21.4二次函数的应用之几何相关存在性问题 培优练习 2025-2026学年沪科版数学九年级上册

沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之几何相关存在性问题（培优练习） 一、直角三角形存在性 1．如图，已知抛物线与轴交于点和点，直线过点且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上一点（不与重合），作点关于轴的对称点，连接，当是直角三角形时，求出点的坐标． 2． 抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接点是线段下方抛物线上的一个动点不与点，重合，过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标； （3）过点作于点，， 求点的坐标； 连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、 C 两点， 与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，-4），点C坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点 P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点 P 的坐标 二、等腰三角形存在性 4．【问题背景】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． 【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式． 【构建联系】 （2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 5．如图，抛物线经过、两点． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）当时，x的取值范围是多少？ （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MOB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点． （1）求二次函数解析式； （2）连接，，，试判断的形状，并说明理由； （3）点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标； （4）在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 三、等腰直角三角形存在性 7．如图，抛物线与轴交于点．已知抛物线顶点纵坐标为．点P在此拋物线上，其坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，结合图象，直接写出的取值范围． （3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）恰有三个点到轴的距离为1． ①求的取值范围． ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣3），过点P作x轴的垂线，交线段AF于点D，求线段PD长度的最大值； （3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H． （1）求抛物线的表达式； （2）求的面积； （3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当为等腰直角三角形时，点N的坐标为　 　． 四、平行四边形存在性 10．已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； （3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标； （3）在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 12．如图1，二次函数的图象交轴于点A，点B，交轴于点C，过点A的直线AD与抛物线交于点D（4，5）. （1）请确定直线AD的解析式； （2）连接BC，点P是抛物线上的一个动点，过点P作轴的平行线交直线AD于点E，交线段BC于点F. ①如果点P在第四象限的抛物线上运动，当PE=3PF时，求点P的坐标； ②设直线AD与轴的交点为G，如图2，在点P运动的过程中是否存在以点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 13．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． 五、菱形存在性 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的对称轴交x轴于点M，点N是直线上一点，在平面内确定一点K，使得以为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值． （3）连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点E，过点P作的平行线交x轴于点F，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将该抛物线y沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点G是新抛物线的顶点，点M为新抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点C，G，M，N为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 六、矩形存在性 17．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 七、正方形存在性 18．如图，抛物线经过点，，三点，设点是抛物线上一动点，且在轴下方，四边形是以为对角线的平行四边形. 备用图 （1）求抛物线的解析式； （2）当点运动时，试求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并求出面积的最大值 （3）是否存在这样的点，使平行四边形为正方形?若存在，求点，点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边)，与y轴相交于点C（0，-3)且抛物线的顶点坐标为（1，-4) （1）求抛物线的表达式； （2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，-1)，连接BC、DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标； （3）M、N是抛物线上的两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为G.H.是否存在点M，N、使得以M，N、G、H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由。 答案解析部分 1．【答案】（1）解：直线与轴相交于点，令，解得，， 将点代入拋物线中，得： ，解得 抛物线的解析式为 （2）解：设，由题可得． 如图知， 故可知为直角三角形有两种情况 ，有，即．解得： 点的坐标为，有，即 ，解得：点的坐标为 综合①②，点的坐标为或 2．【答案】（1）解：抛物线与轴交于点和， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，得， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ，， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：如图， ，，，，，， ，，，， ， ， 解得：，， 点是线段下方抛物线上的一个动点， ， ， ； 存在点使得为直角三角形，设， ，， ，，， 当时，如图，轴， ； 当时，如图， 在中，， ， 解得：， ； 综上所述，点的坐标为或 3．【答案】（1）解：∵抛物线 y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过 点B（0，-4），点C（2，0）， ， 解得 ， 抛物线的解析式为 （2）解：存在 理由： 如图 1 中， 设 ， 连接 OD. 令 ， 则 解得x=-4或2， ∴A（-4，0），C（2，0）， ∵B（0，-4）， ∴OA=OB=4， ∵﹣1＜0， ∴t=-2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（-2，-4）； （3）解： 如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（-1.0）．M（-1，-4）； ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 当∠P1AB＝90°时，△ANP1 是等腰直角三角形， 当 时， 是等腰直角三角形， 可得 ， 当∠APB=90°时，设P（-1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（-2，-2）， ， 解得 或 ， ， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（-1，3）或（-1，-5）或或 . 4．【答案】解：（1）∵∴，， 把，代入，得， ， 解得，， ∴此抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 把把，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 设点的坐标为，则点， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为； （3）∵ ∴ 如图， 当为底边时，点的坐标为； 当为腰时，点的坐标为或或； 综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或或 5．【答案】（1）解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B（3，0）、C（0，3）两点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3； （2）解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4， ∴对称轴为直线x＝1， ∴C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3）， ∴当y≥3时，x的取值范围是0≤x≤2． （3）解：由（2）可知抛物线对称轴为x＝1， 设M（1，t）， ∵B（3，0），O（0，0）， ∴BM2＝4＋t2，OM2＝1＋t2，OB2＝9， ∵△MOB为等腰三角形， ∴有BM＝BO、OM＝OB和MB＝MO三种情况， ①当BM＝BO时，即4＋t2＝9，解得t＝±， 此时M点坐标为（1，）或（1，）； ②当OM＝OB时，即1＋t2＝9，解得， 此时M点坐标为（1，）或（1，）， ③当MB＝MO时，即4＋t2＝1＋t2，解得t无实数根． 综上所述，存在满足条件的M点，其坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）． 6．【答案】（1）解：设二次函数表达式为：， 则，解得：， 函数的表达式为：； （2）解：由（1）知，点， ∴，，， ， 故为直角三角形； （3）解：过点作轴交于点， 将点、的坐标代入一次函数表达式， 解得： 直线的表达式为：， 设点，则点， ， 当时，最大值为，此时点； （4）或或 7．【答案】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线顶点纵坐标为， ， ， 抛物线的解析式为：； （2） （3）解：①当点到轴的距离为时，或， 当时，则， 解得：，， 当时，则， 解得：，， 如图，点，，，到轴的距离均为1， ， 抛物线在点左侧部分（包括点）恰有三个点到轴的距离为1， 的取值范围是； ②． 8．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0）， ∴，解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）解：如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q， 设直线AF的解析式为y＝kx+d， 由A（3，0），F（0，﹣3）的坐标得，直线AF的表达式为：y＝x﹣3， 设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则D（t，t﹣3）， ∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣3）＝﹣t2+t+6=， ∴当t=时，PD最大，为. （3）解：存在，理由： 设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n）， ∵A（3，0）， ∴OA＝3，OF＝|n|， 如图2，过点P作PD⊥x轴于点D， 则∠ADP＝90°＝∠AOF， ∴∠PAD+∠APD＝90°， ∵∠PAD+∠FAO＝90°， ∴∠APD＝∠FAO， 在△APD和△FAO中， ， ∴△APD≌△FAO（AAS）， ∴PD＝OA，AD＝OF， ∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m， ∴﹣m2+2m+3＝3， 解得：m＝0或2， 当m＝0时，P（0，3），AD＝3， ∴OF＝3，即|n|＝3， ∵点F在y的负半轴上， ∴n＝﹣3， ∴F（0，﹣3）； 当m＝2时，P（2，3），AD＝1， ∴OF＝1，即|n|＝1， ∵点F在y的负半轴上， ∴n＝﹣1， ∴F（0，﹣1）． 9．【答案】（1）解：把A（4，0），B（1，3）代入抛物线中， 得， 解得， ∴该抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线x＝2， ∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（1，3）， ∴C（3，3）， ∴BC＝2， ∴； （3）（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0） 10．【答案】（1）解：把和点代入得到，解方程组得， ∴抛物线的解析式为． 故答案是：． （2）解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为，∴，， ∵，轴，在上，在上，， ∴，， ∴， ∵二次函数的二次项系数，图像开口向下， ∴有最大值， 当时，， 故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是． （3）解：如图所示， 由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是， ∵， ∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴的值为， 故答案是：． 11．【答案】（1）解：由题意，将，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将B、C点坐标代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，轴于点H，则， ∴ ， ∴ ∵是关于x的二次函数，， ∴当时，有最大值为4， 此时； （3）P点的坐标为或或． 12．【答案】（1）解：当时，代入中 得： 解得： ∴A(-1，0)，B（3，0） 设直线AD的解析式为 把A(-1，0)，D(4，5)分别代入中 解得： ∴直线AD的解析式为 （2）解：①当时，代入中 得： ∴C(0，-3) 设直线BC的解析式为 把B(3，0)，C(0，-3)分别代入中 解得： ∴直线BC的解析式为 设P（） ∴E（） F（） ∴PE=-= PF=-= ∵PE=3PF ∴=3() 解得： ∴， ②，， 13．【答案】（1）解：∵抛物线经过点A，点C，且， ∴， ∴将其分别代入抛物线，可得， 解得． 故此抛物线的函数表达式为： （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设N的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，且为， 把代入抛物线得，N的坐标为， 当N的坐标为，有最大值 （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为， 令得，， 解得，，， ∴点B的坐标为； ①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时， ∴； ②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时， ∵， ∴， ∴的横坐标为3， ∴； 当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时， ∵， ∴的横坐标为， ∴； 综上所述，K、L点的坐标为或或 14．【答案】（1）解：由题意得： ，解得：， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：在中， 当时，， ， 由点、的坐标得直线的表达式为：， 设，，， ， ， 当时， 有最大值为4， 则点； （3）解：满足条件的点坐标为：，，． 由知，对称轴是直线， 则新抛物线的对称轴为， ， 由（2）可知， 设， ， ， 当时，， 解得：， 坐标为，坐标为． 15．【答案】（1）解：将，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为． 答：二次函数的解析式为． （2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点， 设，直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 则， ， 当时，的面积最大， 此时，点的坐标为，的面积的最大值为． （3）解：存在． 如图，设点，交于点， 若四边形是菱形，则， 连接，则，， ， 解得，不合题意，舍去， 16．【答案】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴， 解这个方程组，得 ， ∴抛物线的表达式为； （2）解：延长交x轴于点H， 设直线的表达式为， ∴， 解这个方程组，得， ∴直线的表达式为． ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∴当时，取得最大值为，此时 （3）解：将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，，， 抛物线，向右，向下分别平移了2个单位长度， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为， 设，， ①若时，则：， 解这个方程，得， ∵四边形CMGN是菱形， ∴， 解这个方程组，得， 故点的坐标为； ②若时，则有， 解这个方程，得或， ∵四边形是菱形， ∴， 解这个方程组，得或， 故点的坐标为或； 综上可得，满足条件的点的坐标为或或． 17．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，解得：a=-1， ∵抛物线过点， ∴，解得：c=3， ∴抛物线解析式为 （2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下： 令y=0，则， 解得：， ∴点A的坐标为（-1，0）， ∴OA=1， 当x=0时，y=3， ∴点C的坐标为（0，3），即OC=3， ∴， 设直线BC的解析式为， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 设点N（m，-m+3）， ∴MN=-m+3， ∴，， 当AC=AN时，， 解得：m=2或0（舍去）， ∴此时点N（2，1）； 当AC=CN时，， 解得：或（舍去）， ∴此时点N； 当AN=CN时，， 解得：， ∴此时点N； 综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形； （3）解：存在，点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或． 18．【答案】（1）解：设所求抛物线的解析式为， 抛物线经过点，，三点，则由题意可得： ，解得. 所求抛物线的解析式为： （2）解：点是抛物线上一动点，且在轴下方， ， 即，表示点到的距离. 是平行四边形的对角线， ， 与之间的函数关系式为：，的最大值为. （3）解：当，且时，平行四边形是正方形， 此时点坐标只能，而坐标为点在抛物线上， 存在点，使平行四边形为正方形， 此时点坐标为 19．【答案】（1）解：设抛物线表达式为y=a(x-1)2-4. 由抛物线过点C(0，-3)，得a(0-1)2-4=-3，解得a= 1. 所以，抛物线的表达式为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3 （2）解：方法1：过点P作x轴的垂线，交x轴于点F. ∵△CDE与△PBE的面积相等， ∴△BOC与四边形BODP的面积相等. 设点P(t， t2-2t-3)，其中0＜t<3， ∴点F坐标为(t，0). 当y=0时x2-2x-3=0 解之：x1=-1，x2=3， ∴点B（3，0） ∴. 四边形BODP的面积. 所以. 整理得. 解得（舍去），. 点P的纵坐标. 所以点P的坐标为. 方法2连接PC，BD，过点P作CD的垂线，垂足为F. ∵△CDE与△PBE的面积相等， 所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD. 则点P和点C到直线BD的距离相等. 所以直线 PC∥BD， 易证△PFC∽△BOD. 所以. 设，其中. 则，解得，则.所以点P的坐标为 方法3连接PC、 BD， 过点P作直线CD的平行线， 交 BD于点F. 因为△CDE与△PBE的面积相等， 所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD： 则点P和点C到直线BD的距离相等. 所以直线PC// BD. 设直线 BD的表达式为y=kx+b. 易知点B的坐标为(3， 0)， 则则 所以直线BD的表达式为. 由，得，四边形PFDC是平行四边形，则. 设，其中，则. 由，解得（舍去），. 则. 所以点P的坐标为. 方法4连接PC、BD、过点P作直线CD的平行线，交 BD于点F. 因为△CDE与△PBE的面积相等， 所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD 则点P和点C到直线BD的距离相等 所以直线 直线 B D 的表达式为 ． 设点 ，其中 ，则 ． 所以 由 ，得 ，解得 （含去）， 点 的纵坐标 ． 所以点 的坐标为 （3）解：满足条件的点M， N存在. 理由如下： ①若点M，N分别在直线BC的两侧， 不妨令点M在直线BC上方、点N在直线BC下方，如图. 可知∠MGH=90°， 则∠MGN= ∠MGH + ∠HGN>90°，不合题意. ②若点M、N在直线 BC的下方， 不妨设点M在点H下方，如图. 直线 BC 的表达式为y = x-3. 连接MH、则△MGN为等腰直角三角形，∠HGN=45°， 可得GN⊥y轴，MH⊥x轴. 设点M坐标为(m，m2-2m-3).其中0＜m<3. 则点H坐标为(m. m-3). 根据正方形的特征，可得点N坐标为，将点N坐标代入抛物线表达式，得，即。化简得，因为. 所以，进一步化为. 解得，（舍去）. 此时，正方形边长为. ③若点M，N在直线BC的上方， 不妨设点M在点H上方，如图. 设点，其中或， 根据正方形的特征，点N坐标为， 将点N的坐标代入抛物线的表达式， 得，即。化简得， 由于m<0或m>3， 则(m-2)(m2-5m-2)=2(m+2)， 进一步化为m2-7m+6=0. 解得m1=1(舍去)， m2=6. 此时MH=18，正方形边长为9. 综上所述，正方形边长为或9. 学科网（北京）股份有限公司 $