第十五章 分式（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第十五章 分式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．若分式的值是，则的值是（  ） A． B． C． D．或 2．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 3．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 5．方程的解是（  ） A． B． C． D．无解 6．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 7．已知．则的值是（    ） A． B． C． D． 8．已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 9．若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 10．对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于个分式，，，那么“第一次操作”后得一串新分式为，，，，．已知一串式子是，，，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第次操作”后得到的一串新式子为：，，，，，，，，；②“第3次操作”后共有个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．约分： ． 12．经测算，一个水分子的直径约为m，数据用科学记数法表示为 ． 13．若，则 ． 14．若 则式子 的值是 ． 15．已知，则 ． 16．对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 17．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ． 18．对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数为“均衡数”．对于一个“均衡数”，将它的前两位数减去后两位数所得记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，定：，例如：，因为，故：9764是一个“均衡数”，所以：，，则：．若自然数都是“均衡数”，其中（，都是整数），规定：，当时，的最大值是 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）计算 (1) (2)． 20．（10分）解分式方程： (1)； (2)． 21．（10分）下面是某同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一： 填空： 以上化简步骤中，第一步对分式的分子与分母进行了因式分解 以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述情况外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 22．（10分）嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． (1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； (2)若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 23．（10分）某县计划实施县城基础设施改造，需要对地下管道改造工程进行招标．经过第一轮角逐，剩下甲、乙两个工程队进入最后招标，其中甲工程队单独完成这项工程需要30天．若甲队先做10天，余下的工程由乙做需28天可完成．根据报价，乙队施工一天的费用比甲队施工一天的费用少万元． (1)乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)根据甲、乙两个工程队的报价核算，不管全程由甲或乙单独完成，还是全程由甲、乙合作完成，费用都相等，试求出这个费用是多少万元？ 24．（10分）课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 25．（10分）阅读材料：已知，求的值． 解：由得，，则有，由此可得，；所以，． 请理解上述材料后求： (1)已知，求分式的值； (2)已知，用的代数式表示的值． 26．（10分）荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求： (1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？ (2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 分式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．若分式的值是，则的值是（  ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】∵分式的值为， ∴且， 解得：， 故选：． 2．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的性质，注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分结果应是，而不是．根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误； 故选：C． 3．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先利用平方差公式展开，然后约分即可． 【详解】解： 故选：A． 4．已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 5．方程的解是（  ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得： ∴， 移项合并得： 解得： 经检验不是分式方程的解． 故选：D． 6．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查列代数式，首先求得原来每天的用水量为吨，现在每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：（吨）． 故选：D． 7．已知．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把等式变形为，然后两边平方，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 两边除以，得：， ∴， 两边平方，得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的混合运算，求代数式的值，应用了恒等变形的思想．掌握完全平方公式是解题的关键． 8．已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】计算分式加法可得，当a大于5时，，从而可得P与Q的大小关系． 【详解】解： 当a大于5时， 故选：A 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握是解题的关键． 9．若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程有增根的情况下求参数，理解分式方程的增根情况是解题关键．先去分母化简，然后根据题意得出，将其代入方程求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得 ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入，得， 故选：B． 10．对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于个分式，，，那么“第一次操作”后得一串新分式为，，，，．已知一串式子是，，，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第次操作”后得到的一串新式子为：，，，，，，，，；②“第3次操作”后共有个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的加减，依据题干要求正确操作并发现其中的规律是解题的关键．利用“一次操作”的规定进行操作，通过操作得到规律性的结论，依据发现的规律逐一判断即可． 【详解】解：“第2次操作”后得到的一串新式子为：，0，，，，，，，，共个， ①的结论正确； “第一次操作”后得一串新分式有个，“第二次操作”后得到的一串新式子有，“第三次操作”后共个式子， ②的结论正确； “第一次操作”后得一串新分式的和为：， “第二次操作”后得一串新分式的和为：， “第三次操作”后得一串新分式的和为：， ， ③的结论错误； “第一次操作”后得一串新分式的和为：， “第二次操作”后得一串新分式的和为：， “第三次操作”后得一串新分式的和为：， “第次操作”后得一串新分式的和为：， “第次操作”后所有式子之和为， ④的结论正确； 张三结论正确的个数是个， 故选：B． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．约分： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了约分，掌握约分的定义是解题关键． 直接将分子与分母约去公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．经测算，一个水分子的直径约为m，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值． 【详解】 故答案为：． 13．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的约分，由得到，代入式子约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2 14．若 则式子 的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，代入求值，先通分计算得，再根据已知条件进行变形得，最后代入计算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 15．已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式化简求值及整体代入思想，首先把两边同时乘以，可得 ，进而可得，然后再利用代入法求值即可，解题的关键是熟练掌握运算法则及整体代入法． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16．对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，分式的混合运算，由 可得答案，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则. 【详解】解： 根据题意得： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组有解且至多5个整数解，确定出a的取值，即可求解， 本题考查了，分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：分式方程得：， ∵分式方程有整数解， ∴或或或，且，即， 解得：或2或或3或4或或7， 不等式组整理得：，即， 由不等式组有解且至多5个整数解，得到，解得：， ∴则符合条件的所有整数a的为和，和为， 故答案为：． 18．对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数为“均衡数”．对于一个“均衡数”，将它的前两位数减去后两位数所得记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，定：，例如：，因为，故：9764是一个“均衡数”，所以：，，则：．若自然数都是“均衡数”，其中（，都是整数），规定：，当时，的最大值是 ． 【答案】 【分析】此题为新定义题型，根据题干中所给的新定义及运算规则来完成相关计算．该类题型主要考查学生对新知识的接受和应用能力．难度较大，要善于把新知识转化为常规知识来解决问题，方能突破难点．根据新定义与已知条件，分别求出，再由自然数P，Q都是“均衡数”可得，，最后根据求得，即可利用字母的取值范围便可求出k的最值． 【详解】∵， ∴． ∵自然数P，Q都是“均衡数”， ∴，则． ∴． ∵， ∴． ∴，则． ∴． 当时，则， ∴． ∵， y，n都是整数， ∴y是奇数， ∴当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， ∴k的最大值为． 故答案为： 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键． （1）先计算乘法，再进行通分，最后相减即可； （2）先将括号内通分并相加，并将除法化为乘法，再约分即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ， 20．（10分）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根． （1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可； （2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以是原方程的解； （2）解：， ， ， ， 检验：当时，， 所以是原方程的解； 21．（10分）下面是某同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一： 填空： 以上化简步骤中，第一步对分式的分子与分母进行了因式分解 以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述情况外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：为了分式的约分；二；分式的基本性质；四；单项式2与多项式相乘时，单项式2没有与多项式中的第二项5相乘 任务二： 任务三：见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 任务一：①根据分式的混合运算步骤即可得出答案；②根据通分的依据即可得出答案；③根据分式的混合运算步骤即可得出答案； 任务二：根据分式的混合运算法则计算即可得出答案； 任务三：根据分式的混合运算步骤即可得出答案． 【详解】解：任务一：以上化简步骤中，第一步对分式的分子与分母进行了因式分解为了分式的约分； 以上化简步骤中，第二步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 从第四步开始出现错误，这一步错误的原因是单项式2与多项式相乘时，单项式2没有与多项式中的第二项5相乘． 任务二： ； 任务三：建议：最后结果应化为最简分式或整式；约分、通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆． 22．（10分）嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． (1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； (2)若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的加减乘除运算顺序和法则，根据乘除加减的互逆关系做等式变形，是解决问题的关键． （1）用代替中的化简，根据，取限定的，0，1中的0作为a值，代入化简结果计算即得； （2）根据乘除加减的互逆关系做等式变形，计算中的． 【详解】（1） ， ∵， ∴， ∴从，0，1中选取0作为a值代入求值， 原式； （2）∵， ∴ ， 则被墨水遮住的式子是． 23．（10分）某县计划实施县城基础设施改造，需要对地下管道改造工程进行招标．经过第一轮角逐，剩下甲、乙两个工程队进入最后招标，其中甲工程队单独完成这项工程需要30天．若甲队先做10天，余下的工程由乙做需28天可完成．根据报价，乙队施工一天的费用比甲队施工一天的费用少万元． (1)乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)根据甲、乙两个工程队的报价核算，不管全程由甲或乙单独完成，还是全程由甲、乙合作完成，费用都相等，试求出这个费用是多少万元？ 【答案】(1)乙队单独完成这项工程需要42天； (2)84万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）设乙队单独完成这项工程需要天．根据“甲队先做10天，余下的工程由乙做需28天可完成”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设甲队施工一天的费用为万元，则乙队施工一天的费用为万元．根据“全程甲单独完成的费用等于全程乙单独完成的费用”列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要天． 列方程得：， 解得． 经检验：是分式方程的解． 答：乙队单独完成这项工程需要42天． （2）解：设甲队施工一天的费用为万元，则乙队施工一天的费用为万元． 全程甲单独完成的费用等于全程乙单独完成的费用， ， 解得． 费用为：（万元）． 答：这个费用为84万元． 24．（10分）课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出、的二元一次方程组是解答此题的关键．先把分式右边通分，再根据题意得出关于的方程组，求出、的值即可． 【详解】解：原分式可化为， ，即， ， 解得． 25．（10分）阅读材料：已知，求的值． 解：由得，，则有，由此可得，；所以，． 请理解上述材料后求： (1)已知，求分式的值； (2)已知，用的代数式表示的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式的变形应用；应用分式的运算与性质变形是关键． （1）根据阅读材料的计算方法与步骤进行计算即可； （2）根据阅读材料的计算方法与步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：由得，， 则有， 所以； 所以； （2）解：由得，， 则有， 所以； 所以； 26．（10分）荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求： (1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？ (2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由． 【答案】(1)甲队单独完成需要20天，，乙队单独完成需要25天； (2)方案③最省钱 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用天，把工作总量看做单位1，根据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成列出方程求解即可； （2）根据（1）所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用天， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要25天； （2）解：方案①的费用为万元， 方案②的费用为万元，但是此种方案耽误工期，不符合题意； 方案③的费用为万元， ∵， ∴方案③最省钱． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$