重难点突破专题01 相似与图形动点问题-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

第22章 重难点突破专题01 相似与图形动点问题 学习目标 ①灵活运用相似的性质解决图形综合中的边、角问题； ②通过辅助线构造相似、利用方程函数思想求最值等思想方法解决图形综合问题。 思想方法01 辅助线构造相似 ①添加平行线：构造“A”、“X”字相似模型； ②作垂线：构造相似直角三角形（一线三直角）； ①作延长线（可以是多条延长线）：补形法，补出常见的相似模型（A字、X字等）； 思想方法02 分类讨论与方程函数思想 ①在动点问题中，分类讨论满足条件的动点位置； ②对于一些未知线段，可设参数，找到等量关系，转化为方程进行解题；或利用函数解最值问题 ·辅助平行线的作图技巧 ①如果已知条件中有中点，那么就过中点做平行线。 ②已知条件中如果有同一条直线上两条线段的比，那就过这三点中的某一端点做平行线。 ③如果要求结论中有同一条直线上两条线段的比，那么过这三点中的某一端点做平行线。 ·结合全等模型理解相似模型 全等三角形的构造与相似三角形的构造方法与思路一致，其目的都是为了在图形综合问题里转换边角关系 【题型一：分类讨论三角形的形状】 例1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当是直角三角形时，t的值最多有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N 为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t 的值； 【技巧方法与总结】①对于三角形的形状的分类讨论：直角（3种情况）、等腰（3种情况）；②相似三角形的分类讨论：根据对应边进行分类。 【题型二：最短路径问题】 例2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上一动点，连接，过E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （1）当时，则的长为 ； （2）点H在上，且，连接，则长的最小值是 ． 变式2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，，分别为，的中点，为边上动点，为直角三角形，点在的上方，且，． （1）若点与点重合，则的长是 ； （2）点运动过程中的最小值为 ． 【方法技巧与总结】①辅助线构造相似，转化未知线段为易求线段；②利用三点共线或垂线段最短求最短路径。 【题型三：与方程函数思想结合求最值问题】 例3．（22-23九年级上·安徽·期末）已知在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，于点G，则 ，的最大值为 ．    变式3-1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，过点作交于点 （1）若，则的长为 ； （2）在点E运动的过程中，的最大值为 ． 变式3-2．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，在异侧，且与相似，则下列结论： （1）若，则的最大值为 ； （2）若，则当时，取得最大值． 【题型四：图形综合】 例4．如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【方法技巧与总结】 此类问题，包含①辅助线构造相似；②解直角三角形；③利用函数求最值；④动点与最短路径等问题。综合性强、难度大。辅助线构造相似三角形是解题关键。 1．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 2.如图，在中，，，点、分别在、上，，，交于点．则与的面积相等的三角形是 ，面积的最大值为 ． 3．（2024·河南南阳·二模）如图，在矩形中，，，M、N分别是边上的动点且．连接．则最小值为 ． 4．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ）        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，在异侧，且与相似，则下列结论： ①若，与相交于，则点必为的重心； ②若，则的最大值为； ③若，，则的长为； ④若，则当时，取得最大值． 其中正确的为(　　) A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 6．（2024·安徽合肥·三模）如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接． (1)求证：； (2)连接，如图2， ①若，求的长； ②若，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 重难点突破专题01 相似与图形动点问题 学习目标 ①灵活运用相似的性质解决图形综合中的边、角问题； ②通过辅助线构造相似、利用方程函数思想求最值等思想方法解决图形综合问题。 思想方法01 辅助线构造相似 ①添加平行线：构造“A”、“X”字相似模型； ②作垂线：构造相似直角三角形（一线三直角）； ①作延长线（可以是多条延长线）：补形法，补出常见的相似模型（A字、X字等）； 思想方法02 分类讨论与方程函数思想 ①在动点问题中，分类讨论满足条件的动点位置； ②对于一些未知线段，可设参数，找到等量关系，转化为方程进行解题；或利用函数解最值问题 ·辅助平行线的作图技巧 ①如果已知条件中有中点，那么就过中点做平行线。 ②已知条件中如果有同一条直线上两条线段的比，那就过这三点中的某一端点做平行线。 ③如果要求结论中有同一条直线上两条线段的比，那么过这三点中的某一端点做平行线。 ·结合全等模型理解相似模型 全等三角形的构造与相似三角形的构造方法与思路一致，其目的都是为了在图形综合问题里转换边角关系 【题型一：分类讨论三角形的形状】 例1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当是直角三角形时，t的值最多有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点，解直角三角形求出，求出，分为两种情况：①，根据相似三角形的性质和判定求出，求出，即可求出时间；②，根据相似三角形的性质和判定求出，求出，再求出时间即可．能求出符合题意的所有情况是解此题的关键． 【详解】解：，，， ， ①当时， ，， ，    ， ， ， ， ， ， 解得：， 即， 当从到时，时间秒， 当从到再到时，时间秒， ，此时舍去； ②当时，    ，， ， ， ， 解得：， ， 当从到时，时间秒， 当从到再到时，时间（秒， 综合上述，时间或5或7， 故选：C． 变式1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N 为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t 的值； 【答案】(1)或 (2)2或 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，等腰三角形的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据勾股定理．根据相似三角形的性质得到结论； （2）分三种情况：①当时，得到，②当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，则，，根据，得到比例式即可得到结果；③当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，由，得到比例式，即可得到结果，（不合题意，舍去）； 【详解】（1）解：在中，，，． 根据勾股定理，得． ∵以B、P、N为顶点的三角形与相似 ∴当时，， 此时，即，解得， 当时， 此时，即，解得 答：当、时，B、P、N为顶点的三角形与相似； （2）解：是等腰三角形， ①当时，即， 解得：， ②当时， 如图1，过作的垂线交于， 则，， ∴，， ， ，即， 解得：， ③当时， 如图2，过作的垂线交于， 则，， ， ， ， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当，或时，是等腰三角形． 【技巧方法与总结】①对于三角形的形状的分类讨论：直角（3种情况）、等腰（3种情况）；②相似三角形的分类讨论：根据对应边进行分类。 【题型二：最短路径问题】 例2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上一动点，连接，过E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （1）当时，则的长为 ； （2）点H在上，且，连接，则长的最小值是 ． 【答案】 / //4.4 【分析】（1）过点E作于点M，延长交于点N，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，，，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出最后结果即可； （2）连接并延长交的延长线于L，根据，得出，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出， ∴当时，最小，连接，根据等积法求出结果即可． 本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：（1）如图，过点E作于点M，延长交于点N， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）如图，连接并延长交的延长线于L， 根据解析（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 变式2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，，分别为，的中点，为边上动点，为直角三角形，点在的上方，且，． （1）若点与点重合，则的长是 ； （2）点运动过程中的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）当点与点重合，与重合，根据勾股定理及为的中点，可求的长度，由为直角三角形，，可求的长度， （2）当点与点重合时，设点的位置为，由，可得，求得，从而确定点的运动轨迹，根据点到直线距离垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：（1）根据题意作图，当点与点重合时， ，，， ， 点为的中点， ， 又，， ， ， 故答案为：； （2）当点与点重合时，设此时点的位置为，点的位置为，连接点、， ， ，， ，即， ， ， 又， 点的运动轨迹在直线上， 分别过、作直线、的垂线，垂足分别为、，的长度即为的最小值， ， ， ， ，解得：， ， 故点运动过程中的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形内的三角函数，相似三角形的判定与性质，点到直线距离垂线段最短，解题的关键是： （1）熟练应用勾股定理及三角函数进行求值， （2）通过相似三角形的判定与性质，确定点的运动轨迹． 【方法技巧与总结】①辅助线构造相似，转化未知线段为易求线段；②利用三点共线或垂线段最短求最短路径。 【题型三：与方程函数思想结合求最值问题】 例3．（22-23九年级上·安徽·期末）已知在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，于点G，则 ，的最大值为 ．    【答案】 / 【分析】利用两角对应相等证明和，推出是等腰三角形，利用三线合一的性质可求得；设，，证明，求得，代入得到，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又， ∴， ∴； 设，， 同理， ∴， ∴， ∴，， ∴， 令， 则原式， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空压轴题． 变式3-1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，过点作交于点 （1）若，则的长为 ； （2）在点E运动的过程中，的最大值为 ． 【答案】 1 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）由矩形的性质及知、，得出，即可证得，据此计算可得； （2）设，由相似三角形的性质得比例式，从而得到函数关系式，配方可得最值． 本题主要考查相似三角形的判定与性质、二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质． 【详解】（1）四边形是矩形， ， ， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ． 故答案为：1． （2）如图所示，设 由①得， ， ， 整理，得：， 根据函数图象可知，抛物线， 开口向下，抛物线的顶点坐标是它的最高点、且在函数的自变量的取值范围内． 所以当的长为2时，的长最大为． 故答案为：． 变式3-2．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，在异侧，且与相似，则下列结论： （1）若，则的最大值为 ； （2）若，则当时，取得最大值． 【答案】 【分析】（1）得当，且时，为最大，过点作交延长线于，先四边形为矩形，则，，再由与相似得，进而可求出的长；（2）先求出，再由得，则，由此可得当时，取得最大值。 【详解】解：（1），，， ， ， 由勾股定理得：， 与相似， 当，且时，为最大，如图所示， 过点作交延长线于， ，，， 四边形为矩形， ，， 与相似， ：：， 即， ， 在中，，， 由勾股定理得：； （2）在中，，， 由勾股定理得：， ，如图所示： ：：， ， ， ， 当时，取最大值， 即当时，取最大值． 【题型四：图形综合】 例4．如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】证明，可判定①正确； 连接交于点O,Q，点M，点G关于直线对称，故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为,故的最小值是，故②错误；先证明，得，可证，故③ 正确；根据，故④正确．本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， 故①正确； 连接交于点O,Q， ∵正方形，且, ∴， ∵垂直平分， ∴点M，点G关于直线对称， 故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为, 故的最小值是， 故②错误； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③ 正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 故选D． 【方法技巧与总结】 此类问题，包含①辅助线构造相似；②解直角三角形；③利用函数求最值；④动点与最短路径等问题。综合性强、难度大。辅助线构造相似三角形是解题关键。 1．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过秒时，与相似，则，，，根据，分和两种情况解答即可求解，掌握相似三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设经过秒时，与相似，则，， ∴， ∵， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，经过或时，与相似， 故选：． 2.如图，在中，，，点、分别在、上，，，交于点．则与的面积相等的三角形是 ，面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，连接，先证明得到，推出，进而得到，可得 ，求出面积的最大值即可求解，解题的关键是证明，推导出． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 当时，的面积最大，最大值， ∴的面积的最大值， 故答案为：，． 3．（2024·河南南阳·二模）如图，在矩形中，，，M、N分别是边上的动点且．连接．则最小值为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、平行四边形性质和判定的应用、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，平行四边形判定及性质，相似三角形判定及性质，最短距离问题．根据题意因不在一条直线上，只需将两条线转化在同一条直线上，作，使得，连接，由边的关系，继而当点三点共线时，有最小值，继而利用勾股定理和相似三角形即可得到本题答案． 【详解】解：过点作，使得，连接，令交于点， ∵矩形中，，， 设，则， 当三点共线时，的值最小， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点三点共线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴最小值为：10 故答案为：10． 4．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ）        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可由定理证，即可判定是等腰直角三角形，进而可得，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得；由此即可判断①正确；再根据，可判断③正确，进而证明，可得，结合，即可得出结论④正确，由随着长度变化而变化，不固定，可 判断②不一定成立． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确；        又∵,, ∴, ∴， ∵，即：， ∴， ∴，故③正确， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确， ∵若，则， 又∵， ∴， 而点E是上一动点，随着长度变化而变化，不固定， 而， 则故不一定成立，故②错误； 综上，正确的有①③④共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形＂三线合一＂的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键． 5．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，在异侧，且与相似，则下列结论： ①若，与相交于，则点必为的重心； ②若，则的最大值为； ③若，，则的长为； ④若，则当时，取得最大值． 其中正确的为(　　) A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】①依题意得为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当时，由得为边上的中线，故得为的重心；当时，连接交于，证四边形为平行四边形，则边上的中线，故得点为的重心；当时，连接交于，连接，此时不是边上的中线，故得点不是的重心，据此可对结论①进行判断；②依题意得当，且时，为最大，过点作交延长线于，先四边形为矩形，则，，再由与相似得，进而可求出的长，由此可对结论②进行判断；③先由，，，得，，，过点作交的延长线于，过点作于，过点作于，先求出，，证为的中位线得，，再分别求出，，，再证四边形为矩形，得，，，然后由勾股定理求出即可对结论③进行判断；④先求出，再由得，则，由此可得当时，取得最大值，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①，， 为等腰直角三角形， ，， 与相似， 有以下三种情况讨论如下： 当时，如图所示： ， 点，，在同一条直线上， 与相似， 为等腰直角三角形， ， 即为的边上的中线， 又点为的中点， 为的边上的中点， 与的交点为的重心； 当时，连接交于，如图所示： 与相似， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 四边形为平行四边形， ， 即为的边上的中线， 又点为的中点， 为的边上的中点， 与的交点为的重心； 当时，连接交于，连接，如图所示： 此时点不是的中点， 不是的边上的中线， 与的交点不是的重心， 故结论①不正确； ②，，， ， ， 由勾股定理得：， 与相似， 当，且时，为最大，如图所示， 过点作交延长线于， ，，， 四边形为矩形， ，， 与相似， ：：， 即， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 故结论②正确； ③，，， ，，， 过点作交的延长线于，过点作于， 过点作于，如图所示： 在中，，，则， ，， 点为的中点，， 为的中位线， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， 故结论③不正确； ④在中，，， 由勾股定理得：， ，如图所示： ：：， ， ， ， 当时，取最大值， 即当时，取最大值． 故结论④正确； 综上所述：正确的结论是②④． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的重心，勾股定理，二次函数的最值问题；熟练掌握相似三角形的性质，直角三角形的性质，理解三角形的重心，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 6．（2024·安徽合肥·三模）如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接． (1)求证：； (2)连接，如图2， ①若，求的长； ②若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)①   ② 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）过点E作交的延长线于点G，证明，即可得到结论； （2）①连接，证明,则，得到是等腰直角三角形，由（1）知：点Q是的中点，则，证明，则，得到，设，根据勾股定理，得，得到，，Q是的中点，即可得到；②过F作，证明四边形是矩形，进一步得到，设，则，证明，则，得到，求出，得到，证明，得到，则，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作交的延长线于点G， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）①解：如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， 由（1）知：点Q是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 根据勾股定理，得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵，Q是的中点， ∴； ②如图3，过F作， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$