第7章 3. 万有引力理论的成就-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理必修第二册学习手册（人教版2019）

学 第七章 万有引力与宇宙航行 3. 万有引力理论的成就 知 识 梳 理 知识点 1 “称量” 地球的质量 1. “称量” 地球的质量： 地表物体的重力近 似等于引力， 即 mg=G mm 地 R 2 ， m 地 = gR 2 G ， 当 G 、 m 地 、 R 已知时就可以 “称量 （算 出）” 地球质量。 2. 估算地球的密度： 籽= m 地 V = m 地 4 3 πR 3 ， m 地 = gR 2 G ， 籽= 3g 4πGR 。 知识点 2 计算天体的质量 计算中心天体质量。 （ 1 ） 计算太阳质量 ： 地球绕太阳公转时 ， G mm 太 r 2 =m 4π 2 T 2 r ， 可得 m 太 = 4π 2 r 3 GT 2 ， 式中 r 为日地间距离， T 为地球公转周期。 （ 2 ） 计算地球质量 ： 月球绕地球公转时 ， G mm 地 r 2 =m 4π 2 T 2 r ， 可得 m 地 = 4π 2 r 3 GT 2 ， 式中 r 为月地间距离， T 为月球公转周期。 （ 3 ） 计算地球密度： 由 （ ２ ） 可知 m 地 = 4π 2 r 3 GT 2 ， 地球密度为 籽= m 地 V = 4π 2 r 3 GT 2 4 3 πR 3 = 3πr 3 GT 2 R 3 ， 式 中 R 为地球半径。 注意： ①m= 4π 2 r 3 GT 2 、 籽= 3πr 3 GT 2 R 3 不仅适用于地 球、 太阳， 也适用于其他天体。 ② 若为近地卫星， 即 r=R ， 则 籽= 3π GT 2 。 知识点 3 发现未知天体及预言哈雷彗 星的回归 1. 海王星的发现： 人们在长期的观察中发现 天王星的实际轨道与应用万有引力定律计 算出的轨道存在一定的偏差。 所以怀疑天 王星外侧还有一颗没有被发现的星球。 英 国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天 文学家勒维耶各自独立地利用天王星的观 测资料， 利用万有引力定律计算出这颗 “新” 行星的轨道。 1846 年 9 月 23 日晚， 德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现 了这颗行星——海王星 。 海王星被称为 “笔尖下发现的行星”。 2. 哈雷彗星的回归： 英国天文学家哈雷在 1695 年， 从 1337 — 1698 年的彗星记录中 挑选了 24 颗彗星， 依据万有引力定律， 用一年时间计算了它们的轨道 。 发现 1531 年、 1607 年和 1682 年出现的这三颗 彗星轨道可能是同一颗彗星的三次回归的 轨道。 他大胆地预言， 1682 年出现的那 颗彗星， 将于 1758 年底或 1759 年初再次 回归 。 1759 年 3 月 14 日哈雷彗星通过 近日点 ， 它的下一次回归将在 2061 年 左右。 49 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 要 点 突 破 要点 1 解决天体问题的两大思路 1. 动力学思路： 环绕中心天体做圆周运动的 行星或卫星， 万有引力提供向心力， 由牛 顿第二定律知： G m 中 m r 2 =ma=m v 2 r =m棕 2 r= m 4π 2 T 2 r ， a =G m 中 m r 2 ， v = Gm 中 r 姨 ， 棕 = Gm 中 r 3 姨 ， T=2π r 3 Gm 中 姨 。 可以看出： ① 向心加速度、 线速度、 角 速度、 周期均只与中心天体的质量和轨道半 径有关； ② 对于环绕同一中心天体的行星或 卫星而言， 公转轨道半径越大， 转得越慢， 具体表现为向心加速度小、 线速度小、 加速 度小、 周期大。 2. 黄金代换式： 天体表面的物体， 重力近似 等于引力， 即 Gm 中 m R 2 =mg ， 整理得 Gm 中 = gR 2 ， 它 把 天 体 m 中 、 g 、 R 三 者 联 系 起来。 例 1 嫦娥二号是我国月球探测第二期工程 的先导星。 若测得嫦娥二号在月球 （可视 为密度均匀的球体） 表面附近圆形轨道运 行的周期 T ， 已知引力常数 G ， 半径为 R 的 球体体积公式 V= 4 3 πR 3 ， 则可估算月球 的 （ ） A. 密度 B. 质量 C. 半径 D. 自转周期 解析： 由引力提供向心力有 G m 月 m R 2 =m 2π T T # 2 R ， 得月球质量 m 月 = 4π 2 R 3 GT 2 ， 又 籽= m 月 V ， V= 4 3 πR 3 ， 得月球密度 籽= 3π GT 2 。 已知周期 T 和 引力常量 G ， A 正确， B 、 C 、 D 错误。 答案： A 变式训练 1 （ 1 ） 开普勒行星运动第三定律指出： 行星绕 太阳运动的椭圆轨道的半长轴 a 的三次方 与它的公转周期 T 的二次方成正比， 即 a 3 T 2 =k ， k 是一个对所有行星都相同的常量。 将行星绕太阳的运动按圆周运动处理， 请 你推导出太阳系中该常量 k 的表达式。 已 知引力常量为 G ， 太阳的质量为 M 太 。 （ 2 ） 开普勒定律不仅适用于太阳系， 它对一 切具有中心天体的引力系统 （如地月系 统） 都成立。 经测定月地距离为 3.84× 10 8 m ， 月球绕地球运动的周期为 2.36× 10 6 s ， 试计算地球的质量 M 地 。 （ G=6.67 × 10 -11 N · m 2 /kg 2 ， 结果保留一位有效数字） 本题是典型的中心天体模型， 飞行 器绕月球飞行， 引力提供飞行器所需要 的向心力， 由万有引力定律、 牛顿第二 定律、 圆周运动知识， 再利用 “近月 ” 时的条件就可以得到需要研究的物理量 了。 思路点拨 本题是典型的中心天体模型， 飞行器 绕月球飞行， 引力提供飞行器所需要的向 心力， 由万有引力定律、 牛顿第二定律、 圆周运动知识， 再利用 “近月” 时的条件 就可以得到需要研究的物理量了。 50 学 第七章 万有引力与宇宙航行 要点 2 双星系统 1. 双星： 两颗相距较近的恒星， 只在彼此万 有引力作用下， 分别沿各自不同的轨道做 匀速圆周运动。 2. 特点。 （ 1 ） 向心力的来源： 向心力由两星间的引力 提供。 （ 2 ） 运动学的特点： 由于稳定存在， 两星的 运动周期和角速度是相等的， 线速度与 各自的轨道半径成正比。 （ 3 ） 动力学的关系： 双星相 距 L ， 质量分别为 m 1 和 m 2 ， 线速度分别为 v 1 和 v 2 ， 轨道半径分别 为 r 1 和 r 2 ， 共同运转的周期为 T 、 角速 度为 ω ， 如图所示， 对 m 1 星： 由万有 引力定律和牛顿第二定律可知： G m 1 m 2 L 2 ＝m 1 ω 2 r 1 ① 对 m 2 星： G m 1 m 2 L 2 ＝m 1 ω 2 r 2 ② 且 r 1 +r 2 =L ③ 在求解双星问题时， 要注意双星各自的 轨道半径 ， 切勿与两星之间的距离 L 相 混淆。 （ 4 ） 几个基本结论。 ① 轨道半径 ： 联立 ①②③ 式 ， 可得 r 1 = m 2 m 1 +m 2 L ， r 2 = m 1 m 1 +m 2 L ， 说明双星中心 O 点 恰好是两星的总质心， 质量大的星体轨道 半径小， 称为主星， 质量小的星体轨道半 径大， 称为伴星。 ② 周期 ： T= 2π ω 与 ①②③ 式联立可得 T＝ 2πL L G （ m 1 +m 2 ） 姨 。 可以由双星间距离 L 和双星周期 T 求解双星的总质量： m 1 +m 2 = 4π 2 L 3 GT 2 ； 当 m 1 与 m 2 相差较大， 当 m 1 垌m 2 时， T＝2πL L Gm 1 姨 ， r 1 ≈0 ， r 2 ≈L ， 双星模 型转化为中心天体模型， 即中心天体模型 是双星模型在两星质量相差较大时的简化 情况。 例 2 （多选） 经过长期的观测， 人们在宇 宙中发现了 “双星系统”。 “双星系统” 由 两颗相距较近的恒星组成， 每颗恒星的半径 远小于两颗恒星间的距离， 而且 “双星系 统” 一般远离其他天体。 两颗星球 m 1 、 m 2 组成双星， 在它们相互之间的万有引力作用 下， 围绕连线上的某一定点做匀速圆周运 动， 现测得两颗星球之间的距离为 L ， 质量 之比为 m 1 ∶ m 2 =5 ∶ 2 ， 则可知 （ ） A. m 1 、 m 2 的角速度之比为 1 ∶ 1 B. m 1 、 m 2 的线速度之比为 5 ∶ 2 C. m 1 的轨道半径为 5 7 L D. m 2 的轨道半径为 5 7 L 解析： m 1 、 m 2 角速度相同， A 正确； Gm 1 m 2 L 2 =m 1 ω 2 r 1 =m 2 ω 2 r 2 ， v=ωr ， 故 v 1 v 2 = r 1 r 2 = m 2 m 1 = 2 5 ， B r 1 O r 2 m 1 m 2 思路点拨 本题利用双星系统的特点， 借助万 有引力定律、 牛顿第二定律、 圆周运动 知识求解。 51 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 错误； 由 L=r 1 +r 2 ， 可得 r 1 = m 2 m 1 +m 2 L= 2 7 L ， r 2 = m 1 m 1 +m 2 L= 5 7 L ， C 错误， D 正确。 答案： AD 变式训练 2 （多选） 在宇宙中有相距较近、 质量可 以相比的两颗星球， 若距离其他星球较远， 可忽略其他星球对它们的万有引力， 这两颗 星球称为双星系统。 双星系统在它们相互之 间的万有引力作用下， 围绕连线上的某一固 定点做匀速圆周运动。 关于质量分别为 M 和 m 的两颗星球组成的双星系统， 下列说 法正确的是 （ ） A. 它们的线速度与质量成反比 B. 它们的线速度与轨道半径成反比 C. 它们的向心加速度与质量成反比 D. 质量大的星球的向心力较大 要点 3 三星系统 宇宙中存在一些离其他恒星较远 （可忽 略其他星体对它们的引力作用） 的三颗星组 成的三星系统， 三星系统中各星体的公转周 期相同。 主要有两种基本的构成形式： 一种 是三颗星位于同一直线上， 两颗星围绕中央 星在同一半径为 R 的圆轨道上运动； 另一种 是三颗星位于等边三角形的三个顶点上， 并 沿圆轨道运动， 如图所示。 （ 1 ） 第一种形式中： 对 A 星： B 、 C 对 A 的 万有引力提供 A 做圆周运动的向心力， 则有 Gm 2 R 2 1 + Gm 2 （ 2R 1 ） 2 =m 4π 2 T 2 R 1 。 （ 2 ） 第二种形式中： 对 A 星： B 、 C 对 A 的 引力提供 A 做圆周运动的向心力， 则有 2 Gm 2 r 2 cos 30°=m 4π 2 T 2 R 2 ， 式中 r=2R 2 cos 30° 。 例 3 天文学观测中观测到有三颗星位于边 长为 l 的等边三角形的三个顶点上， 并沿等 边三角形的外接圆做周期为 T 的匀速圆周运 动。 已知引力常量为 G ， 不计其他星体对它 们的影响， 关于这个三星系统， 下列说法正 确的是 （ ） A. 它们之间的引力为 16π 4 l 4 9GT 4 B. 某颗星的质量为 3GT 2 4π 2 l 3 C. 它们的质量可能不相等 D. 它们的线速度均为 2 3 姨 πl T 解析： 由几何关系知 r= 3 姨 3 l ， 任意两颗星 对第三颗星的引力的合力指向圆心， 由对称 性知三颗星的质量一定相等， 设每颗星的质 量为 m ， 2Gm 2 l 2 cos 30°=m 4π 2 T 2 r ， 得 m= 4π 2 l 3 3GT 2 ， 它们之间的引力为 F= Gm 2 l 2 = 16π 4 l 4 9GT 4 ， 故 A 正 确， B 、 C 错误， 由 v= 2πr T = 2 3 姨 πl 3T ， 故 D 错误。 答案： A A B C R 1 A B C R 2 r O 思路点拨 三颗星的角速度、 周期均相同。 例 3 题图 52 学 第七章 万有引力与宇宙航行 变式训练 3 （多选） 宇宙中存在一些离其他恒星较 远的三星系统， 通常可忽略其他星体对它们 的引力作用， 三星质量也相同， 现已观测到 稳定的三星系统存在两种基本的构成形式： 一种是三颗星位于同一直线上， 两颗星围绕 中央星做圆周运动， 如图甲所示； 另一种是 三颗星位于等边三角形的三个顶点上， 并沿 外接于等边三角形的圆形轨道运行， 如图乙 所示。 设这三个星体的质量均为 m ， 且两种 系统中各星间的距离已在图甲、 乙中标出， 引力常量为 G ， 则下列说法中正确的是 （ ） A. 直线三星系统中星体做圆周运动的线速 度大小为 Gm L 姨 B. 直线三星系统中星体做圆周运动的周期 为 4π L 3 5Gm 姨 C. 三角形三星系统中每颗星做圆周运动的 角速度为 2 3Gm L 3 姨 D. 三角形三星系统中每颗星做圆周运动的 加速度大小为 3 姨 Gm L 2 拓 展 创 新 2019 年 1 月 3 日， 嫦娥四号探测器成功 着陆月球背面 （如图 1 ）， 并通过鹊桥中继 卫星传回世界上第一张近距离拍摄月球背面 的图片。 此次任务实现了人类探测器首次在 月球背面软着陆、 首次在月球背面通过中继 卫星与地球通信， 因而开启了人类探索月球 的新篇章。 探测器在月球背面着陆的难度要比月球 正面大得多， 其主要原因在于月球的阻挡， 探测器将无法实现地球和月球间的实时通 信。 2018 年 5 月， 我国发射了一颗名为 “鹊 桥” 的中继卫星， 在地球和月球背面的探测 器间搭了一个 “桥”， 从而有效地解决了通 信问题。 为了实现通信和节约能量， “鹊 桥” 的理想位置， 就是围绕 “地—月” 系统 的一个拉格朗日点运动， 如图 2 所示。 所谓 的 “地—月” 系统的拉格朗日点是指空间中 的某一点， 在该点放置一个质量很小的天 体， 该天体仅在地球和月球的万有引力作用 下， 保持与地球和月球的相对位置不变。 （ 1 ） 设地球质量为 m 地 ， 月球质量为 m 。 地球 中心和月球中心间距离为 r 。 月球绕地 心运动， 图 2 中所示的拉格朗日点到月 球球心的距离为 r 。 推导并写出 r 与 m L m L m L m L m m L 乙甲 变式训练 3 题图 图 1 图 2 图 3 月球 地球 探测器 鹊桥 拉格朗日点 太阳 地球 53 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） m 地 、 m 和 L 之间的关系式。 （ 2 ） 地球和太阳组成的 “日—地” 系统同样 存在拉格朗日点， 图 3 是 “日—地” 系 统示意图， 请在图中太阳和地球所在的 直线上， 用符号 “ * ” 标记出几个可能 出现的拉格朗日点的大概位置。 解析： （ 1 ） 设在图 2 中拉格朗日点有一质 量为 m′ 的物体 （ m′垲m ）， 月球对其的万有 引力与地球对其的万有引力的合力， 提供其 绕地球做圆周运动的向心力， 由牛顿第二定 律可知 Gmm′ r 2 + Gm 地 m′ （ L+r ） 2 =m′棕 2 （ L+r ）， 月球： 绕地球做圆周运动时， 它们之间的引 力远大于物体对月球的引力， 同理 Gm 地 m L 2 =m棕 2 L ， 联立解得 m r 2 + m 地 （ L+r ） 2 = m 地 （ L+r ） L 3 。 （ 2 ） 对于 “日—地” 系统， 在太阳与地球连 线上共有 3 个拉格朗日点 （ L 1 、 L 2 、 L 3 ）， 其 大概位置如图 5 所示。 答案 ： （ 1 ） m r 2 + m 地 （ L+r ） 2 = m 地 （ L+r ） L 3 （ 2 ） 见解析 变式训练答案 1. （ 1 ） G 4π 2 M 太 （ 2 ） 6×10 24 kg 2. AC 3. BD 思路点拨 拉格朗日点 （ Lagrangian point ） 又 称平动点。 一个小物体在两个大物体的 引力作用下处于空间中的一点， 在该点 处， 小物体相对于两大物体基本保持静 止。 如图 4 ， 这些点的存在由瑞士数学家 欧拉于 1767 年推算出前三个， 法国数学 家拉格朗日于 1772 年推导证明剩下两 个。 1906 年首次发现在木星和太阳的作 用下， 运动于木星轨道上的小行星 （特 洛依群小行星） 处于拉格朗日点上。 L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 M 2 π 3 M 1 R 图 4 图 5 太阳 地球 L 1 L 2 L 3 鄢鄢鄢 54