第8章 专项1 功与功率-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理必修第二册学习手册（人教版2019）

学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 专项一 功 与 功 率 知 识 梳 理 知识点 1 变力做功的计算 1. 图像法： 根据 F-x 图像， 功的大小等于该 图线与 x 轴所围的面积。 对于线性变化的 图线， 可简化为用平均力求功 W=Fscos α= F 1 +F 2 2 scos α 计算。 如弹簧的弹力做功就 可以用此法计算。 2. 微元法： 若变力的大小不变而方向总跟速 度在一条直线上 （与 v 同向或反向）， 在 此变力作用下通过的位移就等于路程的大 小。 即 Ｗ=Ｆs 路程 ， 如很多情况下的滑动摩 擦力做功和空气阻力做功就可以用这种方 法计算。 尤其做曲线运动时用该法很简便。 3. 转换法： 通过转换研究对象， 将变力做功 转换为恒力做功。 4. 功率法： 已知变力做功的平均功率 P ， 则功 W=Pt 。 知识点 2 机车启动过程分析 1. 以恒定功率启动 （ P 不变） v-t 图像如图 所示， OA 段 v↑圯F= P v ↓圯a= F-f m ↓ ， 做加速度减小的加速直线运动。 AB 段： F=f ， a=0 ， 做匀速直线运动， 速度达到最 大 v m ， 则 P=fv m 。 2. 以恒定牵引力启动 （ F 不变） v-t 图像如 图所示， OA 段： F 不变， a 不变， P=Fv↑ ， 做匀加速直线运动， 维持时间 t 0 = v 1 a ， AB 段： P 增大到额定值 P 0 =Fv 1 ， P 0 不变 （同 上）， 做加速度减小的加速直线运动。 BC 段： F=f ， a=0 ， 做匀速直线运动， 速度达 到最大 v m ， 则 P 0 =fv m 。 要 点 突 破 要点 1 计算变力的功 对于变力做功一般不能依定义式 W= Fscos α 直接求解。 因此求力做功时首先要 分清是恒力还是变力， 若是变力， 则要看这 个力的具体变化情况是否适用图像法、 微元 法直接求解， 否则需要考虑转换研究对象， 或其他物理规律求解。 例 1 质量为 m 的物体放在粗 糙的水平面上， 现有一大小不 变， 方向时刻沿切线的拉力， 使物体沿半径为 R 的圆周从 A 点缓慢地运动一周， 如图所示， 物体与水 平面间的动摩擦因数为 μ ， 则拉力做功为 多少？ A B v t O v m C v 1 v m A B v t O t 1 t 0 例 1 题图 A R 思路点拨 因为物体沿圆周缓慢运动时的拉力等 于摩擦力， 摩擦力的方向又在不断改变， 所以是变力做功问题可由微元法求解。 74 学 第八章 机械能守恒定律 解析： 因为物体沿圆周缓慢运动时的拉力等 于摩擦力， 摩擦力的方向又在不断改变， 所 以不能直接套用公式， 而是将圆周分成 N 个 小段， 求出每一小段中拉力做的功即可得出 总功 。 由平衡状态可得拉力 F=μmg ， W 1 = μmgΔl 1 ， W 2 =μmgΔl 2 ， …， W N =μmgΔl N ， W= W 1 +W 2 + … +W N =μmg （ Δl 1 +Δl 2 + … +Δl N ） =μmg · 2πR=2μmgπR 。 答案： 2μmgπR 变式训练 1 如图所示， 某人用大小不变的力 F 拉着 放在光滑平面上的物体， 开始时与物体相连 的绳和水平面间的夹角是 α ， 当拉力 F 作用 一段时间后， 绳与水平面间的夹角为 β ， 已 知图中的高度是 h ， 求绳的拉力对物体所做 的功。 假定绳的质量、 滑轮质量及绳与滑轮 间的摩擦不计。 要点 2 机车启动问题 1. 明确启动条件是功率不变还是牵引力不变。 2. 明确物体的受力情况， 结合功率问题判断 物体的运动情况， 可结合 v-t 图像分析。 3. 正确应用物理量： 在 P=Fv 中， P 为发动 机功率， F 为机车牵引力， 而不是合力。 4. 注意临界状态。 速度达到最大 v m ， 牵引力等 于阻力， 则 P=fv m 。 匀加速的末状态 P=P m 。 5. P=Fv 中三个量的制约关系。 例 2 汽车发动机的额定功率为 60 kW ， 汽 车的质量为 5×10 3 kg ， 汽车在水平路面上行 驶时， 阻力是车重的 0.1 倍， g 取 10m/s 3 ， 求： （ 1 ） 若汽车保持额定功率不变从静止启动， 汽车所能达到的最大速度是多大？ 当汽 车的加速度为 2 m/s 2 时速度是多大？ （ 2 ） 若汽车从静止开始， 保持以 0.5 m/s 2 的 加速度做匀加速直线运动， 这一过程能 维持多长时间？ 解析 ： 汽车运动中所受阻力大小为 F f = 0.1mg 。 ① （ 1 ） 当 a=0 时速度最大， 牵引力最小， 等于 F f 大小。 则最大速度 v m = P F f 。 ② 联立 ①② 式， 解得 v m =12 m/s 。 设汽车加速度为 2 m/s 2 时牵引力为 F 1 ， 由牛 顿第二定律， 得 F 1 -F f =ma ， ③ 此时汽车速度 v 1 = P F １ 。 ④ α F 茁 h 定值 各量间的关系 应用 P 一定 F 与 v 成反比 汽车上坡时， 要增大牵引 力， 应换低速挡减小速度 v 一定 F 与 P 成正比 汽车上坡时， 要使速度不 变， 应加大油门， 增大输 出功率， 获得较大牵引力 F 一定 v 与 P 成正比 汽车在平直高速路上， 加 大油门增大输出功率， 可 以提高速度 思路点拨 明确启动条件是功率不变还是牵引 力不变。 明确物体的受力情况、 物体的 运动情况， 分析临界状态。 变式训练 1 题图 75 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 联立 ③④ 并代入数据， 得 v 1 =4 m/s 。 （ 2 ） 当汽车以 a′=0.5 m/s 2 匀加速时， 设牵引 力为 F 2 。 由牛顿第二定律， 得 F 2 -F f =ma′ 。 ⑤ 汽车匀加速过程所能达到的最大速度 v t = P F 2 。 ⑥ 联立 ①⑤⑥ 并代入数据， 解得 t= v t a′ =16 s 。 答案： （ 1 ） 12 m/s 4 m/s （ 2 ） 16 s 变式训练 2 一辆汽车在水平路面 上由静止启动 ， 在前 5 s 内做匀加速直线运动， 5 s 末达到额定功率， 之后保 持额定功率运动， 其 v－t 图像如图所示。 已 知汽车的质量为 m＝2×10 3 kg ， 汽车受到的阻 力为车重的 1 10 ， g 取 10 m/s 2 ， 则 （ ） A. 汽车在前 5 s 内受到的阻力为 200 N B. 前 5 s 内的牵引力为 6×10 3 N C. 汽车的额定功率为 40 kW D. 汽车的最大速度为 20 m/s 拓 展 创 新 全球最大回转自升塔式起重机的开发标 志着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖 进口的局面， 也意味着中国桥梁及铁路施工 装备进一步迈向世界前列。 该起重机某次从 t＝0 时刻由静止开始提升质量为 m 的物体， 其 a-t 图像如图所示， t 1 ～t 2 内起重机的功率 为额定功率， 不计其他阻力， 重力加速度为 g ， 则以下说法正确的是 （ ） A． 该起重机的额定功率为 ma 2 0 t 1 B． 该起重机的额定功率为 （ mg+ma 0 ） a 0 （ t 2 -t 1 ） C． 0～t 1 和 t 1 ～t 2 时间内牵引力做的功之比为 t 1 ∶ 2 （ t 2 -t 1 ） D． 0～t 1 和 t 1 ～t 2 时间内牵引力做的功之比为 t 1 ∶ 2t 2 解析： 0~t 1 时间内， 物体匀加速上升， t 1 时刻 达到额定功率， 由牛顿第二定律， 得 F-mg＝ ma 0 ， 解得该过程中物体所受牵引力大小为 F＝ m （ g+a 0 ）， t 1 时刻物体的速度大小为 v＝a 0 t 1 ， 则 该起重机的额定功率为 P＝Fv＝m （ g+a 0 ） a 0 t 1 ， 故 A 、 B 错误； 0~t 1 时间内牵引力做的功为 W 1 ＝ Fx＝m （ g+a 0 ） × 1 2 a 0 t 2 1 ， t 1 ~t 2 时间内牵引力做的功 为 W 2 ＝P （ t 2 -t 1 ） ＝m （ g+a 0 ） a 0 t 1 （ t 2 -t 1 ）， 则二者之比 为 W 1 W 2 = t 1 2 （ t 2 -t 1 ） ， 故 C 正确， D 错误。 答案： C 变式训练答案 1. Fh 1 sin α - 1 sin β ! " 2. B t/s v/ （ m · s -1 ） O v max 10 5 a/ （ m · s -2 ） t/s a 0 t 1 t 2 O 思路点拨 分析图像， 物体一开始匀加速上升， 后期达到额定功率后变为加速上升， 根 据 t 1 时刻求解额定功率， 根据功的定义 分析做功之比。 解答此题的关键是能够 根据图像获取相关的物理量， 并能够分 析出物体的运动状态， 然后结合牛顿第 二定律及功的定义求解。 变式训练 2 题图 76