13.1 命题、定理与证明（3个知识点+7类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

13.1命题、定理与证明 课程标准 学习目标 ①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义； ②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题的概念； ③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式； ④了解反例的作用，知道利用反例可以判定一个命题是错误的。 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 3.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 知识点01 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 【即学即练1】 （23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 【答案】(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题 (2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题 (3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题 【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可． 【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等； 直角为，故原命题是真命题； （2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等； 绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题； （3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于； 钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题． 知识点02 公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 【即学即练2】 （22-23八年级上·全国·课前预习）实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的____________． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 知识点03 定理与证明 证明：从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理。简称证明。 证明的一般步骤 第1步:分清命题的条件和结论,问题与图形有关,要根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号; 第2步:结合图形,写出已知、求证; 第3步:分析因果关系,找出证明途径， 第4步:有条理地写出证明过程(每一步推理都要有根据). 证明符号：符号“∵”读作“因为”,符号“∴”读作“所以” 辅助线：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线． 【即学即练3】 （23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 证明：∵，， ∴___________．(等量代换) ∴．(___________) ∴___________．(两直线平行，同位角相等) ∵，(已知) ∴___________．(等量代换) ∴，(___________) ∴．(___________) ∵，(已知) ∴． ∴∠B=90°． ∴．(___________) 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 根据平行线的性质与判定，证明，进而根据，即可得出． 【详解】证明：∵，， ∴．(等量代换) ∴．(同位角相等，两直线平行) ∴．(两直线平行，同位角相等) ∵，(已知) ∴．(等量代换) ∴，(内错角相等，两直线平行) ∴．(两直线平行，内错角相等) ∵，(已知) ∴． ∴∠B=90°． ∴．(垂直的定义) 故答案为：；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义． 题型01 判断是否是命题 【典例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列句子中不是命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．判断一件事情的语句叫做命题，据此判断． 【详解】解：A、是命题，故不合题意； B、直线和直线不一定垂直，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列语句中命题的个数为（   ） ①两直线相交，只有一个交点；②过点P画直线AB的垂线；③延长线段AB到C；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，命题是指判断一件事情的语句，根据命题的定义依次判断即可． 【详解】解：命题是指判断一件事情的语句， ∴①④是命题，②③不是命题， 故选：B． 【变式2】（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）“你的作业做完了吗”这句话______命题．（填“是”或者“不是”） 【答案】不是 【分析】本题考查命题的概念，把握命题概念的要点是关键．根据命题的定义判断即可． 【详解】解：“你的作业做完了吗”这句话不是命题． 故答案为：不是 【变式3】（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在△ABC中，若，则，其中是命题的有__________（只填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了命题与定理得知识，利用命题的定义逐项判断即可得出答案，解题的关键是掌握命题的定义． 【详解】解：①延长线段到点，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ②垂线段最短，是命题，符合题意； ③过点画直线，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ④在中，若，则，是命题，符合题意； 综上所述，是命题的有②④， 故答案为：②④． 题型02 判断命题的真假 【典例1】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了真假命题的判断，根据对顶角的性质、旋转的性质、垂线段的性质、平行公理分别进行判断即可. 【详解】解：A. 对顶角相等是真命题，不符合题意； B. 两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等是真命题，不符合题意； C. 垂线段最短是真命题，不符合题意； D. 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项是假命题，符合题意； 故选：D 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列命题中，①一个角的补角大于这个角；②如果，那么；③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题、补角、绝对值的性质、对顶角性质、平行线的判定，熟练掌握这些性质和判定是解题关键．根据补角的定义（和为的两个角互为补角）即可判断①错误；根据绝对值的性质即可判断②错误；根据对顶角的性质即可判断③正确；根据平行线的判定即可判断④正确． 【详解】解：①一个角的补角不一定大于这个角，如的补角等于，则此命题是假命题； ②如果，那么，则此命题是假命题； ③对顶角相等，则此命题是真命题； ④内错角相等，两直线平行，则此命题是真命题； 综上，真命题有2个， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·全国·期末）下列命题：①不相交的直线是平行线；②同位角相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；④对顶角相等；⑤若则．其中是真命题的有_______（填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据平行线的性质，平方根，对顶角相等，解不等式，逐项分析即可求解． 【详解】解：在同一平面内，不相交的直线是平行线，所以原命题是假命题，故①错误； 两直线平行，同位角相等，所以原命题是假命题，故②错误； 如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等或互为相反数，所以原命题是假命题，故③错误； 对顶角相等，所以原命题是真命题，故④正确； 若则，所以原命题是假命题，故⑤错误； 综上分析可知：真命题有④． 故答案为：④． 【变式3】（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是______．（填写序号） 【答案】③ 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③，故答案为：③． 题型03 命题的条件与结论 【典例1】（23-24七年级下·全国·假期作业）把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； (3)互为相反数的两个数的绝对值相等． 【答案】(1)如果，那么和互余；题设是，结论是和互余 (2)如果两个角互补，那么这两个角是针角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角 (3)如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的形式是解题的关键； （1）根据题意找出题设和结论即可求解； （2）根据题意找出题设和结论即可求解； （3）根据题意找出题设和结论即可求解 【详解】（1）解：如果，那么和互余；题设是，结论是和互余． （2）如果两个角互补，那么这两个角是针角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角． （3）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等． 【变式1】（21-22八年级上·全国·单元测试）把命题“互为相反数的两个数，它们的绝对值相等”改写成“如果……，那么……”的形式是_____________________________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等 【分析】本题考查了把命题改写为“如果……，那么……”的性质，分清楚命题中的条件结论是解题的关键．前面作为条件，后面作为结论进行改写即可． 【详解】解：把命题“互为相反数的两个数，它们的绝对值相等”改写成“如果……，那么……”的形式是“如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等”， 故答案为：如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等． 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_____________________，那么___________________． 【答案】 两条直线垂直于同一条直线 这两条直线相互平行 【分析】本题考查了命题与定理，平行线公理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行， 故答案为：两条直线垂直于同一条直线，这两条直线相互平行． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)等角的补角相等； (2)若，，则． 【答案】(1)条件：两个角是一对等角的补角，结论：这两个角相等 (2)条件：，，结论： 【分析】本题主要考查了命题的基本性质，每个命题都有条件和结论，通过条件而得出结论，即为真命题，反之，即为假命题． 根据命题的基本性质，从题目中得出条件和结论分别是什么． 【详解】（1）原命题改写为：如果两个角是一对等角的补角，那么这两个角相等． 条件：两个角是一对等角的补角． 结论：这两个角相等． （2）条件：，． 结论：． 题型04 定义、公理、定理 【典例1】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【答案】B 【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意； B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长至D使，不是定义，不符合题意； 故选：B 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 【答案】C 【分析】本题考查了定理于命题的相关知识点，掌握命题，定理和证明的概念是关键. 【详解】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意； 定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意； 对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意； 要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意； 故选：C 【变式2】（22-23八年级上·全国·课后作业）用______的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点评】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 【变式3】（2022八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理：__________________． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】任意写出一个角相等的定理即可． 【详解】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 【点评】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可． 题型05 举反例说明假命题 【典例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）以下可以来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断．本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 【详解】解：A、，满足， ∴A选项不能作为证明原命题是假命题的反例； B、，满足，但不满足， ∴B选项能作为证明原命题是假命题的反例； C、，不满足， ∴C选项不能作为证明原命题是假命题的反例； D、，不满足， ∴D选项不能作为证明原命题是假命题的反例． 故选B． 【变式1】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的乘方、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：当时，，， 说明命题“若，则”是假命题， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）用一组，，的整数值说明命题“若，则”是假命题，则这组值可以是______，______，______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法证明假命题，解题关键是结合题意找到合适的，，的整数值．证明一个命题是假命题，只需要列举出满足题设，但不满足结论的例子即可．根据题意确定合适的，，的整数值，证明，而，即可解题． 【详解】解：当，，时， 可有， ∵， ∴， ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：3，，（答案不唯一）． 【变式3】（23-24七年级下·北京·阶段练习）对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则______，______． 【答案】（答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的大小比较、有理数的乘方法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， 说明命题“若，则”是假命题， 故答案为：；（答案不唯一）． 题型06 根据证明过程填写依据 【典例1】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【变式2】（21-22七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（）． ∴ABEF（）． ∴∠B＋∠F＝180°（）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点评】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）请将下列证明过程补充完整： 如图，在中，，，求证：． 证明：∵（已知） ∴（__________） ∵（已知） ∴（） 即 ∴___________（______________） ∵（已知） ∴（______________） 【答案】两直线平行，内错角相等；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行线的性质得到，再根据，即可得出，进而判定，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，即可得出结论． 【详解】证明：（已知） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等式的性质） 即 （内错角相等，两直线平行） （已知） （两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行） 故答案为：两直线平行，内错角相等；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 题型07 推理与证明 【典例1】（21-22八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线、均被直线、所截，且与相交，给定以下三个条件： ①；②；③；请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并进行证明 已知： 求证： 证明： 【答案】已知：，；求证：，证明见解析 【分析】如果选择①②两个作为条件，③作为结论可组成一个真命题．首先根据平行线的判定定理，可得，由，可得，然后，根据直角三角形的两个锐角互余及对顶角的性质，即可证明． 【详解】已知：，，求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，直角三角形两锐角互余，对顶角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 【变式1】（19-20七年级上·北京东城·期中）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”； 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”． 若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_______． 【答案】丁 【分析】先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可． 【详解】解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小李、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误， ②若获得一等奖的团队是乙团队，则小张预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误， ③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误， ④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小王预测结果是对的，与题设相符，即假设正确， 即获得一等奖的团队是：丁； 故答案为：丁． 【点评】本题考查了推理与论证，正确进行简单的合情推理是解题关键． 【变式2】（22-23八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】已知：，，平分， 求证：平分． 证明：如图所示， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分． 【点评】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【变式3】（18-19八年级上·上海浦东新·期中）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： 【答案】 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线。求证：AD平分∠BAC. 【分析】结合几何图形写出已知条件和结论． 【详解】已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）； 求证：AD平分∠BAC． 故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC． 【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 1．（23-24八年级下·广东湛江·期中）下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的概念，根据命题是能具有判定的语句，由题设和结论组成进行判定即可，掌握命题的概念是解题的关键． 【详解】解：A、两直线被第三条直线所截是陈述句，不是命题，不符合题意； B、过直线外一点作这条直线的垂线是陈述句，不是命题，不符合题意； C、百家争鸣思想活跃是陈述句，不是命题，不符合题意； D、内错角相等，题设是内错角，结论是相等，是命题，符合题意； 故选：D． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了学生判断命题真假的能力，解题关键是正确理解相关定理． 根据平行线的性质和判定、平行公理及推论，逐一分析判断即可． 【详解】解：A．两直线平行时，才有同位角相等，不是真命题，故此选项不符合题意； B．垂直于同一条直线的两条直线平行，必须是同一平面内，不是真命题，故此选项不符合题意； C．必须过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，不是真命题，故此选项不符合题意； D．平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故此选项不符合题意． 故选：D． 3．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）下列选项中a的值，可以作为说明命题“，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用举反例法证明一个命题是假命题，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 根据举反例时需满足命题的题设，而不满足命题的结论即可作答． 【详解】解：用来证明命题“，则”是假命题的反例可以是：， ，但是， 选项A符合题意； 故选：A． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题即可． 【详解】解：命题“同角的补角相等”的题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， ∴把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故选：D 5．（19-20八年级上·全国·课后作业）下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】直接利用不等式的基本性质和解方程的思想进行判断即可. 【详解】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误； B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误； C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误； D、∵，则或，本项正确； 故选择：D. 【点评】本题考查了不等式性质和解方程的思想，解题的关键是利用不等式性质进行判断. 6．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 7．（16-17八年级上·福建漳州·课后作业）下列问题你不能肯定的是（    ） A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系 C．三角形的内角和 D．边形的外角和 【答案】B 【详解】试题解析：A. 二者大小关系一目了然，能肯定； B. 二者面积大小关系不确定，不能肯定； C. 能用三角形的内角和定理判断，能肯定； D. 能用多边形的外角和判断，能肯定； 故选B. 8．（23-24八年级上·江苏盐城·开学考试）下列语句中，是定义的是（　　） A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义．根据定义的概念判断即可． 【详解】解：A、点A到点B的距离是，不是定义，不符合题意； B、两直线平行，同位角相等是定理，不是定义，不符合题意； C、直角都相等，不是定义，不符合题意； D、两边相等的三角形是等腰三角形，是定义，符合题意； 故选：D． 9．（23-24七年级下·湖北黄石·阶段练习）“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 【答案】A 【分析】本题考查的是命题和定理，根据公理的概念判断即可． 【详解】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理， 故选：A． 10．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次． 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名． 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了逻辑推理．熟练掌握找出突破口，是解题的关键． 先根据每个名次中都有人猜对，猜第二名是乙的只有一个同学，则乙是第二名，然后依次类推即可得出答案． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名乙只有丁猜到， ∴乙只能是第二名，不能是第三名； ∴甲是第三名，不可能是第一名； ∴只有丙是第一名，丙不可能是第五名，只有丁是第五名； ∴丁不可能是第四名，故第四名只能是戊． 故第一名是丙，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁． 故选：C． 11．（22-23八年级上·全国·课后作业）能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的．判断某一件事情的句子叫做_______．正确的命题称为_______，_______的命题称为假命题． 【答案】 定义 命题 真命题 不正确 【分析】根据命题与定义的概念，真假命题的定义进行填空即可． 【详解】解：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．判断某一件事情的句子叫做命题．正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题． 故答案为：定义；命题；真命题；不正确． 【点评】本题主要考查了命题与定义，熟知相关概念是解题的关键． 12．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）“若，则，” _______命题（选填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】若，则，是一个命题. 故答案为：是． 【点评】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题. 13．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）已知下列命题：①同旁内角互补；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④正数的立方根是正数．其中是真命题的有_______个． 【答案】1 【分析】本题考查了命题真假的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平行线的判定与性质可判定①与②的真假，根据对顶角的性质可判断③的真假，根据立方根的定义可判断④的真假． 【详解】一般情况下，同旁内角不一定互补，命题①是假命题； “平行于同一条直线的两条直线可能平行，也可能共线”，命题②是假命题； 相等的角不一定是对顶角，命题③是假命题； “正数的立方根是正数”，命题④是真命题． 所以是真命题的有1个． 故答案为：1． 14．（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取______（写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题的定义，深刻理解命题的定义是解题的关键．必须牢记：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 找出一个满足，但不满足即可． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，可以举一个反例为， 因为时，， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（22-23七年级下·青海西宁·阶段练习）把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成如果那么的形式是___________________________________． 【答案】如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式 【分析】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．根据命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果那么的形式是：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式， 故答案为：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式． 16．（22-23八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为_______． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点评】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 17．（19-20八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知，，．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是___________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据SSS证明△ABD△FEC，由全等三角形性质，对选项进行分析判断即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴BD=EC， ∵，， ∴△ABD△FEC（SSS）， ∴∠A=∠F，∠B=∠E，∠ADB=∠FCE， ∴，， 所以①②③都正确， 故答案为①②③. 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质. 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等． （2）垂直于同一直线的两条直线平行． （3）一个角的余角一定小于这个角的补角． （4）如果和互余，与的余角互补，那么和互补． （5）两个无理数相加一定是无理数． （6）实数与数轴上的点一一对应． 其中是假命题的是______________． 【答案】（1），（2），（5） 【分析】本题考查了学生对命题与定理的理解及对常用知识点的综合运用能力，根据真命题的定义对各个选项进行分析，从而判定真命题的个数． 【详解】解：（1）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题． （2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故原命题是假命题． （3）一个角的余角一定小于这个角的补角，故原命题是真命题． （4）如果和互余，与的余角互补，那么和互补，故原命题是真命题． （5）两个无理数相加可能是无理数，也有可能是有理数，故原命题是假命题． （6）实数与数轴上的点一一对应，故原命题是真命题． 故答案为：（1），（2），（5）． 19．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列命题是假命题的有____________． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平方、余角、绝对值意义、对顶角定义、命题的知识；解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．根据平方运算法则、余角定义、绝对值意义、对顶角的定义，逐个判断，即可得到答案． 【详解】解：①若，则或，原命题是假命题，故①符合题意； ②当一个角的度数小于，这个角的余角大于这个角，原命题是假命题，故②符合题意； ③当a，b是有理数，且a，b符号相同时可以得到|，原命题是假命题，故③符合题意； ④，和与是否是对顶角，没有因果关系，原命题是假命题，故④符合题意； 综上分析：假命题的有①②③④． 故答案为：①②③④． 20．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有_______个． 【答案】1 【分析】根据平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算进行判断即可． 【详解】解：①两条直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； ②如果，那么或，故原命题是假命题； ③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故原命题是真命题； ④例如，则，故原命题是假命题； 即真命题的有1个， 故答案为：1． 【点评】本题考查命题与定理、平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21．（23-24七年级下·山西大同·开学考试）（1）判断下列语句是不是命题，若是，写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题． ①同位角相等，两直线平行； ②延长到点C； ③同角的补角相等． （2）举反例说明下列命题是假命题： ①相等的角是同位角； ②大于的角为钝角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了命题： （1）先判断命题的真假，若是真命题，写成“如果……那么……”的形式； （2）根据每个命题写出反例即可． 【详解】解：（1）①是命题、且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行． ②不是命题． ③是命题，且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． （2）①反例：对顶角相等，但不是同位角． ②反例：的角不是钝角． 22．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 23．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）如图，如果，那么，判断这个命题的真假．若是真命题，则写出推理的根据；若是假命题，则添加一个条件，使该命题成为真命题，并给予证明． 【答案】假命题，添加，证明见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质．命题真假的判断， 注意同位角相等，两直线平行这一定理是解答本题的关键， 本题不是唯一答案， 给考生了一定发挥空间， 考生可按照自己掌握知识的熟练程度来解决问题． 根据平行线的性质添加条件再证明可得答案． 【详解】解：假命题，添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 24．（23-24七年级下·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ；② ；③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 25．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，①，②平分，③平分，④． (1)若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是________（“真”或“假”）命题； (2)若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例． 【答案】(1)真；(2)见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质，角平分线的性质， （1）根据命题的真假即可判断； （2）根据得，根据平分得，根据平分得，根据可得，等量代换，进行计算即可得； 掌握命题，平行线的性质，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：即若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是真命题， 故答案为：真； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ， ， ． 26．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析；(2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 27．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，已知，．现有3个条件：①；②；③． (1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是，结论是；（填序号） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 【答案】(1)①，③；(2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定及性质． （1）根据题意即可解答； （2）根据垂直的定义与平行线的判定及性质即可解答． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是③； 或：选择的条件是③，结论是①． 故答案为：①，③（或③，①） （2）解：选择的条件是①，结论是③，则证明如下： 证明：（已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）． （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 选择的条件是③，结论是①，则证明如下： 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等） （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （已知）， ∴（等角的余角性质）． 28．（23-24七年级下·河南安阳·期中）如图，现有下面三个条件：，；；． (1)请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果……那么……”的形式） (2)对（1）中的命题进行求证． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题主要考查了命题与定理，平行线的性质，垂直的性质等知识点， (1)可以把前两个条件作为题设，第三个条件作为结论，即可得解； (2)由于，得到，利用平行线的性质得到，进而可得到，即有； 熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】（1）如果，，，那么． （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 29．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整： 已知：______，、分别平分______和______，则_______． (2)试判断这个命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)；；；；(2)此命题为真命题，理由见解析 【分析】（1）根据题意，补充条件即可； （2）根据平行线的性质可得：，然后根据角平分线的定义可得：， ，从而得出：，再根据平行线的判定，即可证出：． 【详解】（1）解：根据题意：已知：，、分别平分和，则； （2）解：此命题为真命题；理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴． 【点评】此题主要考查的是平行线的性质和判定，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等和平行线的判定：同位相等，两直线平行，是解决此题的关键． 30．（23-24七年级下·江西新余·阶段练习）如图，①，②平分，③，④平分． (1)若以②③④为条件，①为结论组成一个命题，则这个命题是_______（“真”或“假”）命题； (2)证明（1）中的结论． 【答案】(1)真；(2)证明见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的判定，角平分线的定义： （1）由角平分线的定义得到，再根据已知条件可证明，即可证明，据此可得结论； （2）同（1）证明即可． 【详解】（1）解：当以②③④为条件，①为结论组成一个命题时， ∵平分，平分 ∴， 又∵ ∴， ∴； ∴以②③④为条件，①为结论组成一个命题，这个命题是真命题； 故答案为：真； （2）证明：∵平分，平分 ∴ 又∵， ∴， ∴． ( 33 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1命题、定理与证明 课程标准 学习目标 ①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义； ②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题的概念； ③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式； ④了解反例的作用，知道利用反例可以判定一个命题是错误的。 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 3.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 知识点01 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 【即学即练1】 （23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 知识点02 公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 【即学即练2】 （22-23八年级上·全国·课前预习）实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的____________． 证明：从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理。简称证明。 证明的一般步骤 第1步:分清命题的条件和结论,问题与图形有关,要根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号; 第2步:结合图形,写出已知、求证; 第3步:分析因果关系,找出证明途径， 第4步:有条理地写出证明过程(每一步推理都要有根据). 证明符号：符号“∵”读作“因为”,符号“∴”读作“所以” 辅助线：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线． 【即学即练3】 （23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 证明：∵，， ∴___________．(等量代换) ∴．(___________) ∴___________．(两直线平行，同位角相等) ∵，(已知) ∴___________．(等量代换) ∴，(___________) ∴．(___________) ∵，(已知) ∴． ∴∠B=90°． ∴．(___________) 题型01 判断是否是命题 【典例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列句子中不是命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列语句中命题的个数为（   ） ①两直线相交，只有一个交点；②过点P画直线AB的垂线；③延长线段AB到C；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）“你的作业做完了吗”这句话______命题．（填“是”或者“不是”） 【变式3】（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在△ABC中，若，则，其中是命题的有__________（只填序号）． 题型02 判断命题的真假 【典例1】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列命题中，①一个角的补角大于这个角；②如果，那么；③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24七年级下·全国·期末）下列命题：①不相交的直线是平行线；②同位角相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；④对顶角相等；⑤若则．其中是真命题的有_______（填序号）． 【变式3】（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是______．（填写序号） 题型03 命题的条件与结论 【典例1】（23-24七年级下·全国·假期作业）把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； (3)互为相反数的两个数的绝对值相等． 【变式1】（21-22八年级上·全国·单元测试）把命题“互为相反数的两个数，它们的绝对值相等”改写成“如果……，那么……”的形式是_____________________________． 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_____________________，那么___________________． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)等角的补角相等； (2)若，，则． 题型04 定义、公理、定理 【典例1】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 【变式2】（22-23八年级上·全国·课后作业）用______的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【变式3】（2022八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理：__________________． 题型05 举反例说明假命题 【典例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）以下可以来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）用一组，，的整数值说明命题“若，则”是假命题，则这组值可以是______，______，______． 【变式3】（23-24七年级下·北京·阶段练习）对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则______，______． 题型06 根据证明过程填写依据 【典例1】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【变式2】（21-22七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（）． ∴ABEF（）． ∴∠B＋∠F＝180°（）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（）． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）请将下列证明过程补充完整： 如图，在中，，，求证：． 证明：∵（已知） ∴（__________） ∵（已知） ∴（） 即 ∴___________（______________） ∵（已知） ∴（______________） 题型07 推理与证明 【典例1】（21-22八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线、均被直线、所截，且与相交，给定以下三个条件： ①；②；③；请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并进行证明 已知： 求证： 证明： 【变式1】（19-20七年级上·北京东城·期中）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”； 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”． 若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_______． 【变式2】（22-23八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【变式3】（18-19八年级上·上海浦东新·期中）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： 1．（23-24八年级下·广东湛江·期中）下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 3．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）下列选项中a的值，可以作为说明命题“，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 5．（19-20八年级上·全国·课后作业）下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 6．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 7．（16-17八年级上·福建漳州·课后作业）下列问题你不能肯定的是（    ） A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系 C．三角形的内角和 D．边形的外角和 8．（23-24八年级上·江苏盐城·开学考试）下列语句中，是定义的是（　　） A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形 9．（23-24七年级下·湖北黄石·阶段练习）“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 10．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次． 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名． 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．（22-23八年级上·全国·课后作业）能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的．判断某一件事情的句子叫做_______．正确的命题称为_______，_______的命题称为假命题． 12．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）“若，则，” _______命题（选填“是”或“不是”）． 13．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）已知下列命题：①同旁内角互补；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④正数的立方根是正数．其中是真命题的有_______个． 14．（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取______（写出一种即可）． 15．（22-23七年级下·青海西宁·阶段练习）把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成如果那么的形式是___________________________________． 16．（22-23八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为_______． 17．（19-20八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知，，．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是___________．（填序号） 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等． （2）垂直于同一直线的两条直线平行． （3）一个角的余角一定小于这个角的补角． （4）如果和互余，与的余角互补，那么和互补． （5）两个无理数相加一定是无理数． （6）实数与数轴上的点一一对应． 其中是假命题的是______________． 19．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列命题是假命题的有____________． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 20．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有_______个． 21．（23-24七年级下·山西大同·开学考试）（1）判断下列语句是不是命题，若是，写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题． ①同位角相等，两直线平行； ②延长到点C； ③同角的补角相等． （2）举反例说明下列命题是假命题： ①相等的角是同位角； ②大于的角为钝角． 22．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 23．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）如图，如果，那么，判断这个命题的真假．若是真命题，则写出推理的根据；若是假命题，则添加一个条件，使该命题成为真命题，并给予证明． 24．（23-24七年级下·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ；② ；③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 25．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，①，②平分，③平分，④． (1)若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是________（“真”或“假”）命题； (2)若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例． 26．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 27．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，已知，．现有3个条件：①；②；③． (1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是，结论是；（填序号） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 28．（23-24七年级下·河南安阳·期中）如图，现有下面三个条件：，；；． (1)请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果……那么……”的形式） (2)对（1）中的命题进行求证． 29．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整： 已知：______，、分别平分______和______，则_______． (2)试判断这个命题的真假，并说明理由． 30．（23-24七年级下·江西新余·阶段练习）如图，①，②平分，③，④平分． (1)若以②③④为条件，①为结论组成一个命题，则这个命题是_______（“真”或“假”）命题； (2)证明（1）中的结论． ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$