专题4.4 二次函数综合题必考十大类型（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（沪科版）

专题4.4 二次函数综合题必考十大类型 【沪科版】 【类型1 二次函数与线段问题】 1 【类型2 二次函数与面积问题】 11 【类型3 二次函数与角度问题】 23 【类型4 二次函数与等腰三角形问题】 34 【类型5 二次函数与直角三角形问题】 49 【类型6 二次函数与平行四边形问题】 58 【类型7 二次函数与矩形问题】 69 【类型8 二次函数与菱形问题】 80 【类型9 二次函数与正方形问题】 91 【类型10 二次函数中的定值问题】 102 【类型1 二次函数与线段问题】 1．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为　 　． 【分析】CD的最大值即为点C的纵坐标减去点D的纵坐标，据此列出CD的表达式，为关于x的二次函数，求出二次函数的最大值即可． 【解答】解：根据题意得，CD＝2x+1﹣x2＝﹣x2+2x+1＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+1＝﹣（x2﹣2x+1）+2＝﹣（x﹣1）2+2， 可见CD的最大值为2． 故答案为2． 2．抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图，当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标． 【分析】（1）根据题意，令y＝0，得出x2﹣2x﹣3＝0，解出即可得出A，B两点的坐标； （2）分两种情况：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1；②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2、D3，D2、D3符合条件，然后构建方程组分别求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边）， ∴令y＝0，可得：x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x＝3或﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）解：∵OP＝OA＝1， ∴P（0，1）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把A（﹣1，0），P（0，1）代入，可得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+1， ①如图，若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线的交点，即为D1， ∵BD1∥AC， ∴设直线BD1的解析式为y＝x+m， 又∵B（3，0）， ∴可得：0＝3+m， 解得：m＝﹣3， ∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3， ∵直线BD1与抛物线相交于点D1， ∴可得：， 解得：或， ∴D1（0，﹣3）， ∴点D的横坐标为0； ②如图，若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2、D3，D2、D3符合条件， ∵直线l平行于直线AC， ∴设直线l的解析式为y＝x+n， 又∵G（0，5）， ∴n＝5， ∴直线l的解析式为y＝x+5， 又∵直线l与抛物线相交于点D2、D3， ∴可得：， 整理，可得：x2﹣3x﹣8＝0， 解得：或， ∴D2、D3的横坐标为或， 综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，． 3．如图，二次函数y＝x2﹣4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，﹣3），与y轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标； （2）点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．当时，求m的值． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由题意可知：点P，D的坐标分别为 P（m，m2﹣4m），D（m，m﹣4），由PDCO＝2，即可求解． 【解答】解：（1）对于y＝x2﹣4x，当y＝0时，﹣x2+4x＝0， 解得x1＝0，x2＝4． 则点A的坐标为：（4，0）， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x﹣4， 则点C（0，﹣4）； （2）由题意可知：点P，D的坐标分别为 P（m，m2﹣4m），D（m，m﹣4）， ∵点C的坐标为（0，4）， 则OC＝4， 则PDCO＝2， 即|m2﹣4m﹣m+4|＝2， 解得：m或2或3（不合题意的值已舍去）． 4．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线在第四象限上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F （1）用含m的代数式表示线段PF的长度，并求出其最大值； （2）若EF：FP＝2：3，求点P的坐标． 【分析】（1）由抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征得出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据点P的横坐标，找出点P、F的坐标，由此即可得出PF关于m的函数关系式，利用配方法即可得出最值； （2）根据P、F的坐标即可得出EF、PF的长度，结合EF：FP＝2：3即可得出m的值，将其代入点P的坐标中即可得出结论． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； 当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3． ∵点P的横坐标为m， ∴P（m，m2﹣2m﹣3）． 当x＝m时，y＝m﹣3（0＜m＜3）， ∴F（m，m﹣3）． ∴PF＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m． ∵PF＝﹣m2+3m，﹣1＜0， ∴PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），当m时，PF取最大值． （2）∵F（m，m﹣3），FE⊥x轴， ∴EF＝﹣（m﹣3）＝3﹣m， ∵， ∴m， 此时点P的坐标为（，）． 5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线yx+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）写出线段CE的长（用含有m的代数式表示）； （3）若PE＝5EF，求m的值； 【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式； （2）先根据坐标轴上点的坐标特征确定C（0，3），D（4，0），则CD＝5，设P（m，﹣m2+4m+5），则E（m，m+3），F（m，0），根据平行线分线段成比例定理，由EF∥OC得到CE：m＝5：4，则CEm（0＜m＜5）； （3）先用m表示PE、PF得到PE＝﹣m2m+2，EF＝|m+3|，再利用PE＝5EF得到﹣m2m+2＝5|m+3|，然后讨论得到两个关于m的一元二次方程，再解方程求出满足条件的m的值； 【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），即y＝﹣x2+4x+5； （2）当x＝0时，yx+3＝3，则C（0，3）， 当y＝0时，x+3＝0，解得x＝4，则D（4，0）， 所以CD5， 设P（m，﹣m2+4m+5），则E（m，m+3），F（m，0）， ∵EF∥OC， ∴CE：OF＝CD：OD，即CE：m＝5：4， ∴CEm（0＜m＜5）； （3）存在． PE＝﹣m2+4m+5﹣（m+3）＝﹣m2m+2，EF＝|m+3|， ∵PE＝5EF， ∴﹣m2m+2＝5|m+3|， 当﹣m2m+2＝5（m+3），解得m1＝6.5（舍去），m2＝2， 当﹣m2m+2＝﹣5（m+3），解得m1（舍去），m2， 综上所述，m的值为2或； 6．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+c（a，c是常数，且a≠0）． （1）若该二次函数的图象经过点（1，0）和（5，4），求该二次函数的表达式； （2）若a﹣c＝1，且该二次函数图象经过第一、二、四象限，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，若该二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C（点B在点C左侧），线段MN在抛物线的对称轴上移动（点N在点M下方），且MN＝1．求MA+NB的最小值． 【分析】（1）由待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）由二次函数图象与性质得到；，从而确定a的取值范围； （3）过点A作对称轴的垂线交二次函数的图象于点A′，过点A′作A′A″平行于对称轴，且使A′A″＝MN＝1，连接NA″交对称轴于N，如图所示，从而由对称性确定当点B，N，A″在一条直线上时，MA+NB的值最小，此时MA+NB＝A″B，结合已知条件及所得结论，求出、B（1，0），最后根据两点之间距离公式代值求解即可得到答案． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象经过点（1，0）和（5，4），代入得： ， 解得， ∴二次函数表达式为； （2）∵图象经过第一、二、四象限， ∴a＞0，且二次函数的对称轴， 解得； ∵a﹣c＝1， ∴c＝a﹣1≥0， ∴Δ＝（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）＝﹣8a+9＞0， 解得； 综上所述，a的取值范围为； （3）二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C（点B在点C左侧），线段MN在抛物线的对称轴上移动（点N在点M下方），过点A作对称轴的垂线交二次函数的图象于点A′，过点A′作A′A″平行于对称轴，且使A′A″＝MN＝1，连接NA″交对称轴于N，如图所示： ∴四边形A′A″NM是平行四边形， ∴NA″＝MA′， 由抛物线的对称性知点A，A′关于对称轴对称， ∴MA＝MA'， ∴MA＝MA′＝NA″， ∴MA+NB＝NA″+NB， 当点B，N，A″在一条直线上时，MA+NB的值最小，此时MA+NB＝A″B， 由（1）得， ∴对称轴是直线x＝2， 当x＝0时，， ∴点，点，点， 当y＝0时，， 解得x＝1或x＝3， ∵点B在点C左侧， ∴点B（1，0）， ∴MA+NB的最小值． 7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）在抛物线解析式中，令x＝0可求得点C坐标，令y＝0则可求得A、B的坐标； （2）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，则可表示出点M坐标，则可求得PM的长，从而可用t表示出△BCM的面积，再利用二次函数的性质可求得当△BCM面积最大值时t的值，可求得点M坐标； （3）由（2）可知点N坐标，设点Q坐标为（1，m），则可用m分别表示出QN、QC及CN，分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于m的方程，可求出m的值，可求得点Q坐标． 【解答】解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 令y＝0，则y﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∴B（3，0）； （2）设BC的表达式为y＝kx+b，则，解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3， 设点P的坐标为（t，﹣t+3），则点M的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t）2， t时，PM最大， 此时点M坐标（，）； （3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴设Q（1，m），且C（0，3），N（，0）， ∴CN，CQ， NQ， ∵△CNQ为直角三角形， ∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况， ①当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2＝NQ2 即（）2+（m2﹣6m+10），解得：m， 此时点Q坐标为（1，）， ②当点Q为直角顶点时，则有CQ2+NQ2＝CN2， 即（m2﹣6m+10）（）2，解得：m1，m2， 此时点Q坐标为（1，）或（1，）， ③当点N为直角顶点时，则有CN2+NQ2＝CQ2， 即（）2（m2﹣6m+10），解得：m， 此时点Q坐标为（1，）， 综上所述，点Q坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）． 【类型2 二次函数与面积问题】 1．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0）、B（2，6）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点P在抛物线上，且在直线l上方，若△PAB的面积为，求点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作PE∥y轴，交直线AB于点E，设E（m，2m+2），P（m，﹣2m2+4m+6），然后根据可求解． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（2，6）代入二次函数解析式y＝﹣2x2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6； （2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+n（k≠0）， 将A（﹣1，0）、B（2，6）代入得， 解得， ∴直线AB的函数解析式为y＝2x+2； 如图，过点P作PE∥y轴，交直线AB于点E． 设E（m，2m+2），P（m，﹣2m2+4m+6）， PE＝﹣2m2+4m+6﹣（2m+2）＝﹣2m2+2m+4， ∴ ， ∵△PAB的面积为， ∴，整理得（2m﹣1）2＝0， 解得． ∴， ∴点P坐标为． 2．如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线AC的函数解析式为． （1）求点A，C的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标． 【分析】（1）在直线yx+2中分别令x＝0和y＝0，可得A和C的坐标； （2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式； （3）方法一：过M点作MH⊥x轴，与AC交于点N，设则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标； 方法二：连接OM，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标． 【解答】解：（1）对于一次函数． 令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝4， ∴A（0，2），C（4，0）； （2）将A（0，2），C（4，0）代入得： ， 解得， ∴； （3）方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线x＝1， ∴B（﹣2，0）， ∴S△ABC2×6＝6， 如图1，过点M作直线l∥y轴交直线AC于点N， 设则， ∴， ∴， ∵0＜a＜4， ∴当a＝2时，四边形ABCN最大值为8且M（2，2）； 方法二：由（1）知：， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1， ∵C（4，0），∴B（﹣2，0）， 如图2，连接OM，设， ∴S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△COM 2×22a4（a+2） 2a+6 8， ∴当a＝2时，四边形ABCM的面积有最大值，最大值为8，此时M（2，2）． 3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5， 得：， 解得， 则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）能． 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 把C（0，5），B（5，0）代入得， 解得， 所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5， 设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5）， ∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5， 当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3， 整理得3x2﹣17x+10＝0， 解得x1，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）； 当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2， 整理得2x2﹣13x+15＝0， 解得x1，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）； 综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分； 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若点P在直线BC的上方，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）设出点P的坐标，连接AP、BP，利用二次函数图象上点坐标特征和三角形的面积作答； （3）设出点P的坐标，作辅助线，表示出三角形PCQ和三角形PBQ的面积，即可求解． 【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得， 故二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图，连接AP、BP， 由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，则可设P（t，﹣t2+2t+3）． 由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）知，该抛物线与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4． ∴S△ABPAB•|yP|4×|﹣t2+2t+3|＝10． 整理，得t2﹣2t+2＝0或t2﹣2t﹣8＝0． 方程t2﹣2t﹣2＝0中的Δ＝4﹣8＝﹣4＜0，故该方程无解； 解方程t2﹣2t﹣8＝0得到：t1＝4，t2＝﹣2． 故点P的坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）； 答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （3）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q， 设P（x，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 则Q（x，﹣x+3）， ∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x． ∴S△BPC＝S△BPQ+S△CPQQP•OB（﹣x2+3x）×3（x）2， 当x时，△BPC的面积最大， 此时，点P的坐标为（，）． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a＞0）与x轴交于A（4，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D是第四象限抛物线上的动点，令四边形ABCD的面积为S，求S的最大值及此时点D的坐标； （3）如图2，点P是第三象限抛物线上一点，直线BE∥AP交y轴于点E，直线BP交y轴于点F，若四边形AEBF的面积被坐标轴分为1：2两部分，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解； （2）连接OD，设点D的坐标为，根据S＝S△BOC+S△OCD+S△OAD解答即可求解； （3）设，直线BP的表达式为yBP＝k1x+b1，直线AP的表达式为yAP＝k2x+b2，求出BP、AP的解析式，求出OF，再求出EP的解析式，求出OE，分两种情况：①四边形AEBF的面积被y轴分为1：2两部分；②四边形AEBF的面积被x轴分为1：2两部分；进行解答即可求解． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a＞0）与x轴交于A（4，0），B（﹣3，0）两点，将A，B点的坐标代入y＝ax2+bx﹣4得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）点D是第四象限抛物线上的动点，令四边形ABCD的面积为S，连接OD，如图1，设点D的坐标为， 则S＝S△BOC+S△OCD+S△OAD ， ∵m＞0，， ∴当m＝2时，S最大，最大值为，此时点D的坐标为； （3）点P是第三象限抛物线上一点，直线BE∥AP交y轴于点E，直线BP交y轴于点F，设，直线BP的表达式为yBP＝k1x+b1，直线AP的表达式为yAP＝k2x+b2， ∵A（4，0），B（﹣3，0）， ∴， 解得， ∴， 同理可得， ∴F（0，t﹣4）， ∴OF＝4﹣t， ∵BE∥AP， ∴设BE的表达式为，代入B（﹣3，0），得b3＝t+3， ∴， ∴E（0，t+3）， ∴OE＝t+3， ①当四边形AEBF的面积被y轴分为1：2两部分时， ∵S△BEF：S△AEF＝OB：OA＝3：4≠1：2， ∴此情况不成立； ②当四边形AEBF的面积被x轴分为1：2两部分时， （ⅰ）当S△ABE：S△ABF＝OE：OF＝2：1时，（t+3）：（4﹣t）＝2：1， ∴， ∵点P在第三象限， ∴﹣3＜t＜0， ∴此情况不成立； （ⅱ）当S△ABE：S△ABF＝OE：OF＝1：2时，（t+3）：（4﹣t）＝1：2， ∴， 此时； 综上，点P的坐标为． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6交x轴于A（﹣2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C，点Q为线段BC上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求QA+QO的最小值； （3）过点Q作QP∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值． 【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx﹣6交y轴于点C，可得C（0，﹣6），运用待定系数法设y＝a（x+2）（x﹣6），将C（0，﹣6）代入，即可求得答案； （2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，由O、O′关于直线BC对称，得出四边形BOCO′是正方形，根据QA+QO′≥AO′，QO′＝QO，得出答案； （3）连接PC，过点P作PH⊥BO于点H，设P（m，m2﹣2m﹣6），由S＝S1+S2＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PCQ+S△PBQ＝S△PBC＝S梯形PCOH+S△PBH﹣S△BOC，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（6，0）两点， ∴设y＝a（x+2）（x﹣6）， ∵抛物线y＝ax2+bx﹣6交y轴于点C， ∴C（0，﹣6）， 将C（0，﹣6）代入得， 得：﹣12a＝﹣6，B 解得：a， ∴y（x+2）（x﹣6）x2﹣2x﹣6， ∴抛物线的解析式为yx2﹣2x﹣6； （2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′， ∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°， ∴∠BCO＝45°， ∵O、O′关于直线BC对称， ∴BC垂直平分OO′， ∴OO′垂直平分BC， ∴四边形BOCO′是正方形， ∴O′（6，﹣6）， 在Rt△ABO′中，AO′10， ∵QA+QO′≥AO′，QO′＝QO， ∴QO+QA＝QA+QO′≥AO′＝10，即点Q位于直线AO′与直线BC交点时，QA+QO的最小值为10； （3）如图，连接PC，过点P作PH⊥BO于点H， ∵PQ∥AC， ∴△PAQ与△PCQ的面积相等， ∴S＝S1+S2＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PCQ+S△PBQ＝S△PBC＝S梯形PCOH+S△PBH﹣S△BOC， 设P（m，m2﹣2m﹣6）， 则S（m2+2m+6+6）m（6﹣m）（m2+2m+6）6×6m2+9m（m﹣3）2， 由题意，得0＜m＜6， ∴当m＝3时，S最大， 即点P的坐标为（3，）时，S有最大值． 【类型3 二次函数与角度问题】 1．如图，抛物线yx2与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P（1，﹣3）在抛物线上，D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标． 【分析】根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标． 【解答】解：如图， 抛物线yx2与x轴交于A，B两点， 令y＝0，0x2， x1＝﹣4，x2＝4． ∴A（﹣4，0），B（4，0）， 当点D在OP左侧时，如图： 由∠D1PO＝∠POB，得D1P∥OB， ∴D1与P关于y轴对称，且P（1，﹣3）， ∴D1（﹣1，﹣3）； 当点D在OP右侧时，延长PD2交x轴于点G． 作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3． ∵∠D2PO＝∠POB， ∴PG＝OG． 设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1． 在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5． ∴点G（5，0）． ∴直线PG的解析式为yx， 解方程组得或． ∵P（1，﹣3）， ∴D2（，）． ∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（，）． 2．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在第四象限的抛物线上求点P，使∠PCB＝∠CAB，求出点P的坐标． 【分析】证明△GKA≌△AOC（AAS），得到点G（﹣3，﹣1），C（0，﹣2），求出直线CG的解析式为yx﹣2，即可求解． 【解答】解：对于y＝x2﹣x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， 令y＝0，即x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或x＝2， ∴A（﹣1，0），B（2，0）； 如图，延长PC交x轴负半轴于点H，过点A作AG⊥AC交CH于点G，过点G作GK⊥x轴于点K． ∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，∠PCB+∠ACG+∠ACB＝180° 又∵∠CAB＝∠PCB， ∴∠ACG＝∠ABC＝45°， ∴∠ABC＝∠AGC＝45°， ∴AG＝AC， 又∠GAK+∠OAC＝∠OAC+∠ACO＝90°， ∴∠GAK＝∠ACO， ∴△GKA≌△AOC（AAS）， ∴AK＝OC＝2，KG＝OA＝1， ∴OK＝3， ∴G（﹣3，﹣1）， ∵点G（﹣3，﹣1），C（0，﹣2）， ∴直线CG的解析式为yx﹣2， 联立，解得：（不合题意的值已舍去）， ∴P（，）． 3．如图，抛物线yx2x﹣2与x轴交于点A和B两点，点C（6，4）在抛物线上，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标． 【分析】依据题意，由∠DCA＝2∠CAB，得到∠CAB＝∠CMA，则CA＝CM，进而求解． 【解答】解：延长DC交x轴于点M， ∵∠DCA＝2∠CAB， ∴∠CAB＝∠CMA． ∴CA＝CM． ∵抛物线yx2x﹣2与x轴交于点A，B， ∴A（﹣2，0），B（4，0）． 过点C作CQ⊥AM于点Q， ∴QM＝AQ＝8． ∴点M坐标为（14，0）． 由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：yx+7， 令yx+7x2x﹣2， 解得x＝﹣6或6（舍去）， ∴x＝﹣6，y（﹣6）+7＝10． ∴点D坐标为（﹣6，10）． 4．如图，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标． 【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D，先求得直线AB′的解析式，进而求得BD的解析式，然后联立方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由可得： 当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，2）， 把A、B的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）如图，取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D， ∵B、B′关于x轴对称， ∴AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC， 设AB′：y＝kx﹣2， 代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k， 则BD：yx+2， 联立方程得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴D点的坐标为（﹣2，3）． 5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值及点P的坐标； ②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝x+1，如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），PG＝t+1﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，根据S△PBCPG（xC﹣xB），即可求解； ②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）代入抛物线y＝ax2+bx+5， 得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①； （2）①令y＝0，得x2+6x+5＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5， ∴点C（﹣1，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B、C的坐标代入得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x+1…②， 如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G， 设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5）， ∴PG＝t+1﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4， ∴S△PBCPG•（xC﹣xB）（﹣t2﹣5t﹣4）×3t2t﹣6（t）2， ∵0， ∴S△PBC有最大值，当t时，其最大值为，此时P（，）； ②∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4， ∴顶点D（﹣3，﹣4）， 设直线BP与CD交于点H， 当点P在直线BC下方时， ∵∠PBC＝∠BCD， ∴点H在BC的中垂线上， ∵线段BC的中点坐标为（，），过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1， 设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（，）代入上式得（）+m， 解得：m＝﹣4， ∴直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③， 设直线CD的解析式为y＝k′x+b′，把C（﹣1，0），D（﹣3，﹣4）代入得：， 解得：， ∴直线CD的解析式为：y＝2x+2…④， 联立③④得：， 解得：， ∴点H（﹣2，﹣2）， 设直线BH的解析式为y＝k″x+b″，则， 解得：， ∴直线BH的解析式为：yx﹣1…⑤， 联立①⑤得， 解得：，（舍去）， 故点P（，）； 当点P（P′）在直线BC上方时， ∵∠PBC＝∠BCD， ∴BP′∥CD， 则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5， 即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥， 联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4）， 故点P（0，5）； 综上所述，点P的坐标为P（，）或（0，5）． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）△BCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线AQ与直线BC交于点Q，若存在∠AQB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点B和点C的坐标代入抛物线，即可得抛物线表达式，抛物线的表达式化为顶点式即可得其顶点坐标； （2）由三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答； （3）需要分两种情况，当∠AQB＝2∠ACB及∠ACB＝2∠AQB，再根据题目中条件求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点B（﹣3，0）、C（0，﹣3）， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3． ∵y＝x2+2x﹣3＝﹣（x+1）2﹣4， 即顶点坐标为：（﹣1，﹣4）； （2）如图1，过点P作PD∥y轴，交BC于点D， ∵B（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3， 设点P的坐标为（p，p2+2p﹣3），则D的坐标为（p，﹣p﹣3）， ∴PD＝﹣p﹣3﹣p2﹣2p+3＝﹣p2﹣3p， ∴S△BCP3（﹣p2﹣3p）（p）2， ∴当p时，△BCP面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）； （3）设Q（m，﹣m﹣3）， Ⅰ，当∠AQB＝2∠ACB，如图2， ∵∠AQB＝∠ACB+∠QAC， ∴∠EQAC＝∠ACQ， ∴AQ＝CQ，即点Q在线段AC的垂直平分线上， ∵抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．令y＝0，则x2+2x﹣3＝0． 解得x＝﹣3或1， ∴A（1，0），C（0，﹣3）， ∴（1﹣m）2+（﹣m﹣3）2＝m2+（﹣m﹣3+3）2，解得m， ∴点Q的坐标为（，）； Ⅱ，当∠ACB＝2∠AQB时，如图3， ∵∠ACB＝∠AQB+∠CAQ， ∴∠AQB＝∠CAQ， ∴AC＝CQm2+（﹣m﹣3+3）2， ∴m2+（﹣m﹣3+3）2＝（）2， ∴m或（舍去）， ∴点Q的坐标为（，3）； 当∠AC′C＝∠ACB＝2∠AQ′B时，AC′＝AC，C′Q′＝AC′， 设C′（n，﹣n﹣3）， ∴（1﹣n）2+（﹣n﹣3）2＝（）2，解得n＝﹣2或0（舍去）， ∴C′（﹣2，﹣1）， ∴（﹣2﹣m）2+（﹣m﹣3+1）2＝（）2， ∴m＝﹣2或﹣2（舍去）， ∴点Q的坐标为（﹣2，1）； 综上，点Q的坐标为（，）或（，3）或（﹣2，1）． 【类型4 二次函数与等腰三角形问题】 1．综合与探究 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，直线l与抛物线交于B，D两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求△BCD的面积； （3）若抛物线的对称轴与直线l的交点为N，则在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BMN是以MN为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设直线l的解析式为：y＝px+q，利用待定系数法求出直线l的解析式为，进而得到，根据抛物线的解析式求出点C坐标，得到，最后根据，即可求解； （3）设抛物线的对称轴与x轴的交点为P，抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，得到P（1，0），N（1，1），设M（1，a），分两种情况讨论：当BN＝MN时，当BM＝MN时，结合勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）解：将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）将代入y＝﹣x2+2x+3得：， ∴， 设直线l的解析式为：y＝px+q， 将点，B（3，0）代入得： ，解得： ，∴直线l的解析式为：， 在中，令x＝0，则， ∴， 在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∴， ∵，B（3，0）， ∴； （3）存在，点M的坐标为或或，理由如下： 设抛物线的对称轴与x轴的交点为P， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线， ∴P（1，0）， 把x＝1代入直线中得：， ∴N（1，1）， ∴PN＝1，BP＝3﹣1＝2， ∴， 设M（1，a）， 当BN＝MN时，， 解得：或， ∴或， 当BM＝MN时， 在Rt△PBM3中，由勾股定理可得： BP2， 即（1﹣a）2＝a2+22， 解得：， ∴， 综上所述，存在，点M的坐标为或或，使△BMN是以MN为腰的等腰三角形． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m． （1）求直线BC的解析式； （2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 【分析】（1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求直线BC的解析式即可； （2）利用等腰三角形定义分类求解即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）， ∴﹣4a＝﹣4， 解得：a＝1， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3， 令x＝0得y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+3， 将点B（3，0）代入得：0＝3k+3， 解得：k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3； （2）∵点P的横坐标为m，点P在线段BC上， ∴P（m，﹣m+3），（0≤m≤3）， ∴设新抛物线的解析式为y＝s（x﹣m）2﹣m+3， ∵点A（1，0）、点B（3，0）， ∴PA2＝（m﹣1）2+（﹣m+3）2，PB2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，AB2＝4． 分情况讨论： （1）当PA＝PB时，则（m﹣1）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2， 解得m＝2， 此时，P（2，1）， ∴新抛物线的解析式为y＝s（x﹣2）2+1， ∵新抛物线经过原点， ∴0＝4s+1， 解得， ∴新抛物线的解析式为； （2）当PA＝AB时，（m﹣1）2+（﹣m+3）2＝4， 解得m1＝1，m2＝3（此时P与B重合，舍去）， ∴P（1，2）， ∴新抛物线的解析式为y＝s（x﹣1）2+2， ∵新抛物线经过原点， ∴0＝s+2， 解得s＝﹣2， ∴新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+2． 综上所述，新抛物线的解析式为或y＝﹣2（x﹣1）2+2． 3．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，DP的长最大？ （3）是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）先求出直线AB的解析式，再设出点P的坐标，然后求出点D的坐标，再列出PD的长度的表达式，确定PD取最大值时求出点P的坐标即可； （3）先设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据抛物线的对称性表示出PE的长度，列出关于点P的横坐标的方程，求出点P的横坐标，即可确定点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴A（0，3）， ∴直线AB解析式为y＝x+3， ∵点P在线段AB上方抛物线上， ∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）， ∴D（t，t+3）， ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵a＝﹣1＜0， ∴当时，DP的长最大， 此时，点P的坐标为（，）； （3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形， 设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）， ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∵PE∥x轴交抛物线于点E， ∴E、P关于对称轴对称， ∴xE﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t， ∴xE＝﹣2﹣t， ∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|， ∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°， ∴PD＝PE， ①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t， ∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t， 解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2， ∴P（﹣2，3）， ②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t， ∴﹣t2﹣3t＝2+2t， 解得：t1，t2（舍去）， ∴P（，）， 综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形． 4．如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）连接AC、BC，求S△ABC； （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求m的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出D（﹣1，2），然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+m过点A（﹣3，4）， ∴4＝3+m， ∴m＝1， ∴y＝﹣x+1， ∴B（0，1）， 二次函数解析式为y＝x2+2x+1＝（x+1）2， 顶点坐标为C（﹣1，0）； （2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，C（﹣1，0），二次函数对称轴为直线x＝﹣1， ∵直线y＝﹣x+1与二次函数图象的对称轴交于点D， ∴设点D（﹣1，y）， ∴y＝﹣1×（﹣1）+1＝2， ∴D（﹣1，2）， ∴△ABC的面积＝S△ACD+S△BCD； （3）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形． ∵顶点坐标为C（﹣1，0）， ∴对称轴为直线x＝﹣1， 过点A作AE⊥CD于点E， 在Rt△ACE中，． ①当AQ＝CQ时，设CQ＝m， 在Rt△AEQ中，AE2+EQ2＝AQ2 ∴22+（4﹣m）2＝m2 解之得 ∴； ②当AC＝AQ时，根据等腰三角形三线合一得：CE＝QE＝4， ∴CE＝2CE＝8， ∴Q2（﹣1，8）； ③当CA＝CQ时，， ∴，． 综上所述：点Q的坐标为或（﹣1，8）或或． 5．如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，并且与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）直线BC的解析式为 　y＝﹣x+4　； （3）若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值； （4）在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证明；如果不存在，说明理由． 【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线解析式，解方程即可； （2）由抛物线解析式得出点C坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式； （3）由题意知M（t，﹣t2+3t+4），N（t，﹣t+4），则MN＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，从而得出答案； （4）分当PC＝BC或PB＝BC或PC＝BC三种情形，分别求解． 【解答】解：（1）∵物线y＝ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4； （2）当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将点B（4，0）、C（0，4）代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 故答案为：y＝﹣x+4； （3）如图， ∵点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t， ∴M（t，﹣t2+3t+4）， ∵MN⊥x轴， ∴N（t，﹣t+4）， ∴MN＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t， ∴h＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4（0＜t＜4）， ∴当t＝2时，h的值最大，最大值为4； （4）存在，理由如下： 当PC＝BC时， ∵OC⊥BP， ∴OP＝OB， ∵B（4，0），点P在x轴的负半轴上， ∴P（﹣4，0）， 当PB＝BC时， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴OC＝OB＝4， ∴BP＝BC4， ∴OP＝BP﹣OB＝44， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴P（4﹣4，0）； 当PC＝PB时，点P位于BC的垂直平分线上， ∵OB＝OC＝4， ∴点O位于BC的垂直平分线上， ∴此时点P与点O重合，不合题意，舍去； 综上，在x轴的负半轴上存在点P（﹣4，0）或（4﹣4），使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形． 6．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点A（1，0），B（m，0），C（0，﹣3），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n． （1）填空：m＝　3　，a＝　﹣1　，c＝　﹣3　； （2）在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值； （3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使△PDQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣4ax+c，可得a＝﹣1，c＝﹣3，可得抛物线的解析式，令y＝0解方程可得点B的坐标，即可得m的值； （2）连接PC，由点P的横坐标为n得P（n，﹣n2+4n﹣3），根据面积和可得四边形OCDP的面积，利用二次函数的性质可得其最大值； （3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点P的坐标列方程求得n的值，即可得点P的坐标． 【解答】解：（1）将点A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣4ax+c得， ，解得， ∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+4x﹣3， y＝0，则0＝﹣x2+4x﹣3，解得x＝3或1， ∴B（3，0）， ∴m＝3， 故答案为：3，﹣1，﹣3； （2）连接PC， ∵C（0，﹣3），CD∥x轴交抛物线于点D， ∴点D的纵坐标为﹣3， ﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得x＝0或4， ∴D（4，﹣3）， ∵点P的横坐标为n， ∴P（n，﹣n2+4n﹣3）， ∴S四边形OCDP＝S△COP+S△PCD， 3n4（﹣n2+4n﹣3+3） ＝﹣2n2n， ＝﹣2（n）2， ∵﹣2＜0， ∴当n时，S四边形OCDP有最大值， ∴n的值为； （3）∵y＝﹣x2+4x﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线x2， ∴点Q的横坐标为2， 分三种情况： ①当P为直角顶点时，PQ＝PD，如图2，过P作MN∥y轴，过Q作QM⊥MN于M，过D作DN⊥MN于N， ∴∠PMQ＝∠DNP＝90°， ∵△PQD是等腰直角三角形，且PQ＝PD，∠DPQ＝90°， ∴∠MPQ+∠PQM＝∠MPQ+∠DPN＝90°， ∴∠PQM＝∠DPN， ∴△PQM≌△DPN（AAS）， ∴QM＝PN， ∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2， ∴PN＝QM＝|2﹣n|， ∴3﹣|2﹣n|＝n2﹣4n+3，解得n或或 ∴点P的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）； ②当D为直角顶点时，DQ＝PD，如图3，过D作MN∥y轴，过P作PM⊥MN于M，过Q作QN⊥MN于N， 同理△PDM≌△DQN（AAS）， ∴DM＝QN， ∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2， ∴DM＝QN＝4﹣2＝2， ∴3﹣2＝n2﹣4n+3，解得n＝2或2， ∴点P的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣1）； 如图5， 同理△PDM≌△DQN（AAS）， ∴PM＝DN，DM＝QN， ∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2， ∴DM＝QN＝4﹣2＝2， ∴2＝n2﹣4n+3﹣3，解得n＝2或2， ∴点P的坐标为（2，﹣5）或（2，﹣5）； ③当Q为直角顶点时，DQ＝PQ，如图4，过P作PM⊥l于M，过D作DN⊥l于N， 同理△PQM≌△QDN（AAS）， ∴QM＝DN，PM＝QN， ∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2， ∴DN＝QM＝4﹣2＝2，PM＝QN＝|2﹣n|， ∴MN＝QM﹣QN＝2﹣|2﹣n|， ∴2﹣|2﹣n|＝n2﹣4n+3﹣3，解得n＝0或5或4或﹣1， 当n＝4时与D重合，舍去， ∴点P的坐标为（0，﹣3）或（5，﹣8）或（﹣1，﹣8）； 综上所述，点P的坐标是（，）或（，）或（2，﹣1）或（2，﹣1）或（2，﹣5）或（2，﹣5）或（5，﹣8）或（4，﹣3）或（﹣1，﹣8）． 【类型5 二次函数与直角三角形问题】 1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC＝2OA． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线CB的距离是7时，求m的值； （3）点P为抛物线对称轴上一点，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 【分析】（1）根据A（﹣1，0），BC＝2OA，得到OA＝1，BC＝2，对y＝ax2+bx﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，得到C（0，﹣3），则OC＝3，根据BC∥x轴，得到B（2，﹣3），把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，求得 a，b的值，即可求得到抛物线解析式； （2）由题意得，Q（m，m2﹣2m﹣3），则点Q到直线CB的距离为|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，故|m2﹣2m|＝7，解方程即可； （3）抛物线解析式并配方为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到抛物线的对称轴是直线 x＝1，设P（1，m），则PA2＝m2+22＝m2+4，PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1，AC2＝12+32＝10，根据△PAC是以AC为直角边的直角三角形，分两种情况：当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2，当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AC2，分别列方程即可求解． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），BC＝2OA， ∴OA＝1，BC＝2， 在y＝ax2+bx﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3），则OC＝3， ∵BC∥x轴， ∴B（2，﹣3）； 把点A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由题意得Q（m，m2﹣2m﹣3），则点Q到直线CB的距离为|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|， ∴|m2﹣2m|＝7，则m2﹣2m＝7①或m2﹣2m＝﹣7②， 解①得：或； 解②无解， ∴或； （3）∵抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴是直线 x＝1， 设P（1，m），则PA2＝m2+22＝m2+4，PC2＝（m+3）2+12，AC2＝12+32＝10， ∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形， ∴当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2， ∴m2+4+10＝（m+3）2+1， 解得： ∴； 当∠ACP＝90°时，AC2+PC2＝PA2， ∴（m+3）2+12+10＝m2+4， 解得：， ∴， 综上： 或 ． 2．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（1，﹣5），求抛物线L2对应的函数关系式； （2）当△BPC的周长最小时，求抛物线L2对应的函数关系式； （3）是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线L2对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线L1：求出点A，B的坐标，由抛物线L2与L1是“共根抛物线”，可设出抛物线L2的解析式，最后把点（1，﹣5）代入即可求解； （2）连接AC交对称轴直线x＝﹣1于点P，连接BP，交y轴于点E，此时△BPC的周长最小，先求出直线AC的解析式，从而求出点P的坐标，据此即可求解； （3）设点P的坐标为（﹣1，m），求得，，，分点P在x轴上方和点P在x轴下方，利用勾股定理列式，求得点P的坐标，据此即可求解． 【解答】解：（1）在抛物线L1：中，令y＝0，则， 解得：x＝﹣4或x＝2， 即点A（﹣4，0），点B（2，0）， 根据题意，设抛物线L2的函数关系式为：y＝a（x+4）（x﹣2）， 将点（1，﹣5）代入得：﹣5＝a（1+4）（1﹣2）， 解得：a＝1， ∴抛物线L2的函数关系式为：y＝（x+4）（x﹣2）＝x2+2x﹣8； （2）连接AC交对称轴直线于点P，连接BP，交y轴于点E，此时△BPC的周长最小． 令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A（﹣4，0）代入得，0＝﹣4k+2， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 当x＝﹣1时，， ∴点P的坐标为， 将点代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：， 解得：， ∴抛物线L2的函数关系式为：； （3）假设存在，设点P的坐标为（﹣1，m）， ∵A（﹣4，0），C（0，2）， ∴，，， 当点P在x轴上方时， 由题意得AC2+PC2＝AP2，即， 解得m＝4， 即点P的坐标为（﹣1，4）， 将点（﹣1，4）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：4＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2）， 解得：， ∴抛物线L2的函数关系式为：； 当点P在x轴下方时， 由题意得AC2+AP2＝PC2，即， 解得m＝﹣6， 即点P的坐标为（﹣1，﹣6）， 将点（﹣1，﹣6）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：﹣6＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2）， 解得：， ∴抛物线L2的函数关系式为：； 综上，抛物线L2的函数关系式为：或． 3．如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y＝x﹣4交于B，D两点 （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y＝x﹣4与抛物线的解析式联立方程组并求解即可； （2）过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4），则PE＝﹣x2+3x+4，然后依据S△BDP＝S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）设直线y＝x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4），先证明△QDG为等腰直角三角形，然后根据∠QDG＝90°和∠DGQ＝90°两种情况求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0）， ∴设该抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）＝﹣8， 解得a＝1， ∴该抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣4）或y＝x2﹣2x﹣8． 联立方程组：， 解得（舍去）或， 即点D的坐标是（﹣1，﹣5）； （2）如图所示： 过点P作PE∥y轴，交BD于点E， 设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）． ∴PE＝x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）＝﹣x2+3x+4． ∴S△BDP＝S△DPE+S△BPEPE•（xp﹣xD）PE••（xB﹣xE）PE•（xB﹣xD）（﹣x2+3x+4）（x）2． ∴当x时，△BDP的面积的最大值为． ∴P（，）． （3）设直线y＝x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）． ∵B（4，0）， ∴OB＝OK＝4． ∴∠OKB＝∠OBK＝45°． ∵QF⊥x轴， ∴∠DQG＝45°． 若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形． ①当∠QDG＝90°时，过点D作DH⊥QG于H， ∴QG＝2DH，QG＝﹣x2+3x+4，DH＝x+1， ∴﹣x2+3x+4＝2（x+1），解得：x＝﹣1（舍去）或x＝2， ∴Q1（2，﹣2）． ②当∠DGQ＝90°，则DH＝QH． ∴﹣x2+3x+4＝x+1，解得x＝﹣1（舍去）或x＝3， ∴Q2（3，﹣1）． 综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）． 4．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点． （1）求A，B两点的坐标； （2）求△MBC的面积； （3）对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当y＝0时，代入y＝x2﹣2x﹣3即可求解； （2）设直线BC与抛物线的对称轴交于点G，先确定C（0，﹣3），然后利用待定系数法可得yBC＝x﹣3，再将y＝x2﹣2x﹣3配成顶点式可得M（1，﹣4），进而得到G（1，﹣2），GM＝2，即可求解； （3）设N（1，t），可得：BC2＝18，BN2＝t2+4，CN2＝t2+6t+10，分三种情况列出方程求解即可． 【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时， x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设yBC＝kx+b， ， 解得：， ∴yBC＝x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴M（1，﹣4）， 设直线BC与抛物线的对称轴交于点G， 则G（1，﹣2）， ∴GM＝﹣2﹣（﹣4）＝2， ∴； （3）对称轴上存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形；理由如下： ∵B（3，0），C（0，﹣3），设N（1，t）， 则：BC2＝32+32＝18， BN2＝22+t2＝t2+4， CN2＝12+（t+3）2＝t2+6t+10， 当BC边为斜边时： BN2+CN2＝BC2， t2+6t+10+t2+4＝18， 解得：，， ∴，； 当BN边为斜边时： BC2+CN2＝BN2， t2+6t+10+18＝t2+4， 解得：t＝﹣4， ∴N3（1，﹣4）； 当CN边为斜边时： BC2+BN2＝CN2， t2+4+18＝t2+6t+10， 解得：t＝2， ∴N4（1，2）； 综上所述：存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，，，N3（1，﹣4），N4（1，2）． 【类型6 二次函数与平行四边形问题】 1．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过E点作EG∥y轴交BC于点G，设E（t，t2+t+4），则G（t，﹣t+4），可得S△BCE＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）； （3）设Q（1，m），P（n，n2+n+4），B（0，4），C（4，0），根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式求n的值即可求P点坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x＝4， ∴C（4，0）， 将B、C点代入y＝ax2+x+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2+x+4； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+4， ∴4k+4＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 过E点作EG∥y轴交BC于点G， 设E（t，t2+t+4），则G（t，﹣t+4）， ∴EGt2+2t， ∴S△BCE（t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， 当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）； （3）存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵yx2+x+4（x﹣1）2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 设Q（1，m），P（n，n2+n+4），B（0，4），C（4，0）， ①当PQ为平行四边形的对角线时，1+n＝4， 解得n＝3， ∴P（3，）； ②当PB为平行四边形的对角线时，n＝4+1＝5， ∴P（5，）； ③当PC为平行四边形的对角线时，4+n＝1， 解得n＝﹣3， ∴P（﹣3，）； 综上所述：P点坐标为（3，）或（5，）或（﹣3，）． 2．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，已知A（﹣1，0），连接BC，抛物线对称轴与BC交于点E． （1）求b的值及顶点D的坐标； （2）点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在以DE为边，且以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知b及顶点D的坐标； （2）结合第一问求得直线BC解析式，可求得DE的长．根据题意设P（a，a2﹣2a﹣3）和Q（a，a﹣3）分类讨论即可求得答案． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3得： 0＝（﹣1）2+b×（﹣1）﹣3， 解得：b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x﹣3， ∴y＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）． （2）存在以DE为边，且以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线BC解析式为y＝mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线BC解析式为y＝x﹣3， 当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2， ∴E（1，﹣2）， 则DE＝2． 设P（a，a2﹣2a﹣3）、Q（a，a﹣3）分类讨论： ①当点P在点Q下方时， （a2﹣2a﹣3）﹣（a﹣3）＝2， 解得：，， ②当点P在点Q上方时， （a﹣3）﹣（a2﹣2a﹣3）＝2， 解得：a1＝1（舍去），a2＝2， 综上所述，点P的坐标为（2，﹣3）或或． 3．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； （3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，设P（t，t2t+2），则Q（t，t+2），则S4×（t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）； （3）设M（m，m2m+2），N（n，0），根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，结合中点坐标公式求n的值即可． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）代入y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x+2； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+2， ∴4k+2＝0， 解得k， ∴直线BC的解析式为yx+2， 过P点作PQ∥y轴交BC于点Q， 设P（t，t2t+2），则Q（t，t+2）， ∴PQt2t+2t﹣2t2+2t， ∴S4×（t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， 当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）； （3）设M（m，m2m+2），N（n，0）， 当BC为平行四边形的对角线时，4＝m+n，2m2m+2， 解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝1， ∴N（1，0）； 当BM为平行四边形的对角线时，m＝4+n，0m2m+4， 解得m，n或m，n， ∴N（，0）或（，0）； 当BN为平行四边形的对角线时，n＝4+m，2m2m+2， 解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝7， ∴N（7，0）； 综上所述：N点坐标为（1，0）或（，0）或（，0）或（7，0）． 4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t（0＜t＜3），交BC于点D． （1）求A，B的坐标和直线BC的解析式； （2）连接BP，求△CPB面积的最大值； （3）已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值． 【分析】（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解方程求出x的值即可；根据B，C坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根娱点M的横坐标为t，点Q在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，D在直线y＝﹣x+3，得出P（t，﹣t2+2t+3），D（t，﹣t+3），从而得出PD＝﹣t2+3t，然后由三角形的面积公式得出S△CPB（t）2，再由函数的性质求最值即可； （3）分四边形PDEQ为平行四边形和四边形PDQE为平行四边形两种情况，由P，Q的坐标求出PD，EQ，再根据PD＝EQ得出关于t的方程，解方程求出t即可． 【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（3，0），C（0，3）代入解析式得：， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； （2）∵点M的横坐标为t，点P在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，D在直线y＝﹣x+3， ∴P（t，﹣t2+2t+3），D（t，﹣t+3）， ∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t， ∴S△CPBPD•OB（﹣t2+3t）×3（t2﹣3t）（t）2， ∵0， ∴当t时，S△CPB有最大值，最大值为， ∴△CPB面积的最大值为； （3）①如图所示，当四边形PDEQ为平行四边形时， ∵PM⊥x轴，QF⊥x轴， ∴PD∥EQ， ∵四边形PDEQ为平行四边形， ∴PD＝QE， ∵点Q的横坐标为t+2，点Q在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，E在直线y＝﹣x+3， ∴Q（t+2，﹣t2﹣2t+3），E（t+2，﹣t+1）， ∴QE＝﹣t2﹣2t+3﹣（﹣t+1）＝﹣t2﹣2t+3+t﹣1＝﹣t2﹣t+2， ∴﹣t2+3t＝﹣t2﹣t+2， 解得t； ②如图所示，当四边形PDQE为平行四边形时， 同①得出QE＝﹣t+1﹣（﹣t2﹣2t+3）＝t2+t﹣2， ∴﹣t2+3t＝t2+t﹣2， 解得t1，t2， ∵0＜t＜3， ∴t． 综上所述，t或． 5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式； （2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，利用两点间距离公式即可求得答案； （3）分三种情况：当DM、PQ为对角线时，当DP、MQ为对角线时，当DQ、PM为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点， ， 解得：， ∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点M（1，4）， 设直线AM的解析式为y＝kx+d，则， 解得：， ∴直线AM的解析式为y＝2x+2， 当x＝0时，y＝2， ∴D（0，2）， 作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图1， ∴DH＝D′H， ∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M， ∵D′M， ∴MH+DH的最小值为； （3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形． 由（2）得：D（0，2），M（1，4）， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设P（m，﹣m2+2m+3）， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1， ∴设Q（1，n）， 如图2，当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，得： ， 解得：， ∴Q（1，3）； 如图3，当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，得： ， 解得：， ∴Q（1，1）； 如图4，当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，得： ， 解得：， ∴Q（1，5）； 综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）． 【类型7 二次函数与矩形问题】 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标； （3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点B（3，0），点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解析式； （2）求出BC的直线解析式为y＝﹣x+3，设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），所以S四ECFD＝S△CDE+S△CDF＝﹣m2+3m，即可求面积的最大值； （3）设P（n，﹣n2+2n+3），①当CP⊥PB时，根据PJ构建方程求解；②当CP⊥CB时，P（1，4），可求P点横坐标． 【解答】解：（1）将点B（3，0），点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中， 则有， ∴， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3， ∴对称轴为x＝1， ∵CD∥x轴， ∴D（2，3）， ∴CD＝2， ∵点B（3，0），点C（0，3）， ∴BC的直线解析式为y＝﹣x+3， 设E（m，﹣m2+2m+3）， ∵EF⊥CD交线段BC于点F， ∴F（m，﹣m+3）， ∴S四边形ECFD＝S△CDE+S△CDF2×（﹣m2+2m）2×m＝﹣m2+3m， 当m时，四边形ECFD的面积最大，最大值为； 此时E（，）； （3）设P（n，﹣n2+2n+3）， ①当CP⊥PB时，设BC的中点为J（，）， 则有PJBC， ∴（n）2+（﹣n2+2n+3）2＝（）2， 整理得n（n﹣3）（n2﹣n﹣1）＝0， ∴n＝0或3或， ∵P在第一象限， ∴P点横坐标为； ②当CP⊥CB时，P（1，4）． ∴P点横坐标为1； 综上所述：P点横坐标为或1． 2．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设P（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a+1，a2﹣4），进而得到M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2）；再表示出PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分以BC为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C点的坐标为（0，﹣3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B、C点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，设P（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a+1，a2﹣4）． ∴M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2）， ∴PM＝﹣a2+3a，QN＝﹣a2+a+2， ∴PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4， 当a＝1时，（PM+QN）max＝4， ∴Q（2，﹣3）； （3）由题意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5， ∴y′的对称轴为x＝2 ∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C． ∴C（0，﹣3）， ∵B（3，0）， ∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°； 如图3.1：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴， ∵D在y′的对称轴为x＝2， ∴FD＝2， ∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5）， ∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到E（5，﹣3）； 如图3.2：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x＝2与x轴交于F， ∵D在y′的对称轴为x＝2， ∴FO＝2， ∴BF＝3﹣2＝1， ∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°， ∴BF＝FD＝3﹣2＝1，即点D（2，1）， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）； 如图3.3：当BC为矩形对角线时，设D（2，d），E（m，n）， ∴BC的中点F的坐标为（，），依题意得： ， 解得：， 又∵DE＝BC， ∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32， 解得：d﹣n＝±， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上，存在E（﹣1，﹣2）或（5，﹣2）或或使以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形． 3．如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为A（4，4），与直线交于点O和点C． （1）直接写出点B的坐标　（8，0）　； （2）求抛物线的解析式，并求出点C的坐标； （3）如图2，点T（t，0）（t＞0）是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线于点D，交抛物线于点E，以DE为一边，在DE的右侧作矩形DEFG，且DG＝2．当矩形DEFG的面积随着t的增大而增大时，求t的取值范围． 【分析】（1）作AD⊥OB交OB于点D，则D（4，0），得到 OD＝4，由二次函数的性质可得 OD＝BD＝4，即可得出点B的坐标， （2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将B（8，0）代入抛物线得：a×（8﹣4）2+4＝0，求出a的值，即可得出抛物线解析式，联立．即可求出点C的坐标． （3）根据题意得 ，，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别计算即可得到答案． 【解答】解：（1）如图1，作AD⊥OB交OB于点D， ∵A（4，4）， ∴D（4，0）， ∴OD＝4， ∵O、B为二次函数与x轴的交点， ∴O、B关于直线AD对称， ∴OD＝BD＝4， ∴OB＝OD+BD＝4+4＝8， ∴B（8，0）． （2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+4， 将B（8，0）代入抛物线得：a×（8﹣4）2+4＝0， 解得：， ∴抛物线解析式为， 联立， 解得：x1＝7，x2＝0（不符合题意，舍去）， 当x＝7时，， ∴． （3）∵点T（t，0）是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线于点D，交抛物线于点E， ∴，， 如图2，当点D在点C左侧时， ， ∴， ∴， ∴当时，矩形DEFG的面积随着t的增大而增大， 如图3，当点D在点C右侧时， 点D是和直线的交点，点E是和抛物线的交点， ， ∴， ∴， ∴当7＜t≤8时，矩形DEFG的面积随着t的增大而增大． 综上所述，当或7＜t≤8时，矩形DEFG的面积随着t的增大而增大． 4．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出PD+EF的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x+3）（x﹣1），展开得﹣3a＝3，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出EF的表达式，从而建立起PD+EF的函数表达式，最终利用二次函数的性质求最值； （3）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【解答】（1）解：设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 即y＝ax2+2ax﹣3a， ∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由题意，C（0.3），则△OAC为等腰直角三角形，∠CAO＝45°， 设AC的解析式为yAC＝kx+b，将A（﹣3，0）与C（0.3）代入得，则yAC＝x+3， ∵点P在抛物线上，PD∥y轴交AC于点D， ∴设P（m，﹣m2﹣2m+3），则D（m，m+3），PD＝﹣m2﹣3m，其中﹣3＜m＜0， 如图，延长FE交PD于点G，则FG⊥PD， 且由题可知，△PDE为等腰直角三角形，由”三线合一“知，EGPD， ∴EF， ∴PD+EF＝﹣m2﹣3mm2m（m）2， 由二次函数的性质可得，当m时，PD+EF最大值为，此时P（，）； （3）由平移可求得平移后函数解析式为y＝﹣（x+3+2）（x﹣1+2）＝﹣x2﹣6x﹣5，与原函数交点M（﹣2，3）； ①以AM为边，作MN1⊥AM交对称轴于N1，可构造矩形AMN1H1，设N1（﹣1，y1）， ∴AM2＝10，MN12＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2，AN12＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2， ∵AM2+MN12＝AN12， ∴10+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2， 解得y1，即N1（﹣1，）， 此时设H1（p1，q1），由A、M、N1、H1四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴H1（﹣2，）； ②同理，以AM为边，作MN2⊥AM交对称轴于N2，可构造矩形AMH2N2，设N2（﹣1，y2）， ∵AM2+AN22＝MN22， ∴10+[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y2﹣0）2＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y2﹣3）2， 解得y2，即N2（﹣1，）， 此时设H2（p2，q2），由A、M、N2、H2四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴H2（0，）； ③以AM为对角线，作MN3⊥AN3交对称轴于N3，可构造矩形AN3MH3，设N3（﹣1，y3）， ∵AM2＝AN32+MN32， ∴10＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y3﹣0）2+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y3﹣3）2， 解得y3＝1，y4＝2，即N3（﹣1，1），N4（﹣1，2）， 此时设H3（p3，q3），由A、M、N3、H3四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴H3（﹣4，2）； 设H4（p4，q4），由A、M、N4、H4四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴H4（﹣4，1）． 综上所述，点H的坐标为（﹣2，）或（0，）或（﹣4，2）或（﹣4，1）． 【类型8 二次函数与菱形问题】 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是线段OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解； （2）待定系数法求出直线AC的解析式，设D（m，0），分别表示出E和F的坐标，进而得到DF和EF，利用，列式计算即可； （3）分AE是边和AE是对角线两种情况，进行讨论求解． 【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+d，将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为， 设D（m，0），则，， ∴，， ∵， ∴， 解得m＝﹣3或﹣4（不合题意，舍去）， 将m＝﹣3代入得： ， ∴E（﹣3，﹣2）； （3）存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下： 当以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，△AEM是等腰三角形， ∵E（﹣3，﹣2），A（﹣4，0）， ∴AD＝﹣3﹣（﹣4）＝1，DE＝2， ∵， ∴对称轴为：直线， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， ①当AE是边时， 当时，点A到直线l的距离为， ∴此时点M不存在； 当时，如图，此时菱形为AM1EN或AM2EN， 过点E作EH⊥l于点H， 则yH＝yE＝﹣2，， 在Rt△EMH中，由勾股定理得， ∴或， ∴，， 当点时，由EM＝AN得xM﹣xE＝xN﹣xA，yM﹣yE＝yN﹣yA， 即，， 解得，， ∴， 同理，可得； ②当AE是对角线时，MA＝ME，此时菱形为AM3EN，设对称轴与x轴交于点G， ∵MA2＝ME2， ∴MG2+AG2＝MH2+EH2， 设，则， 解得n＝0， ∴，点M3在x轴上， 则， 解得，yN＝yE＝﹣2， ∴， 综上：，，． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C（0，4）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上位于直线AC上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线AC于点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中PE+PF取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H，M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N，使得以点H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N的坐标． 【分析】（1）设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣4）（x+2），利代入点C的坐标即可求出函数解析式； （2）先求出直线AC的函数解析式为y＝﹣x+4和抛物线的对称轴为直线x＝1．设，则，E（p，﹣p+4），得到．进一步即可求出答案； （3）求出点H（4，0）．设M（1，m）．求出，，MH2＝9+m2．设N（x′，y′）．分三种情况分别进行求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣2，0）两点， ∴可设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣4）（x+2）． ∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，4），则﹣8a＝4， 解得． ∴抛物线的函数解析式为． （2）设直线AC的解析式为y＝mx+n，把点A（4，0），C（0，4）代入得， ， 解得 ∴直线AC的函数解析式为y＝﹣x+4． 由，可得抛物线的对称轴为直线． 设，则，E（p，﹣p+4）， ∴，PF＝p﹣1， ∴． ∵， ∴当p＝3时，PE+PF有最大值，最大值为， 当p＝3时，， 此时点P的坐标为． （3）∵抛物线与x轴交于A（4，0），B（﹣2，0）两点， ∴平移后的抛物线与x轴交于（10，0），（4，0）两点，即点H（4，0）． ∵M为平移前抛物线对称轴上一点，平移前抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴设M（1，m）． ∵， ∴，，MH2＝（4﹣1）2+m2＝9+m2． 设N（x′，y′）． ①如图1，当MH为对角线时，PH＝PM， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或． ∵H（4，0），， ∴MH的中点的坐标为或， 即PN的中点的坐标为或， ∴，，或，， 解得x′＝2，，或x′＝2，， ∴点N的坐标为或； ②当MP为对角线时，PH＝MH， ∴，此方程无解．故此种情况不存在； ③如图2，当PH为对角线时，PM＝MH， ∴， 解得，即． ∵H（4，0），， ∴PH的中点的坐标为， 同理可得，，， 解得x′＝6，， ∴点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或或． 3．已知抛物线yx+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积； （3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出点A，B，C的坐标，表达OA，OB，OC的长度，利用勾股定理逆定理可得结论； （2）根据A，C的坐标可得出直线AC的表达式，由点P的坐标表达点Q的坐标，根据S四边形OAPC＝S△OAC+S△APC可表达四边形OAPC的面积，利用二次函数的性质可得结论； （3）由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则△PCM是等腰三角形，分三种情况讨论，列出方程解之即可． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵yx+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A， ∴令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣1或x＝4， ∴A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0）， ∴OA＝2，OB＝1，OC＝4， ∴AB，BC＝5，AC＝2， ∵（）2+（2）2＝52，即AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°； （2）∵A（0，2），C（4，0）， ∴直线AC的解析式为：yx+2， ∵P（m，m+2）， ∴Q（m，m+2），H（m，0）， ∴PQm+2﹣（m+2）2m， ∵S△OAC•OA•OB2×4＝4， S△APC•PQ•（xC﹣xA）•（2m）•（4﹣0）＝﹣m2+4m， ∴S四边形OAPC＝S△OAC+S△APC＝﹣m2+4m+4＝﹣（m﹣2）2+8， ∴当m＝2时，S四边形OAPC的最大值为8，此时P（2，3）； ∴Q（2，1），H（2，0）， ∴S△QHC•CH•QH2×1＝1； （3）点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．理由如下： ∵yx+2， ∴抛物线的对称轴为直线x，则可设M（，t）， ∴PM2＝（2）2+（3﹣t）2，PC2＝（2﹣4）2+（0﹣3）2＝13，MC2＝（4）2+（t﹣0）2， 由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则△PCM是等腰三角形，则需要分以下三种情况： ①当PM＝PC时，则（2）2+（3﹣t）2＝13， 解得t＝3±， ∴M（，3）或（，3）； ②当MC＝PC时，则（4）2+（t﹣0）2＝13， 解得t＝±， ∴M（，）或（，）； ③当MC＝MP时，则（4）2+（t﹣0）2＝（2）2+（3﹣t）2， 解得t， M（，）． 综上，M（，3）或（，3）或（，）或（，）或（，）． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； （3）将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A（﹣1，0），Q（2，3），M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【分析】（1）根据题意，由待定系数法求函数表达式即可得到答案； （2）由C△PDE最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED），求出直线BC的表达式为，设，则，表示出PE，求出最值代入即可得到答案； （3）根据题意，抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，得到平移后的解析式，设，在平面直角坐标系中标出A（﹣1，0），Q（2，3），，过△AMQ顶点作对边平行线，分别交于点N1，N2，N3，如图所示，分情况讨论，利用点的平移得到N1，N2，N3，结合菱形性质列方程求解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），交x轴于点A（﹣1，0）， ∴由题意得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）令， 解得x＝4或﹣1，即点B（4，0）， 当x＝0时，y＝2，即C（0，2）， ∵PE∥y轴， ∴∠PED＝∠OCB，则tan∠PED＝tan∠OCB＝2， ∴，， 设直线BC的表达式为y＝kx+b′，将B（4，0）、C（0，2）代入得， 解得， ∴直线BC的表达式为， 设，则， ∴， 由得抛物线开口向下，当m＝2时，PE有最大值，为2，此时，点P（2，3）， ∴C△PDE最大值， ∴△PDE周长的最大值为，此时点P（2，3）； （3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位， ∴平移后的抛物线为， ∴抛物线的对称轴为， ∵点M为平移后的抛物线的对称轴上一点， ∴设，在平面直角坐标系中标出A（﹣1，0），Q（2，3），，过△AMQ顶点作对边平行线，分别交于点N1，N2，N3，如图所示： N1：在▱AMQN1中，A（﹣1，0），Q（2，3），，则由点的平移可得， ∵▱AMQN1是菱形， ∴MA＝MQ，即， 解得， ∴； N2：在▱AQMN2中，A（﹣1，0），Q（2，3），，则由点的平移可得， ∵▱AQMN2是菱形， ∴QA＝MQ，即，则， 解得， ∴或； N3：在▱MAQN3中，A（﹣1，0），Q（2，3），，则由点的平移可得， ∵▱MAQN3是菱形， ∴MA＝AQ，即，则，方程无解， ∴N不存在； 综上所述，所有符合条件的点N的坐标为或或． 【类型9 二次函数与正方形问题】 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点B，与y轴相交于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过两点B，C，与x轴另一交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，点E以每秒1个单位长度的速度在线段OB上由点O向点B运动（点E不与点O和点B重合），设运动时间为t秒，过点E作EF⊥x轴交CD于点F，作EH⊥BC于点H，交y轴右侧的抛物线于点G，连接FG，当S△EFG＝4时，求t的值； （3）如图2，正方形MNPQ，边MQ在x轴上，点Q与点B重合，边长MN为1个单位长度，将正方形MNPQ沿射线BC方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为t秒，在平移过程中，请写出正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围． 【分析】（1）求出B（4，0），C（0，4），代入抛物线解析式即可； （2）过点G作GM⊥EF于M，点G的坐标为（t+2，2），由点G在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，得到﹣（t+2）2+3（t+2）+4＝2，则当S△EFG＝4时，t的值为秒； （3）由题意可知当正方形运动t时，正方形上各点的横坐标向左平移t个单位，纵坐标向上平移t个单位，平移后M（5﹣t，t），N（5﹣t，1+t），P（4﹣t，1+t），Q（4﹣t，t），①当N点移动后在抛物线上时1+t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，0＜t＜3时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点；②当P点在抛物线上时，1+t＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4，t＝2，当M点在抛物线上时，t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，t＝3，所以时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点． 【解答】（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴B（4，0），C（0，4）， ∵抛物线y＝x2+bx+c经过B，C两点， 解得： ∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+3x+4； （2）过点G作GM⊥EF于M， ∵OB＝OC＝4， ∴∠OBC＝45°， ∵EH⊥BC， ∴∠BEH＝45°， ∴EF⊥x轴， ∴∠MEG＝90°﹣45°＝45°， ∴MG＝ME， ∵CD∥x轴，EF⊥x轴， ∴EF＝OC＝4， ∴， ∴GM＝ME＝2， ∵点E从O点运动，时间为t， ∴OE＝t， ∴点E，M的横坐标都为t，点G的横坐标都为t+2， ∴点G的坐标为（t+2，2）， ∵点G在抛物线y＝﹣x2+3x+4上， ∴﹣（t+2）2+3（t+2）+4＝2， 解得：（舍去）， ∴当S△EFG＝4时，t的值为秒； （3）∵B（4，0），C（0，4）， ∴∠CBO＝45°， ∵正方形MNPQ沿射线BC方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为t秒， ∴当正方形运动t时，正方形上各点的横坐标向左平移t个单位，纵坐标向上平移t个单位， ∵M（5，0），N（5，1），P（4，1），Q（4，0）， ∴平移后M（5﹣t，t），N（5﹣t，1+t），P（4﹣t，1+t），Q（4﹣t，t）， ①当N点移动后在抛物线上时 1+t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4， 解得t＝3或t＝3， ∵此时N点在对称轴的右侧， ∴t＝3， ∴0＜t＜3时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点； ②当P点在抛物线上时， 1+t＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4， 解得t＝2或t＝2， ∵此时N点在对称轴的左侧， ∴t＝2， 当M点在抛物线上时， t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4， 解得t＝3或t＝3， ∵此时N点在对称轴的左侧， ∴t＝3， ∴时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点； 综上所述：或 时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点P是抛物线上的动点，且横坐标为m，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，以PQ为边在PQ的右侧作正方形PQMN． （1）直接写出此抛物线的解析式； （2）当点P在直线BC上方的抛物线上时，求PQ的长（用含m的代数式表示）； （3）当抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）时，求m的值； （4）当此抛物线在正方形PQMN内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出m的值． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求得直线BC的解析式，利用m表示出点Q的坐标，则结论可求； （3）利用配方法求得抛物线的顶点坐标，再利用正方形的性质，分类讨论的思想方法分m≥1和m＜1两种情况讨论解答即可； （4）由题意可得：当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2，即PQ＝2，再利用分类讨论的思想方法列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3． 设直线BC的解析式为y＝kx+n， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3． ∵点P是抛物线上的动点，且横坐标为m， ∴P（m，﹣m2+2m+3）， ∵过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q， ∴Q（m，﹣m+3）． ∵点P在直线BC上方的抛物线上运动， ∴PQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m； （3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4）， ①当m≥1时， ∵抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）， ∴此时点P与抛物线的顶点重合， ∴m＝1； ②当m＜1时， ∵抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）， ∴此时点Q的纵坐标与顶点的纵坐标相同， ∴﹣m+3＝4， ∴m＝﹣1． 综上，抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）时，m的值为1或﹣1； （4）∵当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2， ∴PQ＝2， ①点P在直线BC的上方时， ∴﹣m2+3m＝2， ∴m＝1或m＝2． ②点P在直线BC的下方时， ∵PQ＝（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m， ∴m2﹣3m＝2， 解得：m（不合题意，舍去）或m． 综上，当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为1或2或． 3．综合与探究 如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　（1，2）　； （3）点D为二次函数位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求△ABD面积的最大值； （4）在（2）的条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得到关于m，n的二元一次方程组求解即可； （2）抛物线的对称轴为x＝1，求出直线AB与对称轴的交点即可求解； （3）设D（d，d2﹣2d﹣3），则E（d，d+1），则DE＝（d+1）﹣（d2﹣2d﹣3）＝﹣d2+3d+4（﹣1＜d＜4），根据二次函数的性质得出DE的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解； （4）根据题意画出图形，分情况求解即可． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得： ， 解这个方程组得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 把点 A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴直线AB的解析式为：y＝x+1， 由（1）知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为， ∵点C为抛物线对称轴上一动点，AC+BC≥AB， ∴当点C在AB上时，AC+BC最小， 把x＝1代入y＝x+1，得y＝2， ∴点C的坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； （3）如图2，由（2）知 直线AB的解析式为y＝x+1， 设D（d，d2﹣2d﹣3），则E（d，d+1）， 则， 当时，DE有最大值为， ∴△ABD面积的最大值为； （4）∵直线AB的解析式为：y＝x+1， ∴直线与y轴的交点为D（0，1），OD＝1， ∵A（﹣1，0），OA＝1， ∴OA＝OD，∠DAO＝∠ADO＝45°， 若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点C作CM1⊥y轴于点M1，则△DM1C为等腰直角三角形，过点C作CN1⊥DN1，则四边形CM1DN1 为正方形，如图3，依题意，知D与F重合，点N1 的坐标为（1，1）； ②如图4，以M1为中心分别作点F，点C的对称点M2，N2，连接CM2，M2N2，N2F，则四边形M2N2FC是正方形，则点N2的坐标为（﹣1，2）； ③如图5，延长N2M2到N3使N3M2＝M2C，作N3F1⊥AB于点F1，则四边形M2N3F1C是正方形，则N3的坐标为（1，4）； ④如图6，取M2C的中点N4，FC的中点F2，则M1F2CN4为正方形，则N4的坐标为， 综上所述，点N的坐标为：N1（1，1），N2（﹣1，2），N3（1，4），N4（，）． 4．如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，2），点D是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点D在直线BC上方时，作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，当∠D＝∠BCO时，求点D的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形BPDQ为正方形时，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可求出直线BC的解析式，由∠D＝∠BCO可证明CD＝CE，作CH⊥DE于H，则DH＝HE，设点D的横坐标为t，分别表达DH和HE，建立方程即可得出结论； （3）若四边形BPDQ为正方形，则△BPD是等腰直角三角形，且∠BPD＝90°，根据题意画出对应图形，利用全等三角形建立方程，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，2）， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为：yx2x+2； （2）∵DF⊥x轴， ∴DF∥y轴， ∴∠DEC＝∠BCO， ∵∠D＝∠BCO， ∴∠D＝∠DEC， ∴CD＝CE， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 将B（3，0），C（0，2）代入得，， 解得， ∴直线BC的解析式为yx+2， 如图，作CH⊥DE于H，则DH＝HE， 设点D的横坐标为t，则D（t，t2t+2），H（t，2），E（t，t+2）， ∴DH＝（t2t+2）﹣2t2t，HE＝2﹣（t+2）t， ∴t2tt， 解得t＝0（舍）或t＝1， ∴D（1，）； （3）∵yx2x+2（x﹣1）2， ∴抛物线的对称轴为x＝1， 若四边形BPDQ为正方形，则△BPD是等腰直角三角形，且∠BPD＝90°， 设点D的横坐标为n，则D（n，n2n+2）， 如图2，过点D作DM⊥l于点M，设直线l与x轴交于点N， 则∠DMP＝∠BNP＝∠BPD＝90°，PD＝BP，N（1，0）， ∴∠DPM+∠MDP＝∠BPN+∠DPM， ∴∠MDP＝∠BPN， ∴△PDM≌△BPN（AAS）， ∴DM＝PN＝n﹣1，BN＝PM＝2， ∴MN＝n+1， ∴n+1n2n+2， 解得n＝﹣1或n， 当n＝﹣1时，点D与点A重合，如图3，P（1，2），则Q（1，﹣2）或P（1，﹣2），则Q（1，2）； 当n时，P（1，），则Q（3.5，2）； 如图4，过点D作DM⊥l于点M，设直线l与x轴交于点N， 同理可证，△PDM≌△BPN（AAS）， ∴DM＝PN＝n﹣1，BN＝PM＝2， ∴MN＝n+1， ∴n+1＝﹣（n2n+2）， 解得n＝﹣1或n， 当n＝﹣1时，点D与点A重合，同上； 当n时，D（，），P（1，），则Q（6.5，﹣2）； 综上，Q（3.5，2）或（1，2）或（1，﹣2）或（6.5，﹣2） 【类型10 二次函数中的定值问题】 1．如图1，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，连接AD，DC． （1）求抛物线C1的解析式； （2）求△ADC面积的最大值； （3）如图2，将抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点H（1，2）的直线与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．试探究GM•GN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2）过点D作DE⊥x轴，交直线AC于点E，结合抛物线，直线AC解析式，设D（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），则DE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，表示出，利用二次函数的最值解答即可． （3）先根据y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，确定对称后的解析式，根据题意，不妨设J（m，﹣m2+2m+3），I（n，﹣n2+2n+3），连接解析式构成方程组，转化根与系数关系定理应用，确定解析式后求得交点坐标，计算线段长度，再计算积即可． 【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵y＝﹣x2﹣2x+3， ∴C（0，3）， 过点D作DE⊥x轴，交直线AC于点E，如图1， 设直线AC的解析式为y＝kx+p， 将A（﹣3，0），C（0，3）代入直线AC的解析式得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为：y＝x+3． 设D（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），则DE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m， ∴， ∴当，△ACD的面积最大，且最大值为． 故当，△ACD的面积取得最大值，且最大值为． （3）GM•GN为定值；理由如下： ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F， ∴y＝﹣（﹣x+1）2+4＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3， 故F（1，4）， 设直线JI的解析式为y＝kx+b， ∴2＝k+b， 解得b＝2﹣k， ∴y＝k（x﹣1）+2， 设J（m，﹣m2+2m+3），I（n，﹣n2+2n+3）， 根据题意，得， 整理，得x2+（k﹣2）x﹣k﹣1＝0， ∴m，n是x2+（k﹣2）x﹣k﹣1＝0的两个根， ∴， 同理可证，直线JF的解析式为y＝a（x﹣1）+4， 把J（m，﹣m2+2m+3）代入解析式y＝a（x﹣1）+4， 解得a＝﹣（m﹣1）， 故直线JF的解析式为y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4， 令y＝0，得﹣（m﹣1）（x﹣1）+4＝0， 解得， ∴， ∵F（1，4）， ∴G（1，0）， ∴， 同理可证，， ∴ ． 2．如图1，抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线BM的距离相等时，求直线BM的解析式； （3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m（﹣3＜m＜﹣1），点F的横坐标为m+1．过点D作x轴的垂线交直线AC于点M，过点F作x轴的垂线交直线AC于点N． ①如图2，连接DF，求四边形DFNM面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接AD和FC，试探究△ADM与△CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由题意知，C（0，﹣3），将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，计算求解b，c的值，进而可得解析式； （2）由题意知，当BM∥AC时，当BM过A、C中点时，A、C两点到直线BM的距离相等，①当BM∥AC时，A（﹣3，0），待定系数法求直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，则直线BM的解析式为y＝﹣x+d，待定系数法求解即可；②当BM过A、C中点时，由题意知，A、C中点坐标为，设直线BM的解析式为y＝ex+f，待定系数法求解即可； （3）①由题意知，D（m，m2+2m﹣3），M（m，﹣m﹣3），F（m+1，（m+1）2+2（m+1）﹣3），N（m+1，﹣（m+1）﹣3），则DM＝﹣m2﹣3m，FN＝﹣（m+1）2﹣3（m+1），则，根据二次函数的性质求最值，然后求D点坐标即可； ②由题意知，2，然后作答即可． 【解答】解：（1）由题意知，OC＝3OB＝3， ∴C（0，﹣3）， 将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得：， ∴y＝x2+2x﹣3； （2）由题意知，当BM∥AC时，当BM过A、C中点时，A、C两点到直线BM的距离相等， ①当BM∥AC时， 当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， 解得：x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， 设直线BM的解析式为y＝﹣x+d， 将B（1，0）代入得：﹣1+d＝0， 解得：d＝1， ∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1； ②当BM过A、C中点时， 由题意知，A、C中点坐标为， 设直线BM的解析式为y＝ex+f， 将，B（1，0）代入得： ， 解得：， ∴直线BM的解析式为， 综上所述，直线BM的解析式为y＝﹣x+1或； （3）①由题意知，D（m，m2+2m﹣3），M（m，﹣m﹣3），F（m+1，（m+1）2+2（m+1）﹣3），N（m+1，﹣（m+1）﹣3）， ∴DM＝﹣m2﹣3m，FN＝﹣（m+1）2﹣3（m+1）， ∴， ∵﹣1＜0， ∴当m＝﹣2时，四边形DFNM的面积最大，最大值为2， ∴D（﹣2，﹣3）； ②△ADM与△CFN的面积之和为定值；理由如下： 由题意知， ＝2， ∴△ADM与△CFN的面积之和是定值，且定值为2． 3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上不同的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2，且AB＝4． （1）求点A的坐标及抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一动点，连接PA、PB、AC，若∠PAC＝∠PCA，求点P的坐标． （3）点M，N的横坐标分别为m、n（m≠n，m﹣n≠4），且点M，N均在抛物线上，已知直线AM、BN相交于点H．当直线MN经过点O时，判断△ABH的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）当x1+x2＝0时，总有y1＝y2，则函数的对称轴为直线x＝0，即b＝0，进而求解； （2）根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式列方程，进而求解； （3）求出直线AM和BN的表达式，从而确定AM、BN的交点H坐标，进而求解． 【解答】解：（1）当x1+x2＝0时，总有y1＝y2， 则函数的对称轴为直线x＝0，即b＝0， ∵AB＝4， ∴OA＝OB＝2， ∴点A（﹣2，0）， 即b＝0，A（﹣2，0）； （2）由（1）知，b＝0，A（﹣2，0）； ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4， ∴C（0，4）， 设P（m，﹣m2+4）， ∴AP，PC， ∵∠PAC＝∠PCA， ∴AP＝PC， ∴， 解得m， ∴P（，）或（，）； （3）△ABH的面积是定值16，理由如下： A（﹣2，0），M（m，﹣m2+4）， 设AM的表达式为 y＝k1x+b2，将A（﹣2，0）M（m，﹣m2+4）代入得， 由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为 y＝（2﹣m）x+4﹣2m， 同理可得：BN的表达式为 y＝﹣（2+n）x+4+2n， MN的表达式为 y＝﹣（m+n）x+4+mn， ∵MN 经过点O， ∴0＝4+mn，mn＝﹣4， 直线AM、BN相交于点H，， 解得x， 当x 时， y8， ∴点H的纵坐标为8， ∴△ABH 的面积4×8＝16． 4．抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4ac（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）如图1，∠ACB＝90°，求出抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，点D（x1，y1）（x1＜0）是抛物线上y＝ax2﹣3ax﹣4ac的动点，直线DO与抛物线的另一个交点为E； ①若D、E关于点O对称，求D点坐标； ②若点P（0，m）是y轴上一点，直线DP的表达式为y＝k1x+b1，直线EP的表达式为y＝k2x+b2，当k1+k2的值是一个定值时，求m的值． 【分析】（1）根据二次函数的图象求出对称轴，再根据抛物线与A的交点求出c，根据抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且对称轴为直线，求出B（4，0），进而求出OA＝1，OB＝4，得出AB＝5，因为抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C，求出C（0，﹣4a），得到OC＝﹣4a，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2＝1+16a2，BC2＝OB2+OC2＝16+16a2，则AB2＝AC2+BC2，推出，则抛物线， （2）①先根据抛物线的对称性，得到B（4，0），再求出抛物线与y轴的交点C（0，﹣4a），利用勾股定理列方程，求得，进而得到抛物线；根据坐标关于原点对称的特征，得到E（﹣x1，﹣y1），将点D、E代入抛物线解析式，求出x1、y1的值，即可得到D点坐标； ②设直线DO的解析式为y＝ax，先求出，然后联立直线DO与抛物线，求得，再利用待定系数法分别求出k1和k2的值，即而得到k1+k2的值，最后利用k1+k2的值是一个定值，即可求出m的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4ac， ∴对称轴为直线， ∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4ac（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴a+3a﹣4ac＝0，即4a＝4ac， 解得：c＝1； ∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且对称轴为直线， ∴B（4，0）， ∴OA＝1，OB＝4， ∴AB＝5， ∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C， ∴C（0，﹣4a）， ∴OC＝﹣4a， 由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2＝1+16a2，BC2＝OB2+OC2＝16+16a2， ∵∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2， ∴（1+16a2）+（16+16a2）＝52， 整理得：， ∵a＜0， ∴， ∴抛物线， （2）①∵点D（x1，y1）、点E是抛物线上的点，且D、E关于点O对称， ∴E（﹣x1，﹣y1）， 整理得：x12＝4， ∵x1＜0， ∴x1＝﹣2， ∴， ∴D（﹣2，﹣3）； ②设直线DO的解析式为y＝ax， ∵D（x1，y1）为直线DO与抛物线的一个交点， ∴， ∴， ∴直线DO的解析式为， 联立， 解得：， 当时，， ∴， 将D（x1，y1）、P（0，m）代入直线DP：y＝k1x+b1， ∴， 将、P（0，m）代入直线EP：y＝k2x+b2， ∴， ∴， ∴， ∵k1+k2的值是一个定值， ∴m﹣4＝4﹣m＝0， ∴m＝4． 5．如图，直线l：y＝﹣x+4交x轴、y轴的正半轴分别于E、D点，有抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a＞0）． （1）求证：当a（a＞0）变化时，抛物线与x轴恒有两个交点； （2）当a（a＞0）变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，说明理由； （3）设直线l与抛物线交于M、N两点探究：在直线l上是否存在点P．使得无论a（a＞0）怎么变化，PM⋅PN恒为定值？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，并说明点P是否在线段MN上；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据Δ＝（1﹣2a）2﹣4a×（﹣2）＝（1+2a）2≥0，即可求证； （2）由y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2＝a（x2﹣2x）+x﹣2，即可求解； （3）设点M，N的横坐标为x1，x2，联立可得ax2+（2﹣2a）x﹣6＝0，从而得到，，设点P（t，4﹣t），再由△ODE是等腰直角三角形，可得，从而得到，即可求解． 【解答】（1）证明：∵a＞0，且Δ＝（1﹣2a）2﹣4a×（﹣2）＝（1+2a）2≥0， ∴当a（a＞0）变化时，抛物线与x轴恒有两个交点； （2）解：当a（a＞0）变化时，抛物线恒经过定点；理由如下： ∵y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2＝a（x2﹣2x）+x﹣2， ∴当x2﹣2x＝0，即x＝0或2时，抛物线恒经过定点，定点为（0，﹣2）或（2，0）； （3）解：存在，理由如下： 根据题意画出图象如下： 设点M，N的横坐标为x1，x2， 联立得：， 整理得：ax2+（2﹣2a）x﹣6＝0， ∴，， 设点P（t，4﹣t）， 对于y＝﹣x+4， 当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4， ∴E（4，0），D（0，4）， ∴OD＝OE＝4， ∴△ODE是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当t＝3时，PM⋅PN恒为定值，此时点P（3，1）， 当x＝3时，yP＝1，此外当点P和点M或N重合时，PM⋅PN＝0是定值， 当M、N不是定点，故舍去， 此时对应抛物线上的点的纵坐标为：y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2＝9a+3（1﹣2a）﹣2＝3a+1＞1， 即x＝3时，抛物线上对应点在点P的上方，故点N在点P的左方， 故点P不在线段MN上， 综上，符合条件点的坐标为：（3，1），点P不在线段MN上． 6．如图1，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段DE的最大值，并求出此时点D的坐标； （3）如图2，将抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点H（1，2）的直线（直线FH除外）与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．试探究GM•GN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法求AC的解析式，设D（t，﹣t2﹣2t+3），过点D作DF∥y轴交直线AC于点F，则F的坐标是（t，t+3），用含t的代数式表示DF的长度，证明△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （3）由翻折抛物线C2的解析式为yy＝﹣x2+2x+3，可得求出直线JF的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，得到M（1，0），同理可得，GN，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣2x+3， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）过点D作DF∥y轴交直线AC于点F， 当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点C的坐标为（0，3）． ∵A（﹣3，0）， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DEDF， ∴当DF最大时，线段DE有最大值， 设直线AC的解析式为y＝kx+d（k≠0）， 将A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+3． 设点D（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则点F的坐标是（t，t+3）， ∴DF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2， ∴当t时，线段DF的最大值为， ∴线段DE的最大值为DEDF， ∴此时点D的坐标为（，）； （3）是定值，理由： ∵将抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F， ∴抛物线C2：y＝﹣x2+2x+3，F（1，4）， ∵直线JI过点H（1，2），故设直线JI的表达式为：y＝k（x﹣1）+2， 设点J、I的坐标分别为：（m，﹣m2+2m+3），点N（n，﹣n2+2n+3）， 联立y＝k（x﹣1）+2和y＝﹣x2+2x+3并整理得：x2+（k﹣2）x﹣k﹣1＝0， 则m+n＝2﹣k，mn＝﹣k﹣1， 由点J、F的坐标得，直线JF的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4， 令y＝0，则x＝1，即点M（1，0）， 则GM＝1﹣1， 同理可得，GN， 则GM•GN8． 7．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1．点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求点N到直线AC的距离最大值，并求出此时点P的坐标． （3）若点M在线段AC上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线MP上一动点，连接AD、CD，直线AD、CD分别交抛物线于E、F，连接EF，当MN平分EF时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由． 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出点B的坐标，从而用两点式求出函数解析式； （2）求出点C的坐标，从而得到直线AC的解析式，即可证明△AOC是等腰直角三角形，过点N作NQ⊥AC于点Q，设点N的坐标为（t，t2+2t﹣3），则点M的坐标为（t，﹣t﹣3），列出表达式即可得到答案； （3）设点E的坐标为（m，m2+2m﹣3），则点F的坐标为（n，n2+2n﹣3），求出yAE＝（m﹣1）x+3（m﹣1），yCF＝（n+2）x﹣3，由MN平分EF，列出式子求出答案． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴点B的坐标为（1，0）， ∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3； （2）∴当x＝0时，y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， 设AC的解析式为y＝kx+d，依题意得： ， 解得：， ∴AC的解析式为y＝﹣x﹣3， ∵在坐标系中OA＝OC＝3， ∴△AOC是等腰直角三角形，∠BAC＝45°， ∵PM⊥x轴， ∴∠MPA＝90°， ∴∠NMQ＝∠AMP＝180°﹣∠BAC﹣∠APM＝45°， 过点N作NQ⊥AC于点Q，如图， ∴△NMQ是等腰直角三角形， ∴， 设点N的坐标为（t，t2+2t﹣3），则点M的坐标为（t，﹣t﹣3）， MN＝（﹣t﹣3）﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t， ∴， 当时，点N到直线AC的距离NQ最大值为，此时点P的坐标为； （3）点D的横坐标是定值，， 设点E的坐标为（m，m2+2m﹣3），则点F的坐标为（n，n2+2n﹣3）， ∵点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3）， ∴yAE＝（m﹣1）x+3（m﹣1）， yCF＝（n+2）x﹣3， ∴， ∵MN平分EF， ∴， ∴6m＝（m+n）（n﹣m+3）＝n2﹣m2+3m+3n， ∴m2﹣n2+3m﹣3n＝0， ∴（m﹣n）（m+n+3）＝0， ∵m≠n， ∴m+n＝﹣3， ∴即D点的横坐标是定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 二次函数综合题必考十大类型 【沪科版】 【类型1 二次函数与线段问题】 1 【类型2 二次函数与面积问题】 4 【类型3 二次函数与角度问题】 6 【类型4 二次函数与等腰三角形问题】 8 【类型5 二次函数与直角三角形问题】 11 【类型6 二次函数与平行四边形问题】 13 【类型7 二次函数与矩形问题】 15 【类型8 二次函数与菱形问题】 17 【类型9 二次函数与正方形问题】 19 【类型10 二次函数中的定值问题】 20 【类型1 二次函数与线段问题】 1．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为　 　． 2．抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图，当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标． 3．如图，二次函数y＝x2﹣4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，﹣3），与y轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标； （2）点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．当时，求m的值． 4．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线在第四象限上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F （1）用含m的代数式表示线段PF的长度，并求出其最大值； （2）若EF：FP＝2：3，求点P的坐标． 5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线yx+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）写出线段CE的长（用含有m的代数式表示）； （3）若PE＝5EF，求m的值； 6．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+c（a，c是常数，且a≠0）． （1）若该二次函数的图象经过点（1，0）和（5，4），求该二次函数的表达式； （2）若a﹣c＝1，且该二次函数图象经过第一、二、四象限，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，若该二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C（点B在点C左侧），线段MN在抛物线的对称轴上移动（点N在点M下方），且MN＝1．求MA+NB的最小值． 7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 【类型2 二次函数与面积问题】 1．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0）、B（2，6）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点P在抛物线上，且在直线l上方，若△PAB的面积为，求点P的坐标． 2．如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线AC的函数解析式为． （1）求点A，C的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标． 3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若点P在直线BC的上方，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a＞0）与x轴交于A（4，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D是第四象限抛物线上的动点，令四边形ABCD的面积为S，求S的最大值及此时点D的坐标； （3）如图2，点P是第三象限抛物线上一点，直线BE∥AP交y轴于点E，直线BP交y轴于点F，若四边形AEBF的面积被坐标轴分为1：2两部分，求点P的坐标． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6交x轴于A（﹣2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C，点Q为线段BC上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求QA+QO的最小值； （3）过点Q作QP∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值． 【类型3 二次函数与角度问题】 1．如图，抛物线yx2与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P（1，﹣3）在抛物线上，D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标． 2．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在第四象限的抛物线上求点P，使∠PCB＝∠CAB，求出点P的坐标． 3．如图，抛物线yx2x﹣2与x轴交于点A和B两点，点C（6，4）在抛物线上，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标． 4．如图，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标． 5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值及点P的坐标； ②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）△BCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线AQ与直线BC交于点Q，若存在∠AQB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型4 二次函数与等腰三角形问题】 1．综合与探究 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，直线l与抛物线交于B，D两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求△BCD的面积； （3）若抛物线的对称轴与直线l的交点为N，则在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BMN是以MN为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m． （1）求直线BC的解析式； （2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 3．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，DP的长最大？ （3）是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）连接AC、BC，求S△ABC； （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，并且与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）直线BC的解析式为 　 　； （3）若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值； （4）在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证明；如果不存在，说明理由． 6．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点A（1，0），B（m，0），C（0，﹣3），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n． （1）填空：m＝　 　，a＝　 　，c＝　 　； （2）在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值； （3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使△PDQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型5 二次函数与直角三角形问题】 1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC＝2OA． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线CB的距离是7时，求m的值； （3）点P为抛物线对称轴上一点，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 2．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（1，﹣5），求抛物线L2对应的函数关系式； （2）当△BPC的周长最小时，求抛物线L2对应的函数关系式； （3）是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线L2对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 3．如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y＝x﹣4交于B，D两点 （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 4．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点． （1）求A，B两点的坐标； （2）求△MBC的面积； （3）对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型6 二次函数与平行四边形问题】 1．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，已知A（﹣1，0），连接BC，抛物线对称轴与BC交于点E． （1）求b的值及顶点D的坐标； （2）点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在以DE为边，且以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； （3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标． 4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t（0＜t＜3），交BC于点D． （1）求A，B的坐标和直线BC的解析式； （2）连接BP，求△CPB面积的最大值； （3）已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值． 5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型7 二次函数与矩形问题】 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标； （3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为A（4，4），与直线交于点O和点C． （1）直接写出点B的坐标　 　； （2）求抛物线的解析式，并求出点C的坐标； （3）如图2，点T（t，0）（t＞0）是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线于点D，交抛物线于点E，以DE为一边，在DE的右侧作矩形DEFG，且DG＝2．当矩形DEFG的面积随着t的增大而增大时，求t的取值范围． 4．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出PD+EF的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型8 二次函数与菱形问题】 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是线段OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C（0，4）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上位于直线AC上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线AC于点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中PE+PF取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H，M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N，使得以点H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N的坐标． 3．已知抛物线yx+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积； （3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； （3）将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A（﹣1，0），Q（2，3），M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【类型9 二次函数与正方形问题】 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点B，与y轴相交于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过两点B，C，与x轴另一交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，点E以每秒1个单位长度的速度在线段OB上由点O向点B运动（点E不与点O和点B重合），设运动时间为t秒，过点E作EF⊥x轴交CD于点F，作EH⊥BC于点H，交y轴右侧的抛物线于点G，连接FG，当S△EFG＝4时，求t的值； （3）如图2，正方形MNPQ，边MQ在x轴上，点Q与点B重合，边长MN为1个单位长度，将正方形MNPQ沿射线BC方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为t秒，在平移过程中，请写出正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点P是抛物线上的动点，且横坐标为m，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，以PQ为边在PQ的右侧作正方形PQMN． （1）直接写出此抛物线的解析式； （2）当点P在直线BC上方的抛物线上时，求PQ的长（用含m的代数式表示）； （3）当抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）时，求m的值； （4）当此抛物线在正方形PQMN内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出m的值． 3．综合与探究 如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　（1，2）　； （3）点D为二次函数位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求△ABD面积的最大值； （4）在（2）的条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 4．如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，2），点D是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点D在直线BC上方时，作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，当∠D＝∠BCO时，求点D的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形BPDQ为正方形时，请直接写出点Q的坐标． 【类型10 二次函数中的定值问题】 1．如图1，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，连接AD，DC． （1）求抛物线C1的解析式； （2）求△ADC面积的最大值； （3）如图2，将抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点H（1，2）的直线与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．试探究GM•GN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 2．如图1，抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线BM的距离相等时，求直线BM的解析式； （3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m（﹣3＜m＜﹣1），点F的横坐标为m+1．过点D作x轴的垂线交直线AC于点M，过点F作x轴的垂线交直线AC于点N． ①如图2，连接DF，求四边形DFNM面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接AD和FC，试探究△ADM与△CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上不同的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2，且AB＝4． （1）求点A的坐标及抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一动点，连接PA、PB、AC，若∠PAC＝∠PCA，求点P的坐标． （3）点M，N的横坐标分别为m、n（m≠n，m﹣n≠4），且点M，N均在抛物线上，已知直线AM、BN相交于点H．当直线MN经过点O时，判断△ABH的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 4．抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4ac（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）如图1，∠ACB＝90°，求出抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，点D（x1，y1）（x1＜0）是抛物线上y＝ax2﹣3ax﹣4ac的动点，直线DO与抛物线的另一个交点为E； ①若D、E关于点O对称，求D点坐标； ②若点P（0，m）是y轴上一点，直线DP的表达式为y＝k1x+b1，直线EP的表达式为y＝k2x+b2，当k1+k2的值是一个定值时，求m的值． 5．如图，直线l：y＝﹣x+4交x轴、y轴的正半轴分别于E、D点，有抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a＞0）． （1）求证：当a（a＞0）变化时，抛物线与x轴恒有两个交点； （2）当a（a＞0）变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，说明理由； （3）设直线l与抛物线交于M、N两点探究：在直线l上是否存在点P．使得无论a（a＞0）怎么变化，PM⋅PN恒为定值？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，并说明点P是否在线段MN上；若不存在，请说明理由． 6．如图1，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段DE的最大值，并求出此时点D的坐标； （3）如图2，将抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点H（1，2）的直线（直线FH除外）与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．试探究GM•GN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 7．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1．点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求点N到直线AC的距离最大值，并求出此时点P的坐标． （3）若点M在线段AC上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线MP上一动点，连接AD、CD，直线AD、CD分别交抛物线于E、F，连接EF，当MN平分EF时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$