第8章 4. 机械能守恒定律-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理必修第二册学习手册（人教版2019）

学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 知 识 梳 理 知识点 1 机械能守恒条件 1. 机械能： 动能 势能 重力势能 弹性势 势 能 能 $ $ $ $ # $ $ $ $ % 机械能 2. 机械能守恒条件 （ 1 ） 从做功来看： 只有重力做功或系统内弹 力做功。 （ 2 ） 从能量转化看： 系统内只有动能、 重力 势能和弹性势能的转化， 没有其他形式 的能转化。 注意： 只有重力做功和只有重力的区别。 知识点 2 机械能守恒定律 1. 推导。 动能定理： W=E k2 -E k1 ， 重力做功与重力势能变化关系 ： W G = E p1 -E p2 ， 只有重力做功时： W=W G ， 得 E k2 +E p2 =E k1 +E p1 。 2. 内容： 在只有重力和弹力做功的物体系统 内， 动能与势能可以相互转化， 而总的机 械能保持不变。 3. 表达式。 （ 1 ） 从守恒的角度： 系统的初、 末两状态机 械能相等， E k2 +E p2 =E k1 +E p1 。 （ 2 ） 从转化的角度： 系统动能的增加等于势 能的减少， ΔE k =-ΔE p 。 （ 3 ） 从转移的角度： 系统中物体 A 机械能的 增加等于物体 B 机械能的减少， ΔE A = -ΔE B 。 要 点 突 破 要点 1 判断机械能是否守恒 1. 从做功角度， 利用机械能守恒条件判断系 统机械能是否守恒。 2. 从能量的转移、 转化角度， 分析机械能 是否只在系统内各个物体间进行转移或 转化。 3. 注意机械能守恒和机械能不变的区别。 4. 注意机械能的系统性。 例 1 （多选） 下列关于机械能是否守恒的 叙述正确的是 （ ） A. 做匀速直线运动的物体的机械能一定 守恒 B. 做匀变速直线运动的物体的机械能可能 守恒 C. 合外力对物体做的功为 0 时， 机械能一定 守恒 D. 只有重力对物体做功， 物体的机械能一 定守恒 解析： 例如竖直向上匀速运动的物体， 机械 能不守恒， A 错误； 做匀变速直线运动的物 4. 机械能守恒定律 思路点拨 理解机械能守恒条件， 灵活分析机 械能是否守恒。 88 学 第八章 机械能守恒定律 体， 可能只受重力或只有重力做功 （如自由 落体运动）， 物体机械能可能守恒， B 正确； 合外力对物体做功为 0 时， 说明物体的动能 不变， 但势能有可能变化， C 错误； D 项中 的叙述符合机械能守恒的条件， D 正确。 答案： BD 变式训练 1 （多选 ） 如图所示 ， 将一个内外侧均光滑的半 圆形槽置于光滑的水平面 上， 槽的左侧有一固定的 竖直墙壁 （不与槽粘连）。 现让一小球自左 端槽口 A 点的正上方由静止开始下落， 从 A 点与半圆形槽相切进入槽内， 则下列说法正 确的是 （ ） A. 小球在半圆形槽内运动的全过程中， 只 有重力对它做功 B. 小球从 A 点向半圆形槽的最低点运动的 过程中， 小球的机械能守恒 C. 小球从 A 点经最低点向右侧最高点运动 的过程中， 小球与半圆形槽组成的系统机 械能守恒 D. 小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过 程中， 机械能守恒 要点 2 机械能守恒定律的基本应用 应用机械能守恒定律， 要处理好几个 问题： （ 1 ） 判断机械能是否守恒， 若不守恒可考虑 用动能定理求解。 动能定理是普遍规律。 （ 2 ） 若从守恒的角度列关系式， 要选取恰当 的参考面， 确定初、 末状态的机械能。 （ 3 ） 若从转化的角度列关系式， 要考虑动能 和势能的变化量， 与参考面无关。 例 2 如图所示， 光 滑轨道顶端高为 h ， 底端与半径为 R 的 光滑圆形轨道连接， 整个轨道和斜面都在竖直平面内。 一个小球 从顶端 A 处由静止释放， 通过圆轨道最高点 B 时， 对轨道压力的大小与重力相等， 则斜 面高 h 应该是 R 的多少倍？ 当小球恰好通过 圆轨道最高点 B 时， 由静止释放的高度为 多少？ 解析： 在 B 点， 由牛顿第二定律， 得 mg+N= mv 2 R ， 从 A 到 B 点， 由机械能守恒定律， 得 mg （ h-2R ） = 1 2 mv 2 ， 联立得 h=3R ； 恰好通过 圆轨道最高点 B 时， 轨道压力为 0 ， 则 mg= m v 2 B R ， 由机械能守恒定律 ， 得 mg （ h 1 -2R ） = 1 2 mv 2 B ， h 1 = 5 2 R 。 答案： 3 5 2 R 变式训练 2 如图所示， 粗细均匀、 两 端开口的 U 形管内装有同种液 体， 管中液柱总长度为 4h ， 开 例 2 题图 A B R h A 思路点拨 分析物体受力情况和运动情况， 注 意判断机械能是否守恒， 合理选择机械 能守恒的表达式， 体会机械能守恒和动 能定理的区别。 h 变式训练 2 题图 变式训练 1 题图 89 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 始时使两边液面高度差为 h ， 后来让液体自 由流动， 当两液面高度相等时， 右侧液面下 降的速度为 （ ） A. 1 8 gh 姨 B. 1 6 gh 姨 C. 1 4 gh 姨 D. 1 2 gh 姨 要点 3 连接体中机械能守恒定律的应用 1. 多个物体组成的系统， 就单个物体而言， 机械能一般不守恒， 但就系统而言机械能 往往是守恒的。 2. 关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体 间的速度关系和位移关系。 3. 机械能守恒定律表达式的选取技巧。 （ 1 ） 当研究对象为单个物体时， 可优先考虑 应用表达式 E k1 ＋E p1 ＝E k2 ＋E p2 或 ΔE k ＝－ΔE p 来求解。 （ 2 ） 当研究对象为两个物体组成的系统时： ① 若两个物体的重力势能都在减小 （或增 加）， 动能都在增加 （或减小）， 可优先考 虑应用表达式 ΔE k ＝－ΔE p 来求解。 ② 若 A 物体的机械能增加， B 物体的机械能 减少， 可优先考虑用表达式 ΔE A ＝－ΔE B 来 求解。 例 3 如图所示是一个横截 面为半圆 、 半径为 R 的光 滑柱面， 一根不可伸长的细 线两端分别系着物体 A 、 B ， 且 m A =2m B ， 由图示位置从静止开始释放 A 物体， 当物体 B 达到圆柱顶点时， 求绳的张 力对物体 B 所做的功。 解析： 本题要求出绳的张力对物体 B 做的 功， 关键求出物体 B 到达圆柱顶点的动能， 由于柱面是光滑的， 故系统的机械能守恒， 系统重力势能的减少量等于系统动能的增加 量， 系统重力势能的减少量为 ΔE p =m A g πR 2 - m B gR ， 系统动能的增加量为 ΔE k = 1 2 （ m A + m B ） v 2 ， 由 ΔE p =ΔE k ， 得 v 2 = 2 3 （ π-1 ） gR ， 根据 动能定理， 得绳的张力对 B 做的功 W= 1 2 m B v 2 + m B gR= π+2 3 m B gR 。 答案： π+2 3 m B gR 变式训练 3 如图所示， 质量都是 m 的物体 A 和 B ， 通过轻绳子跨过滑轮相连。 斜面光滑， 不计 绳子和滑轮之间的摩擦。 开始时 A 物体离地 的高度为 h ， B 物体位于斜面的底端， 用手 托住 A 物体， A 、 B 两物体均静止。 撤去手 后， 求： （ 1 ） A 物体将要落地时的速度多大？ （ 2 ） A 物体落地后， B 物体由于惯性将继续 例 3 题图 思路点拨 涉及圆周运动只考虑能量角度作答。 注意守恒条件判断， 体会细线做功的特 点， 体会机械能守恒的应用范围。 A B 兹 h 变式训练 3 题图 A B R 90 学 第八章 机械能守恒定律 沿斜面上升， 则 B 物体在斜面上的最远 点离地的高度多大？ 拓 展 创 新 （多选） 我国古代发明了很多种类的投 石机， 如图甲所示是一种配重式投石机模 型， 横梁可绕支架顶端转动， 横梁一端装有 重物， 另一端装有待发射的石弹， 发射前须 先将放置石弹的一端用力拉下， 放好石弹后 砍断绳索， 让重物这一端落下， 石弹也顺势 抛出。 现将其简化为图乙所示模型， 轻杆可 绕固定点 O 转动， 轻杆两端分别固定一小 球， 小球 A 模拟重物， 小球 B 模拟石弹。 现剪断细线， 轻杆逆时针转动， 轻杆由初始 位置转至竖直位置过程中， 不计空气阻力和 摩擦， 下列说法正确的是 （ ） A． 小球 B 机械能守恒 B． 小球 A 机械能的减少量等于小球 B 机械 能的增加量 C． 轻杆对小球 B 做正功 D． 轻杆对小球 B 不做功 解析： 轻杆由初始位置转至竖直位置过程 中， 小球 B 的速度增大， 同时位置升高， 可 知小球 B 的动能与重力势能都增大， 即小球 B 的机械能增大； 小球 B 上升的过程中只受 到重力与杆的作用力， 可知杆的作用力对小 球做正功， 故 A 、 D 错误， C 正确； 以小球 A 、 B 和轻杆组成的系统为研究对象， 系统 只受到重力与转轴的作用力， 其中转轴对系 统的作用力不做功， 所以系统的机械能守 恒， 由于轻杆的质量不计， 所以小球 A 机械 能的减少量等于小球 B 机械能的增加量， 故 B 正确。 答案： BC 变式训练答案 1. BC 2. A 3. （ 1 ） gh （ 1-sin 兹 ） 姨 （ 2 ） 1 2 h （ 1＋sin 兹 ） 重物 石弹 细线 O A B 乙甲 思路点拨 对小球与重物进行受力分析， 结合 受力的特点与做功的特点判断小球的机 械能是否守恒以及如何变化。 本题主要 考查机械能守恒， 解答的关键是合理选 择研究对象， 再结合机械能守恒的条件 判断。 91