第四章 锐角三角函数知识归纳与题型突破（10类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

第四章 锐角三角函数知识归纳与题型突破（题型清单） 1.三角函数的定义：在RtΔABC中,如∠C=90°，那么 sinA=； cosA=； tanA=； cotA=. 2．余角三角函数关系： “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°, 那么： sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB； cotA=tanB. 3. 同角三角函数关系： sin2A+cos2A =1； tanA·cotA =1. tanA= 4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小. 5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数值，要熟练记忆它们. ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 cotA 1 6.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边. 7．坡度： i = 1:m = h/l = tanα； 坡角: α. 8. 方位角： 9．仰角与俯角： 题型一　正弦、余弦 例题1-1：（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为 ． 例题1-2：（2024·湖南·三模）如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是 ． 巩固训练 1．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 2．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 4．（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点到的距离为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·云南·阶段练习）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 8．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知为锐角，则（    ）． A． B． C． D． 11．（2024·贵州·模拟预测）在中，是斜边，，，则 ． 12．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 13．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）中，，，，则的长为 ． 14．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，，则 ． 题型二　正切 例题：（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·山东济南·专题练习）中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（2023·广东清远·二模）季华路文华公园里的电视塔是佛山城市中轴线的标志性建筑物．如图，在地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为度，且点A，C，D在同一直线上，若测得米，则塔高是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（2024·广东·模拟预测）如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ． 6．（23-24九年级下·全国·单元测试）在中， 则的长为 ． 题型三　特殊角三角函数值的混合运算 例题：（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 巩固训练 1．（2024·上海浦东新·一模）计算： 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 4．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）计算下列各题： (1)． (2)． 5．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）（1）计算：. （2）. 6．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）计算：． 7．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）计算： (1)； (2)． 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）计算： 题型四　由特殊角三角函数值判断三角形形状 例题：（九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 巩固训练 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 4．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 5．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．（2023九年级下·全国·专题练习）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 7．（四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 题型五　已知角度比较三角函数值大小 例题：（九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 巩固训练 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·湖北襄阳·开学考试）s，， 的大小关系是(    ) A． B． C． D． 5．（2022九年级下·浙江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·上海杨浦·阶段练习） （选填“”或“”或“”） 7．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习） （填“或”）． 题型六　解直角三角形 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，、、的对边分别为a、b、c，由下列条件解直角三角形． (1)已知 ， ； (2)已知 ，． 巩固训练 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，． （1）若，，则 ， ， ； （2）若，，则AC的长为 ； （3）若，，则BC的长为 ． 4．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）根据下列条件解直角三角形． (1)在中，； (2)在中，． 5．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）在菱形中，，，，求． 6．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 题型七　解非直角三角形 例题：（九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，，求的长．（，） 巩固训练 1．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 2．（九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 3．（九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 4．（九年级下·广西桂林·阶段练习）如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则 ． 5．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 6．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 题型八　仰角、俯角问题 例题：（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 巩固训练 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：，，】 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆 的高度，在观测点A处观 测旗杆顶点E 的仰角为，接着小明朝旗杆方向前进了到达C 点，此时，在观测点D处观  测旗杆顶点E 的仰角为．假设小明的身高为，求旗杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414， 1.732) 3．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    4．（24-25九年级上·全国·课后作业）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点处时，测得米 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 5．（2024·陕西·模拟预测）小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号） 6．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 题型九　方位角问题 例题：（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 2．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． (1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） (2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）某市要在东西方向M，N两地之间修建一条道路．如图，C点周围范围内为文物保护区，在上点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走到达B处，测得C在B的北偏西方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？ 4．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 5．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 6．（九年级上·重庆沙坪坝·期中）随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处． (1)求的距离和点 D 到直线的距离； (2)若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ） 题型十　坡度、坡比问题 例题：（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 巩固训练 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 2．（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°，已知山坡的坡度，米，米． (1)求点距水平面的高度； (2)求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，） 4．（九年级上·重庆·阶段练习）某商场为方便顾客使用购物车，将滚动电梯的原坡面改造为坡面．已知改动后电梯的坡面长，原坡面坡角，新坡面的坡度． (1)求斜坡底部增加的长度；（结果保留根号） (2)电梯顶部水平线，电梯上方点处有悬挂广告牌，，．若高度的物品乘电梯上行，行进过程中是否会碰到广告牌的下端？请通过计算说明理由． 5．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图， 扶梯的坡比为 ， 滑梯的坡比为，平行于地面， 于点 于点 ．若 ，，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 锐角三角函数知识归纳与题型突破（题型清单） 1.三角函数的定义：在RtΔABC中,如∠C=90°，那么 sinA=； cosA=； tanA=； cotA=. 2．余角三角函数关系： “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°, 那么： sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB； cotA=tanB. 3. 同角三角函数关系： sin2A+cos2A =1； tanA·cotA =1. tanA= 4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小. 5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数值，要熟练记忆它们. ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 cotA 1 6.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边. 7．坡度： i = 1:m = h/l = tanα； 坡角: α. 8. 方位角： 9．仰角与俯角： 题型一　正弦、余弦 例题1-1：（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再求出，最后根据结合锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】如图，连接， ∵是斜边上的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 例题1-2：（2024·湖南·三模）如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查三角函数，勾股定理，根据，设，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】在中，， ∴， 设， ∵垂直平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为． 巩固训练 1．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦和余弦的定义． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B．    3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似．根据一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的度数没有发生变化，可以判断是否变化． 【详解】解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍， 的度数没有发生变化， 锐角的正弦值、余弦值没有变化， 故选：C 4．（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点到的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角函数的应用、点到直线的距离等知识点，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 如图：过点C作于点D，由三角函数定义可得，即可解答． 【详解】解：如图：过点C作于点D    在中，, ∴， ∴点到的距离为，故B正确． 故选：B． 5．（24-25九年级上·云南·阶段练习）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作进行计算即可．此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义． 【详解】解：，，， ∴， ， 故选：A． 6．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴由勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选：． 7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求角的余弦值，根据题意求出即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 9．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知为锐角，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后根据绝对值性质即可得到答案． 【详解】解：在直角三角形中，表示的邻边与斜边的比值，是小于1的， ， ， 故选：B． 11．（2024·贵州·模拟预测）在中，是斜边，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，根据勾股定理求出，根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，是斜边，，， 由勾股定理得，， 则， 故答案为： 12．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 【答案】5 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 13．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．利用三角函数值即可求出的长． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，根据，结合，设，则，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为6． 题型二　正切 例题：（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 ． 【答案】/ 【分析】可得是等腰直角三角形，设，由勾股定理得，则，故． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，由勾股定理得 ∴， ∴ 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024九年级上·山东济南·专题练习）中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可． 【详解】解：∵小正方形与每个直角三角形面积均为， ∴大正方形的面积为， ∴小正方形的边长为，大正方形的边长为， 设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中， ∴，其中， 解得：，(不符合题意，舍去)， ． 故选：B． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 4．（2023·广东清远·二模）季华路文华公园里的电视塔是佛山城市中轴线的标志性建筑物．如图，在地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为度，且点A，C，D在同一直线上，若测得米，则塔高是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，锐角的正切的含义，先求解，由可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，， ∴米， ∴， ∴米； 故选C 5．（2024·广东·模拟预测）如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，求正切值，等边对等角，结合题意，由正方形的性质可知，则，，再根据即可求解，熟练理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， 由题意可知，则， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级下·全国·单元测试）在中， 则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正切的定义得到，设，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：6． 题型三　特殊角三角函数值的混合运算 例题：（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，即可得出计算结果； （2）根据特殊角三角函数值，二次根式的性质，零指数幂以及负整数指数幂即可得出计算结果． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 巩固训练 1．（2024·上海浦东新·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，分母有理化，先代入特殊角的三角函数值，分母有理化，计算零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2)6.5 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合计算： （1）将特殊角三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数混合运算的能力，关键是代入并计算特殊角的三角函数值． （1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）计算下列各题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算、零指数幂的意义、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是∶ （1）利用零指数幂、绝对值的意义，特殊角的三角函数值化简计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再按照先算乘除后算加减的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）（1）计算：. （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、绝对值等考点的运算． （1）先代入特殊角三角函数值，再利用实数运算法则计算结果； （2）首先对特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）原式， ， ． 6．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再算加减即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝． 7．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． （1）先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【详解】解： 题型四　由特殊角三角函数值判断三角形形状 例题：（九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 巩固训练 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 2．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 3．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 4．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 6．（2023九年级下·全国·专题练习）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【答案】B 【分析】根据利用非负数的性质求得，再利用特殊角的三角函数值求出，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选：B． 7．（四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 题型五　已知角度比较三角函数值大小 例题：（九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 巩固训练 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【详解】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 3．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 4．（23-24九年级下·湖北襄阳·开学考试）s，， 的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于，大于，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知，，． 又，正弦值随着角的增大而增大， ． 故选D． 5．（2022九年级下·浙江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数间关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 6．（23-24九年级下·上海杨浦·阶段练习） （选填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数大小比较，数字规律探索，根据特殊角的三角函数的正弦与余弦值可得到互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，从而得出，再进行比较即可． 【详解】解：，，，，，， ，，，， 由此可得，互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习） （填“或”）． 【答案】 【分析】本题考查三角函数值大小的比较，掌握正切值随角度的增加而增加是解题关键． 利用正切的增减性解答． 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， ， ； 故答案为：． 题型六　解直角三角形 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，、、的对边分别为a、b、c，由下列条件解直角三角形． (1)已知 ， ； (2)已知 ，． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了解直角三角形以及正弦和余弦的定义，是基础知识要熟练掌握． （1）根据勾股定理先求出，再根据， 求出从而得出； （2）先求得再根据的余弦值求出，由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解： ， ∴或（舍去）， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 巩固训练 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 故选：A． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．由矩形与折叠的性质，得到，，利用锐角三角函数，得出，，，再根据同角的余角相等，得到，再结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：3． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，． （1）若，，则 ， ， ； （2）若，，则AC的长为 ； （3）若，，则BC的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角函数的定义、解直角三角形等知识，掌握三角函数的定义成为解题的关键 （1）先根据勾股定理求得的长，然后根据三角函数的定义即可解答； （2）先运用正弦的定义求得，然后再运用勾股定理即可解答； （3）直接运用正弦的定义解答即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴, ∴，，． 故答案为：、、． （2）∵，， ∴,即，解得：， ∴． 故答案为． （3）∵，， ∴，即，解得：． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）根据下列条件解直角三角形． (1)在中，； (2)在中，． 【答案】(1)，， (2)，，， 【分析】本题考查的是解直角三角形，掌握解直角三角形的含义是解本题的关键． （1）根据勾股定理求出的长度，再根据特殊三角形的三角函数求出的度数，再由三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形内角和定理求出的度数， 【详解】（1）解：根据勾股定理可得， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 5．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）在菱形中，，，，求． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形中三角函数的应用．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】解：， 设， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，由正切的定义求出，再根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，． 题型七　解非直角三角形 例题：（九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，，求的长．（，） 【答案】 【分析】过C作，交的延长线于点D．由题意易得，然后根据解直角三角形可进行求解． 【详解】解：过C作，交的延长线于点D． ∵，， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴． 巩固训练 1．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 2．（九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 3．（九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 【答案】30 【分析】本题考查了特殊角的函数值，熟练掌握解斜三角形是解题的关键．过点A作于点D，利用三角函数计算，后计算速度即可． 【详解】如图，过点A作于点D， 根据题意，得，，， ∴，， 解得， ∵汽车从处行驶到处所用的时间为， ∴， 故答案为：30． 4．（九年级下·广西桂林·阶段练习）如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则 ． 【答案】 【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵小正方形的边长为， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 6．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 题型八　仰角、俯角问题 例题：（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【答案】约为71米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），． ∵, ∴为等腰直角三角形． ∴（米）． 在中，，得 （米） ∴ （米）．   答：乙楼的高度约为71米． 巩固训练 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：，，】 【答案】旗杆的高约为米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据于E，利用正切的概念求出的长，结合图形计算即可． 【详解】解：由题意得，于E， 米，， 在中，（米）， （米）， 答：旗杆的高约为米． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆 的高度，在观测点A处观 测旗杆顶点E 的仰角为，接着小明朝旗杆方向前进了到达C 点，此时，在观测点D处观  测旗杆顶点E 的仰角为．假设小明的身高为，求旗杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414， 1.732) 【答案】约 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——仰角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，是解决问题的关键． 延长交于点G，设，证明四边形是矩形，，得到，得到，得到，根据，得到，求得，根据，即得故旗杆的高度约． 【详解】解：延长交于点G，设， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 故旗杆的高度约． 3．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    【答案】米 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴四边形和四边形为矩形， ∴米，米，，， ∴（米）， 设，则米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点处时，测得米 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 如图：延长交于点，根据矩形的性质得到，再解直角三角形得到、；设，则，然后列关于x的方程求解即可． 【详解】解：如图：延长交于点，则四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设． ， ， ，解得， （米）． 答：点A到地面的距离的长约为27米． 5．（2024·陕西·模拟预测）小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号） 【答案】大楼乙的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，在中，通过算得，在中，通过算得，最后通过，算得答案． 【详解】如图，过点作，垂足为 根据题意可知， 在中， 在中， 故大楼乙的高度为． 6．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：米，米，，， ， ， ， 在中，米， 在中，米， 米， 米， 小李到古塔的水平距离即的长为米． 题型九　方位角问题 例题：（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 【答案】(1)、两地的距离约为339.4米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点作于点，可求出，利用含的直角三角形的性质得出，在中，利用正弦定义可求出，即可求解； （2）过点作于点，在中，利用正弦定义可求出、，在中，利用含的直角三角形的性质可求出，即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意知，， ，， ，， 在中，米， （米）， （米）． 答：、两地的距离约为339.4米； （2）解：过点作于点， 由（1）得（米）， ，，， ， ， 在中，，， （米）， 在中，， （米）， （米）． 2．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． (1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） (2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】(1)小山与亭台之间的距离米 (2)小玲先到达寺庙处 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）作于点，在中求出，然后在中即可求解； （2）延长，作于点，作于点，则，在中求出，米，在中求出，，进而求出两人行走的路程可得答案． 【详解】（1）作于点， 由题意知，，，，， 在中， 在中，，， 小山与亭台之间的距离米 （2）延长，作于点，作于点，则， 由题意知，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴， 在中，，米， 在中，， 米， 米， 且两人速度一致， 小玲先到． 答：小玲先到达寺庙处． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）某市要在东西方向M，N两地之间修建一条道路．如图，C点周围范围内为文物保护区，在上点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走到达B处，测得C在B的北偏西方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？ 【答案】不能．理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点C作于点D，求出C到的距离为并与比较即可得出结论． 【详解】解：不能．理由如下： 由题意可得， 设C到的距离为，如图，过点C作于点D， 则， 则有， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴不穿过文物保护区． 4．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 5．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】平方海里 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．过点作于点，海里，根据锐角三角函数的概念求出的值，再求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：（海里）， , , 设海里， 中，， ， ， ， （海里）， 的面积（平方海里） 6．（九年级上·重庆沙坪坝·期中）随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处． (1)求的距离和点 D 到直线的距离； (2)若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ） 【答案】(1)的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里 (2)可以侦测到菲律宾渔船，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用： （1）作于E，于F，根据方向角和锐角三角函数的定义求出，求出，根据题意求出，根据正弦的定义求出； （2）设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，分别求出的长，勾股定理求出的长，判断即可． 【详解】（1）解：作于E，于F， 由题意得，，设海里， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里； （2）能，理由如下： 设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，则，， 由（1）知， ∴，， 由勾股定理，得： 故可以侦测到菲律宾渔船． 题型十　坡度、坡比问题 例题：（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【答案】(1)坡顶C到地面的距离为10米； (2)边靖楼AB的高度为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——坡比，仰角、俯角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，证明四边形是矩形，根据坡比设，则，在中，由勾股定理求得，即得坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米，中，求得，得到，；根据等腰直角三角形性质得到，解得， 即得边靖楼的高度为米． 【详解】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设， 则， ∵在中，米，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 即坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米， ∵， ∴在中，， 由（1）知，，， ∴，； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 即边靖楼的高度为米． 巩固训练 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 2．（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ； (2)改建后需占路面宽度 的长为 【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度坡角的正切值． （1）作于点，根据坡度的概念求出； （2）过点A作，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长． 【详解】（1）作于点， ， ∵斜面的坡度为 ， , , 答：点到地面的距离为； （2）作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ， ∵斜面的坡角， ， ， , 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°，已知山坡的坡度，米，米． (1)求点距水平面的高度； (2)求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，） 【答案】(1)5米 (2)宣传牌高约为2.7米 【分析】本题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）在中，通过解直角三角形求出； （2）过B作的垂线，设垂足为G，在中解直角三角形求出的长，进而可求出，即的长，在中，，则，由此可求出的长，然后根据即可求出宣传牌的高度． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴米； （2）解：过B作于G， 由（1）得，米，米， ∴米， 在中，， ∴米； 在中，，米， ∴米， ∴米， 所以，宣传牌高约为2.7米 4．（九年级上·重庆·阶段练习）某商场为方便顾客使用购物车，将滚动电梯的原坡面改造为坡面．已知改动后电梯的坡面长，原坡面坡角，新坡面的坡度． (1)求斜坡底部增加的长度；（结果保留根号） (2)电梯顶部水平线，电梯上方点处有悬挂广告牌，，．若高度的物品乘电梯上行，行进过程中是否会碰到广告牌的下端？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)会碰到，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）先解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长，进一步求出的长即可； （2）延长交于点，过点作于点，求出的长，进而求出的长，再求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵新坡面的坡度 ∴， 设，则：， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）会，理由如下： 延长交于点，过点作于点，由题意，得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴会碰到． 5．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 【答案】建筑物的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出，的长是解题关键．根据坡度，勾股定理，可得的长，再根据平行线的性质，可得，根据同角三角函数关系，可得∠1的正切，根据正切的含义，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：作于E点，作于F点，如图，设，， 则，，， 由勾股定理，得， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴建筑物的高度约为米． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图， 扶梯的坡比为 ， 滑梯的坡比为，平行于地面， 于点 于点 ．若 ，，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 【答案】她经过的总路程为：． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知坡比的定义．首先在直角三角形中求得和，然后就可以知道的长，然后在直角三角形中求得的长即可． 【详解】解：∵扶梯的坡比（与长度之比）为，， ∴， ∴， ∵平行于地面， 于点 于点 ． ∴四边形为矩形， ∴， ∵的坡比（与长度之比）为， ∴， ∴， ∴她经过的总路程为： ． 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】(1) (2)叶片顶端C离水平地面的距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用坡比可求出、的长，在或中，利用和的正切值分别求出、的长即可得答案； （2）过点作于点，于，可得四边形是矩形，根据旋转的性质得出，利用的余弦值可求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵垂直于水平地面， ∴， ∵坡比， ∴， 设，则， ∵坡面长， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴，， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴． 由题意得：， ∴， ∴． （2）如图，过点作于点，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵叶片绕点顺时针转动， ∴， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． ∴叶片顶端离水平地面的距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$