区校级期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于，两点，求△的面积． 【分析】（1）设所求双曲线的方程为，代入点，计算可得所求方程； （2）求得两焦点的坐标，设出直线的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，三角形的面积公式，计算可得所求值． 【解答】解：（1）设所求双曲线的方程为， 代入点得， 即，所以双曲线方程为，即； （2），．直线的方程为． 设，，，，联立直线和双曲线方程， 得，满足△， ，， 由弦长公式得， 点到直线的距离， 所以． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查化简运算能力，属于基础题． 16．（2023秋•秦淮区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线的左顶点，过右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，若的面积为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，求的取值范围． 【分析】（1）由题意可得，，求得，由三角形的面积公式计算可得，可得双曲线的方程； （2）联立直线的方程和双曲线的方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得，的坐标，可得，计算可得所求范围． 【解答】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线， 可得，设双曲线的焦距为，， 故，即， 因为过右焦点，且垂直于轴， 将代入双曲线的方程可得，故， 又三角形的面积为，即， 解得， 故双曲线的方程为； （2）由题意可得直线与双曲线的左右两支交于，两点， 联立，可得， 所以，△，解得，且，， 则， 且，， 所以 ， 联立可得，同理可得， 所以， 所以，其中， 所以，． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 17．（2023秋•江都区校级月考）已知点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，为坐标原点）．若，求实数的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由已知，由的面积为，可求，进而可求双曲线的方程． （Ⅱ）设，，，，联立方程组求得，，进而求得，的面积分别为，，可得，换元法可求实数的取值范围． 【解答】解：点，分别为双曲线的左顶点和右焦点， 如图，，，由已知，， 则，解得， 所以双曲线的方程为； 解：设，，，， 则，消去得， 所以，则， 且， 所以， ， 设，，，，由，得，同理，， 所以， ， 所以，，，， 则， 令，则， 故的取值范围是． 【点评】本题考查求双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，属难题． 18．（2022秋•苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为2，且经过点，点，是双曲线右支上一动点，过三点，，的圆的圆心为，点，分别在轴的两侧． （1）求的标准方程； （2）求的取值范围； （3）证明：． 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得、的值，即可得解； （2）设，即可得到，整理得到，再根据、的位置关系求出的取值范围，最后根据在右支且、、三点不共线，即可得解； （3）表示出、，利用二倍角正切公式得到，再由平面几何的知识证明即可． 【解答】解（1）根据题意可得， 解得， 的标准方程为； （2），，圆心在直线上． 设，则， 即， 点，分别在轴的两侧，， ， 解得， 又点，是双曲线右支上一动点，且，，三点不共线， ； （3）证明：由题意知，与均为锐角， ， 又 ， ， 由平面几何知识易得，， ， ． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，不等式思想，倍角公式的应用，化归转化思想，属难题． 19．（2023秋•张家港市校级月考）若双曲线的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）设过焦点的直线与双曲线的右支相交于，两点（不重合）， 求直线的倾斜角的取值范围； 在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据已知条件求得，，，从而求得双曲线的方程． （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程并与双曲线方程联立，利用判别式、根与系数关系列不等式，从而求得直线的倾斜角的取值范围． 由进行化简，结合来求得点的坐标． 【解答】解：（1）依题意，解得， 所以双曲线的方程为． （2）当直线斜率存在时，设直线，，，，， 联立，整理得：， △， 由题得：， 解得或，此时，直线的倾斜角的范围为． 当直线斜率不存在时，直线的倾斜角为， 此时直线与双曲线的右支相交于两点． 综上可知，直线的倾斜角的范围为． 当直线斜率存在时，设直线和的斜率之积，， 由得：， 由，得： ， 上对于任意的都成立， 所以，解得：或， 即当坐标为时，；当坐标为时，． 当直线斜率不存在时，此时，． 当坐标为时，；当坐标为时，． 综上所述，存在点，使得直线和的斜率之积为常数． 【点评】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 双曲线（3种题型基础练+能力提升练） 一．双曲线的标准方程（共5小题） 1．（2023秋•高邮市月考）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•如皋市月考）“”是“方程表示双曲线”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023秋•启东市校级期中）与双曲线有公共渐近线，且焦距为8的双曲线方程为　　． 4．（2023秋•邗江区校级月考）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为　　． 5．（2023秋•启东市校级月考）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是　　． 二．双曲线的几何特征（共11小题） 6．（2023秋•射阳县校级期中）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•鼓楼区校级期中）若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•天宁区校级期中）双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为　　 A． B． C．2 D． 9．（2023秋•新吴区校级期中）已知方程表示双曲线，那么的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 10．（2022秋•新北区校级期末）双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为　　 A．22 B．2 C．2或22 D．24 11．（2023秋•睢宁县校级月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在左支上过的弦的长为5，若，那么的周长是　　 A．16 B．18 C．21 D．26 12．（2023秋•玄武区校级月考）已知双曲线的离心率为2，则　　 A． B．1 C． D．3 13．（2023秋•江苏月考）已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•宿迁月考）已知方程表示的曲线为．给出以下四个判断，其中正确的是　　 A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 15．（2023秋•建邺区校级月考）如图，已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•工业园区月考）与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是　　 A． B． C． D． 三．直线与双曲线的综合（共9小题） 17．（2023秋•沛县月考）已知，为曲线上的两点，线段的中点为，则直线的斜率为　　 A． B． C． D．3 18．（2023秋•海陵区校级期中）过原点的直线与双曲线交于，两点，点为双曲线上一点，若直线的斜率为2，则直线的斜率为　　 A．4 B．1 C． D． 19．（2023秋•张家港市校级月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，，，为双曲线上不同的三点，且，两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则　　 A． B．双曲线的离心率为 C．直线倾斜角的取值范围为 D．若，则三角形的面积为2 20．（2023秋•广陵区校级期中）已知双曲线：的一个焦点与抛物线的焦点重合． （1）求抛物线的方程； （2）若直线交抛物线于、两点，为原点，求证：以为直径的圆经过原点． 21．（2023秋•清江浦区月考）已知双曲线的实轴长为，左右焦点为、，直线经过点，且与双曲线交于、两点．当直线与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为，求△的面积． 22．（2023秋•盐城期中）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1． （1）求的方程； （2）是否存在直线，经过点且与双曲线于，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由． 23．（2023秋•高邮市月考）已知双曲线的方程为，离心率为2，左、右顶点分别为，． （1）求双曲线的方程； （2）已知点是直线上任意一点，若直线，分别与双曲线交于点，，求证：直线恒过定点． 24．（2023秋•邗江区校级月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，右焦点为；点在双曲线上，直线与双曲线交于，两点，且当直线的斜率为1时，． （1）求双曲线的方程； （2）若，求到直线的距离． 25．（2023秋•宝应县期中）若双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点． （1）求双曲线的方程； （2）经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求线段的长． 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•赣榆区校级月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若△为等边三角形，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•江苏月考）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为　　 A． B． C． D． 3．（2023•泗阳县校级开学）已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若△的面积为，则双曲线的实轴长为　　 A．2 B． C． D． 4．（2023秋•溧阳市期中）已知双曲线的中心为，离心率为，焦点为，，为上一点，，则　　 A． B．3 C．4 D．8 5．（2023秋•如皋市月考）直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，则直线的斜率为　　 A．3 B．6 C．8 D．12 6．（2023秋•海安市校级期中）点到双曲线的一条渐近线的距离为　　 A．4 B．3 C．5 D． 7．（2023秋•天宁区校级月考）已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是　　 A．， B．， C． D． 8．（2023春•广陵区校级期中）如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，、、、是它们的公共点，且都在圆上，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为　　 A．2 B． C． D．4 二．多选题（共3小题） 9．（2023秋•盐城期中）双曲线的左、右焦点分别、，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为，，△的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则　　 A．到轴的距离为 B．点的轨迹是双曲线 C．若，则 D．若，则 10．（2023秋•秦淮区校级月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若，则下面有关结论正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•海陵区校级月考）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则　　 A．双曲线的实轴长为6 B．双曲线的离心率 C．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则 D．直线与交于、两点，点为弦的中点，若为坐标原点）的斜率为，则 三．填空题（共3小题） 12．（2023秋•连云区校级期中）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 　　． 13．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 　　． 14．（2023秋•盐城期中）如图，过双曲线的左焦点，引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 　　． 四．解答题（共5小题） 15．（2023秋•钟楼区校级期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于，两点，求△的面积． 16．（2023秋•秦淮区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线的左顶点，过右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，若的面积为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，求的取值范围． 17．（2023秋•江都区校级月考）已知点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，为坐标原点）．若，求实数的取值范围． 18．（2022秋•苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为2，且经过点，点，是双曲线右支上一动点，过三点，，的圆的圆心为，点，分别在轴的两侧． （1）求的标准方程； （2）求的取值范围； （3）证明：． 19．（2023秋•张家港市校级月考）若双曲线的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）设过焦点的直线与双曲线的右支相交于，两点（不重合）， 求直线的倾斜角的取值范围； 在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$