精品解析：广东省汕头市潮阳启声学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

潮阳启声学校2024—2025学年度第一学期第一次月考 高二年级数学科试题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A B. C. D. 3. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. 9 D. 18 4. 长方体中，化简（ ） A. B. C. D. 5. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 6. 已知点，，都在平面内，则平面一个法向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 若是空间一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. 直线与底面所成角为 B. 平面与底面夹角的余弦值为 C. 直线与直线的距离为 D. 直线与平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数则______． 13. 已知，，，若向量与垂直（O为坐标原点），则x等于______． 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，在长方体中，，分别是的中点，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出四点的坐标； （2）求． 16. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知. （1）求A； （2）若，求的面积. 18. 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点． （1）求直线AD与平面ACM所成角的余弦值； （2）求平面ACD和平面ACM的夹角的余弦值； （3）求点P到平面ACM的距离． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点为棱的中点，． （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离． （3）在棱上是否存在点，使得二面角余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 潮阳启声学校2024—2025学年度第一学期第一次月考 高二年级数学科试题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据模的定义，以及平行六面体的性质，即可求解. 【详解】由向量的模的定义，根据平行六面体的性质可知，与向量模相等的向量分别为： ，共7个. 故选：C． 2. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 3. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. 9 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量平行得到方程组，求出的值，得到答案. 【详解】依题意，由可知，，使得， 于是，解得，于是． 故选：A 4. 长方体中，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】如图：， 故选：C 5. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 6. 已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案. 【详解】由，，，得，， 设是平面的一个法向量，则即, 取，则，故，则与共线的向量也是法向量， 经验证，只有C正确.. 故选：C． 7. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，当时，由，得，B不是； 对于C，，可能有，如，C不是； 对于D，由，得，则；若，则，D是. 故选：D 8. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角的正切值为斜率，结合正切函数的图像即可求出倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，其中，可得， 因为，即， 结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角． 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，显然三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 10. 对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】方法一：根据向量共面定理可得存在唯一一组数，使得，可得，根据选项依次列方程组求解可判断. 方法二：根据共面定理的推论可得. 【详解】方法一：若，，，四点共面，则存在唯一一组数，使得， 则， 整理可得， 对A，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故A错误； 对B，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故B正确； 对C，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故C正确； 对D，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故D错误. 故选：BC. 方法二：根据共面定理的推论可得，若，，，四点共面， 则对于空间中任意一点，有，且满足， 则由选项可得只有BC满足. 故选：BC. 11. 如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. 直线与底面所成的角为 B. 平面与底面夹角的余弦值为 C. 直线与直线的距离为 D. 直线与平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，，，， A选项：，平面的法向量， 设直线与底面所成的角为， 则， 直线与底面所成角不为，故A错误； B选项：，， 设平面的法向量，则，令，则 设平面与底面的夹角为， 则， 平面与底面夹角的余弦值为，故B正确； C选项，， 直线与直线的距离为：，故C正确； D选项，，平面，平面， 又，平面的法向量， 直线与平面的距离为：，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据自变量确定代入哪段，结合对数性质计算即可. 【详解】因为，，所以． 故答案为：1 13. 已知，，，若向量与垂直（O为坐标原点），则x等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解. 【详解】， ， 向量与垂直， ， ． 故答案为：． 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】表达出，平方后求出，求出；求出，利用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值. 详解】连接， ， 故； ， 故 ， 故， 则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为：； 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，在长方体中，，分别是的中点，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出四点的坐标； （2）求． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段长度、中点坐标公式可求得点对应的坐标； （2）利用向量夹角的坐标运算可直接求得结果. 【小问1详解】 ，， 则，，，， ，为中点，. 【小问2详解】 由（1）得：，， . 16. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由线面平行的判定定理可得平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，再结合即可证明； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 连接，在中，因为分别为，的中点，所以， 因为直三棱柱中，为侧棱，所以平面， 因为平面，所以，又为直角，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以. 【小问2详解】 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因此，， 设平面的法向量为，则， 令，则，于是， 设直线与平面所成角为， 所以. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知. （1）求A； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简，结合正弦和角公式，诱导公式得到，由正弦定理得到，求出A； （2）利用余弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案. 【小问1详解】 ， 故， 即， 由于， 故， 由正弦定理得， 因为，所以，故， 即， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 又，，故，解得， 则. 18. 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点． （1）求直线AD与平面ACM所成角的余弦值； （2）求平面ACD和平面ACM的夹角的余弦值； （3）求点P到平面ACM的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出直线与平面的夹角的正弦值，再转化为余弦值. （2）利用向量法计算出平面和平面的夹角的余弦值. （3）利用向量法计算出到平面的距离. 【小问1详解】 因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． ， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面的夹角为， 则，. 【小问2详解】 平面的法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则. 【小问3详解】 设点P到平面ACM的距离为d，到平面的距离为 所以点P到平面ACM的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点为棱中点，． （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离． （3）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABEG为平行四边形，从而证明，线面平行； （2）通过证明，即可求解. （3）建立空间直角坐标系，设，利用二面角大小列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 在上找中点，连接，，如图： ∵和分别为和的中点， ∴，且， 又∵底面是直角梯形，，， ∴且．即四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 因为，，所以 因为底面ABCD，所以,又为面内两条相交直线， 所以面，在面内，所以, 因为为中点，所以点到直线的距离为, 因为，所以， 所以到直线的距离为. 【小问3详解】 因为平面，平面， 所以，又， 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱上一点，设， ， 设平面的法向量为， 由可得，解得：， 令，则，则， 取平面的法向量为， 则二面角的平面角满足：, 解得：，解得：或（舍去）， 故存在满足条件的点F，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$