第十五章 分式（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第十五章 分式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．要使分式有意义，则x应满足下列哪个条件（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则分式的值为（   ） A． B． C． D． 5．为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 6．下列各式中，运算正确的是（       ） A． B． C． D． 7．方程的解为（    ） A． B． C． D． 8．小明和爸爸周末进行体育锻炼，已知爸爸绕跑道跑一圈需要秒，小明绕跑道跑一圈需要秒，若小明和爸爸同时从起点同向出发，秒后爸爸正好比小明多跑了一圈，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 9．已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．对于任意不为零的实数，若定义新运算，则下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若为正整数，则代数式的最小值为0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．若分式 的值为零，那么x的值为 ． 12．计算 ． 13．中国华为公司研发的麒麟芯片是全球第一款采用工艺制造的最先进手机处理器．已知，则数据“”用科学记数法表示为 ． 14．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 15．若（，为有理数），那么 ， ． 16．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． 17．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ． 18．若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，则最小的“差2倍数”为 ，若数，分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，，的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）计算： (1)； (2)． 20．（10分）解方程： (1) (2) 21．（10分）广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 22．（10分）请阅读下列材料回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下： 解：方程两边同乘以，得．① 去括号，得② 解得． 检验：当时，．③ 所以原分式方程无解．④ (1)你认为小明在第______步出现了错误；（只填序号） (2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出条解分式方程时的注意事项； (3)写出上述分式方程的正确解法． 23．（10分）先化简，再求值：，其中． 24．（10分）用数学的眼光观察： 同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着紧密的联系，请你认真观察等式：，． 用数学的思维思考并解决如下问题： (1)填空：______； (2)计算： ①若，求的值； ②若，求的值； ③已知，求的值． 25．（10分）阅读材料： 分式（）的最大值是多少？ 解：， ∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是． ∴的最大值是．∴（）的最大值是． 解决问题： (1)分式（）的最大值是 ； (2)求分式的最大值； (3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值． 26．（10分）全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． (1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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【分析】本题考查解分式方程，将分式方程去分母，转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴是原分式方程的解． 故选：D 8．小明和爸爸周末进行体育锻炼，已知爸爸绕跑道跑一圈需要秒，小明绕跑道跑一圈需要秒，若小明和爸爸同时从起点同向出发，秒后爸爸正好比小明多跑了一圈，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用．解题关键是把跑道的一圈长度看作单位“”，表示出两人的速度．解题时，根据题意，用“爸爸秒钟的行程小明秒钟的行程一圈”作等量关系列方程即可． 【详解】解：把跑道的一圈长度看作单位“”，则爸爸的速度是，小明的速度是， 根据题意得：． 故选B． 9．已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据． 方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，，可得，且，即可求解； 【详解】解：去分母得，， 方程的解是负数， ， 解得： ， 的取值范围是． 故选：． 10．对于任意不为零的实数，若定义新运算，则下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若为正整数，则代数式的最小值为0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用新运算的定义分别进行运算即可． 【详解】解：①，故①正确； ②，故②正确； ③∵ ∴ 解得，经检验都是方程的解，故③错误； ④∵ 当时，有最小值为0，故④正确． ∴正确的有①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了新定义，实数的运算，分式的运算，解分式方程，求最值问题，本题是新定义型，理解并熟练应用新运算是解题的关键． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．若分式 的值为零，那么x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟记分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．根据分式的值为零的条件建立等式或不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式 的值为零， 且， 解得且， ， 故答案为：． 12．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的运算，分式的乘方与除法运算，根据负整数指数幂的运算把原式化为，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 13．中国华为公司研发的麒麟芯片是全球第一款采用工艺制造的最先进手机处理器．已知，则数据“”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是分式的加减法和求值，根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴ ， 故答案为：6． 15．若（，为有理数），那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法的应用，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算，再利用待定系数法列式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：；． 16．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． 【答案】 【分析】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可． 【详解】解：根据题意得； ； ； …… 根据以上规律可得：． 17．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组有解且至多5个整数解，确定出a的取值，即可求解， 本题考查了，分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：分式方程得：， ∵分式方程有整数解， ∴或或或，且，即， 解得：或2或或3或4或或7， 不等式组整理得：，即， 由不等式组有解且至多5个整数解，得到，解得：， ∴则符合条件的所有整数a的为和，和为， 故答案为：． 18．若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，则最小的“差2倍数”为 ，若数，分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，，的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 【答案】 2040 【分析】依据题意，由已知，根据“差2倍数”和“差3倍数”的定义求解即可． 【详解】解：根据“差2倍数”的定义可得最小的“差2倍数”为2040； 设数的百位数字分别为， 则数的千位数字分别为，数的十位数字分别为7，9， ，， ， ∵为整数，都是整数， ∴或， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴时，存在最大值， 满足条件的有或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 其中最大， ∴的最大值为． 故答案为：2040；． 【点睛】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是理解“差2倍数”和“差3倍数”的定义． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是分式的加减混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到答案； （2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时对分母进行因式分解，约分即可得到答案． 【详解】（1）解：原式， ， ． （2）解：原式， ， ． 20．（10分）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握计算步骤是解题的关键． （1）（2）分别先去分母，转化为解一元整式方程，再检验是否有增根即可． 【详解】（1）解： ， ， 经检验：是原方程的解， ∴ 原方程的解为； （2）解： ， 经检验：时， ∴原方程的解为． 21．（10分）广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 【答案】该商家第一批购进40个吉祥物． 【分析】设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物，利用单价总价数量，结合第二批购进吉祥物的单价比第一批贵了5元，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商家第一批购进40个吉祥物． 22．（10分）请阅读下列材料回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下： 解：方程两边同乘以，得．① 去括号，得② 解得． 检验：当时，．③ 所以原分式方程无解．④ (1)你认为小明在第______步出现了错误；（只填序号） (2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出条解分式方程时的注意事项； (3)写出上述分式方程的正确解法． 【答案】(1)① (2)如：去分母时，每项都乘以最简公分母，不能漏乘；去分母时，若分子是多项式，去掉分数线后以小括号代替，表示整体等（答案合理即可） (3)见解析 【分析】（1）出现错误的步骤为第一步，原因是各项都要乘以最简公分母； （2）解分式方程的方法写出注意事项即可； （3）写出正确解题过程即可． 【详解】（1）解：去分母时，每项都乘以最简公分母，小明在第①步出现了错误， 故答案为：①； （2）解：如：去分母时，每项都乘以最简公分母，不能漏乘； 去分母时，若分子是多项式，去掉分数线后以小括号代替，表示整体等（答案合理即可） （3）解：方程两边同时乘以， 得，           ． 检验：当时，， ∴原方程的解是． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 23．（10分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可． 【详解】 ． 当时，原式 24．（10分）用数学的眼光观察： 同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着紧密的联系，请你认真观察等式：，． 用数学的思维思考并解决如下问题： (1)填空：______； (2)计算： ①若，求的值； ②若，求的值； ③已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)①；②；③的值为 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可； （2）①先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； ②先将两边都除以，得，然后求出，再求出结果即可； ③分两种情况：当时，当时，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：4． （2）解：①∵， ∴． ②将两边都除以，得． ∴， ∴． ③当时，此时，则，得， ∵， ∴． ∵， ∴； ∴， 当时，此时，则，得， ∵，故舍去． 综上，的值为． 25．（10分）阅读材料： 分式（）的最大值是多少？ 解：， ∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是． ∴的最大值是．∴（）的最大值是． 解决问题： (1)分式（）的最大值是 ； (2)求分式的最大值； (3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值． 【答案】(1)9 (2)7 (3)4，6，8 【分析】本题考查的是分式加减运算的逆运算，即， 同时考查分式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据，由，得到的最大值为8，即可解题． （2）根据，由，得到的最大值为3，即可解题 （3）根据，且值为整数，得到的值为整数，即的值为3的因数，从而可得到整数的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴，即：的最小值为1， ∴的最大值为8， ∴的最大值为9， 即：分式（）的最大值是9， 故答案为：9； （2）由题意可知，， ∵， ∴，即：的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为7， 即：分式的最大值是7； （3）由题意可知，， ∵分式（）的值为整数，且为整数， ∴的值为整数，， ∵， ∴的值为，1，3， ∴的值为4，6，8． 26．（10分）全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． (1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润． 【答案】(1)每台型空气净化器、每台型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； (2)一种方案，且最多利润为6900元 【分析】（1）设每台种空气净化器为元，种净化器为元，根据用6000元购进种空气净化器的数量与用7500元购进种空气净化器的数量相同，列方程求解； （2）根据题意列出不等式，进行解答即可； 本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大． 【详解】（1）解：设每台型空气净化器为元，型净化器为元， 由题意得，， 解得：， 经检验是原方程的根， 则， 答：每台型空气净化器、每台型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； （2）解：设型空气净化器购进台，则型空气净化器台 则 得的范围， ∵为整数 ∴， 故一种方案． ∵两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售， ∴（元） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$