第6章 3. 向心加速度-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理必修第二册学习手册（人教版2019）

学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 3. 向心加速度 知 识 梳 理 知识点 1 向心加速度 1. 定义： 物体做匀速圆周运动时的加速度总 指向圆心， 这个加速度叫作向心加速度。 2. 方向： 总是沿着圆周运动的半径指向圆心。 3. 大小： 根据牛顿第二定律， 有 a n = F n m ； 由 向心力的表达式， 可得 （ 1 ） 基本公式： ①a n ＝ v 2 r ； ②a n ＝ω 2 r 。 （ 2 ） 拓展公式： ①a n ＝ 2π T ! " 2 r ； ②a n ＝ （ 2πf ） 2 r＝ （ 2πn ） 2 r ； ③a n ＝ωv 。 4. 效果： 只改变线速度的方向， 不改变线速 度的大小。 知识点 2 对匀速圆周运动的深度理解 1. 匀速圆周运动的特征。 （ 1 ） 匀速圆周运动是最简单的圆周运动， 其 角速度、 周期、 转速保持不变。 （ 2 ） 线速度仅大小不变， 而方向时刻改变， 是变速运动。 （ 3 ） 向心加速度仅大小恒定而方向时刻改 变， 是非匀变速曲线运动。 （ 4 ） 匀速圆周运动具有周期性， 即每经过一 个周期运动物体都要重新回到原来的位 置， 其状态 （如 v 、 a ） 也要重复原来的 情况。 （ 5 ） 匀速圆周运动的物体所受外力的合力大 小恒定， 方向总是沿半径指向圆心， 时 刻改变。 2. 从向心加速度的方向看圆周运动的性质。 因向心加速度的方向时刻变化， 故圆周 运动一定是变加速曲线运动。 3. 物体做匀速圆周运动的条件。 物体所受合外力的大小不变， 方向始终 与速度方向垂直且指向圆心。 匀速圆周运动 是速度的方向变化而速度大小不变的运动， 只存在向心加速度， 因此向心力就是做匀速 圆周运动的物体所受的合外力。 要 点 突 破 要点 1 理解向心加速度的几点误区 误区 1 ： 认为匀速圆周运动的向心加速度恒 定不变， 所以是匀变速运动。 正解： 实际上， 合力方向时刻指向圆心， 加 速度是时刻变化的。 误区 2 ： 认为圆周运动的加速度一定指向 圆心。 正解： 只有做匀速圆周运动的物体其加速度 才指向圆心， 做变速圆周运动的物体除具有 向心加速度外， 还存在一个切向加速度， 所 以加速度不指向圆心。 误区 3 ： 根据公式 a n ＝ v 2 r ， 误认为 a n 与 v 2 成 正比， 与 r 成反比； 或根据公式 a n ＝ω 2 r ， 误 认为 a n 与 ω 2 成正比， 与 r 成正比。 正解： 只有在 r 、 v 或 ω 其中一个量确定的 28 学 第六章 圆 周 运 动 情况下， 才能判断其余两个量间的关系， 即： （ 1 ） 当半径一定时， 向心加速度的大小与角 速度的平方成正比， 也与线速度的平方 成正比， 随转速的增大或周期的减小而 增大。 （ 2 ） 当角速度一定时， 向心加速度的大小与 运动半径成正比。 （ 3 ） 当线速度一定时， 向心加速度的大小与 运动半径成反比。 例 1 （多选） 关于向心加速度， 下列说法 正确的是 （ ） A. 向心加速度的方向始终与速度方向垂直 B. 向心加速度的方向保持不变 C. 物体做圆周运动时的加速度方向始终指 向圆心 D. 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始 终指向圆心 解析： 向心加速度的方向沿半径指向圆心， 速度方向则沿圆周的切线方向， 所以， 向心 加速度的方向始终与速度方向垂直， 且方向 在不断改变， A 正确， B 错误； 物体做匀速 圆周运动时， 只具有向心加速度， 加速度方 向始终指向圆心； 非匀速圆周运动的向心加 速度与切向加速度的合加速度的方向不是始 终指向圆心， C 错误， D 正确。 答案： AD 变式训练 1 关于向心加速度， 下列说法正确的是 （ ） A. 向心加速度是描述线速度变化的物理量 B. 向心加速度既改变线速度的方向， 又改 变线速度的大小 C. 向心加速度大小恒定， 方向时刻改变 D. 物体做非匀速圆周运动时， 向心加速度 的大小也可用 a n ＝ v 2 r 来计算 要点 2 向心加速度表达式 向心加速度的方向及表达式， 除了根据 牛顿第二定律， 由向心力表达式推导之外， 仅从运动学角度， 推导如下： 如图所示 ， 设物体 从 A 点经时间 Δt 沿圆周 匀速率运动到 B 点 ， 转 过的角度为 Δθ ， 因为 v A 与 OA 垂直， v B 与 OB 垂直， 且 v A ＝v B ， OA＝ OB ， 所以 △OAB 与 v A 、 v B 、 Δv 组成的矢量三 角形相似。 用 v 表示 v A 和 v B 的大小， 用 Δl 表示弦 AB 的长度， 则有 Δv v ＝ Δl r 或 Δv＝Δl · v r ， 用 Δt 除上式得 Δv Δt ＝ Δl Δt · v r ＝a n 。 当 Δt 趋近于 0 时， Δθ 也趋近于 0 ， B 点接近 A 点， Δv 的 方向趋近于与 v A 垂直而指向圆心， 即向心 加速度 a n 的方向沿半径指向圆心。 Δv Δt 表示 向心加速度 a n 的大小， 此时弧 AB 对应的圆 心角 Δθ 很小， 弧长和弦长近似相等， 所以 必须明确匀速圆周运动与非匀速圆 周运动的区别， 只有匀速圆周运动的加 速度方向才指向圆心。 思路点拨 A B O Δθ v A v A Δθ Δv v B r 29 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） Δl＝rΔθ ， 代入上式可得 a n ＝ Δv Δt ＝ rΔθ Δt · v r ＝ ω 2 r ， 又由 v＝ωr 可得 a n ＝ v 2 r 。 例 2 一般的曲线 运动可以分成很多 小段， 每小段都可 以看成圆周运动的 一部分， 即把整条 曲线用一系列不同 半径的小圆弧来代 替 。 如图 （ a ） 所 示， 曲线上的 A 点的曲率圆定义： 通过 A 点和曲线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆， 在 极限情况下， 这个圆就叫作 A 点的曲率圆， 其半径 ρ 叫作 A 点的曲率半径。 现将一物体 沿与水平面成 α 角的方向以速度 v 0 抛出 ， 如图 （ b ） 所示。 则在其轨迹最高点 P 处的 曲率半径是 （ ） A. v 2 0 g B. v 2 0 sin 2 α g C. v 2 0 cos 2 α g D. v 2 0 cos 2 α gsin α 解析： 斜抛出去的物体到达最高点 P 的速度 沿水平方向， 大小为 v 0 cos α ， 加速度为 a= g ， 由向心加速度公式 a= v 2 ρ ， 解得轨迹最高 点 P 处的曲率半径是 ρ= v 2 0 cos 2 α g ， C 正确。 答案： C 变式训练 2 关于质点的匀速圆周运动， 下列说法正 确的是 （ ） A. 由 a n ＝ v 2 r 可知， a n 与 r 成反比 B. 由 a n ＝ω 2 r 可知， a n 与 r 成正比 C. 由 v＝ωr 可知， ω 与 r 成反比 D. 由 ω=2πf 可知， ω 与 f 成正比 拓 展 创 新 宇宙航行与 “人工重力” 人工重力 （又称人造重力）， 是指在太 空或自由落体的环境下对地表重力效果的 模拟。 人工重力可以防止人类因长期处于失重 环境中引起的健康问题。 人在失重状态下有 很多害处， 在未来动辄几年甚至几十年的太 空探索中是不可能让人一直处在失重状态下 的， 对长期载人太空活动尤其重要。 在未来 的宇宙探索中， 应用人工重力系统是势在必 行的。 产生人工重力的常用方法是通过航天器 （宇宙飞船或空间站） 整体或局部的旋转， 使得航天器中的宇航员感受到压力， 从而模 拟重力的效果。 但当前的人工重力技术尚未 达到实际应用的水平， 只是在很多科幻作品 里有大概的描述。 例如， 靠旋转在环形结构的内表面产生 标准重力的效果， 由向心加速度公式： a n ＝ 2π T ! " 2 r ， 且 a n ＝g ， 若航天器 （宇宙飞船或 （ a ） （ b ） 例 2 题图 A ρ α P v 0 ρ 此题为抛体运动和向心加速度相结 合的题目， 注重曲线运动的研究方法 。 体会物体运动到最高点 P 时的速度及受 力特点， 结合题给数据， 代入求解。 思路点拨 30 学 第六章 圆 周 运 动 空间站） 每分钟旋转 4 圈， 则内径达 112 m ， 若每分钟只需旋转 2 圈 ， 则内径要达到 448 m 。 而建造如此庞大的航天器， 对技术 以及预算的要求非常高。 若小型航天器或航天器的部分舱段自 旋， 由于宇航员身体各部分所对应的转动半 径不同， 还会造成头和脚受力不一致， 从而 带来其他不适问题。 另外， 有些科研试验活 动恰恰需在零重力环境下来完成， 这些都是 人工重力系统所需要面对的问题。 变式训练答案 1. D 2. D 31