精品解析：辽宁省抚顺市清原满族自治县清原三中教育集团2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度九年级上学期第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 5. 已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线的说法错误的是 （ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是（1，-3） C. 抛物线的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12 8. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 9. 8月23号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，小希给（）个同学发了短信． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 10. （11·孝感）如图，二次函数的图像与轴正半轴相交，其顶点坐标为（），下列结论：①；②； ③；④. 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是__________． 12. a是方程的一个根，则代数式的值是_______． 13. 已知点，是抛物线上的两点，则此抛物线的对称轴为________． 14. 若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是______． 15. 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_____． 三、解答题（第16小题8分，第17小题12分，共20分） 16. 解方程： （1）（x﹣2）2＝（2x+3）2； （2）. 17. 已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为，结合图象回答以下问题： （1）方程的根是____________； （2）函数值不大于0，x的取值是______； （3）当y随x的增大而减小时，x的取值是 ； （4）当时，y的取值范围是________； （5）若直线经过B、C两点，则时，x的取值是______； （6）的面积是 四、解答题（共17分） 18. 为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2016年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2018年投资18.59万元． （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从2016年到2018年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？ 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当是等腰三角形时，求的值． 五、解答题（共16分） 20. 根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． （1）已知图象的顶点坐标为，且过点； （2）已知图象经过、、三个点． 21. 扬州某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）如果要使该企业每天的销售利润为4000元，求应将单价降低多少元？ （2）能否使该企业每天的销售利润为5000元？请说明理由． 六、解答题（共10分） 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 七、解答题（共12分） 23. 已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点D，使，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由； （3）若点E是x轴上一个动点，是否存在以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级上学期第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 2. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系即可求出两根之和． 【详解】解：是一元二次方程的两根， ∴． 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况． 【详解】解：原方程可化为：， ，，， ， 方程由两个不相等的实数根． 故选A． 【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键． 4. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值大小比较，其对称轴为，图象开口向下，则点到对称轴的距离越小函数值越大，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为，图象开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越小函数值越大， ∵点，，在上，且， ∴， 故选：B． 5. 已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特征是解决问题的关键．把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解∶抛物线与轴的一个交点为， ， 故选D． 6. 对于抛物线的说法错误的是 （ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是（1，-3） C. 抛物线的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】找到题目中函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性后即可得出答案． 【详解】解：中，抛物线开口向下，顶点坐标为（1，-3），对称轴为直线，当时，随的增大而减小． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是抛物线的性质，能正确的说出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标是解此题的关键． 7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】解：解方程x2﹣6x+8=0得：x=2和x=4， ∵2+2=4， ∴2、2、4不能构成三角形， ∴三角形的三边长为2、4、4， 则周长为：2+4+4=10. 故选：B． 8. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 9. 8月23号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，小希给（）个同学发了短信． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设小希给x个同学发了短信，根据收到这条短信的同学共有157人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设小希给x个同学发了短信， 依题意，得：1+x+x2=157， 解得：x1=-13，x2=12． 故选C． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解题意列出方程. 10. （11·孝感）如图，二次函数的图像与轴正半轴相交，其顶点坐标为（），下列结论：①；②； ③；④. 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x=﹣=，∴b=﹣a＞0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，①正确； ②∵b=﹣a，∴a+b=0，②正确； ③∵抛物线的顶点坐标为（，1），∴=1，∴4ac﹣b2=4a，③正确； ④∵抛物线的对称轴为x=，∴x=1与x=0时y值相等，∵当x=0时，y=c＞0，∴当x=1时，y=a+b+c＞0，④错误． 综上所述：正确的结论为①②③． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 解得，， 故答案为：． 12. a是方程的一个根，则代数式的值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为8． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键． 13. 已知点，是抛物线上的两点，则此抛物线的对称轴为________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可． 【详解】解：抛物线经过点，， 此两点关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为直线， 故答案为：直线． 14. 若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k≥，且k≠0 【解析】 【分析】若一元二次方程有两个等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1＝0有两个实数根， ∴Δ＝4（k+1）2﹣4k（k﹣1）＝12k+4≥0，且k≠0． 解得：k且k≠0， ∴故本题答案为：k，且k≠0． 【点睛】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；③Δ＜0⇔方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0． 15. 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_____． 【答案】（1+，2）或（1﹣，2）． 【解析】 【详解】解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形， ∴点P在线段CD的垂直平分线上， 如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴C（0，3），且D（0，1）， ∴E点坐标为（0，2）， ∴P点纵坐标为2，在中，令y=2，可得，解得x=，∴P点坐标为（，2）或（，2），故答案为（，2）或（，2）． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，以及抛物线上点的坐标，解决此题的关键是和合理的推理正确的计算． 三、解答题（第16小题8分，第17小题12分，共20分） 16. 解方程： （1）（x﹣2）2＝（2x+3）2； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用直接开方法求解； （2）利用公式法求解． 【详解】解：（1）∵（x﹣2）2＝（2x+3）2， ∴（x﹣2）＝±（2x+3）， 即x﹣2＝﹣（2x+3）或x﹣2＝2x+3， 解得x1＝﹣，x2＝﹣5. （2）对于3x2﹣4x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24， ∴x＝， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程的求解，灵活运用各种方法求解是解题关键． 17. 已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为，结合图象回答以下问题： （1）方程的根是____________； （2）函数值不大于0，x的取值是______； （3）当y随x的增大而减小时，x的取值是 ； （4）当时，y的取值范围是________； （5）若直线经过B、C两点，则时，x的取值是______； （6）的面积是 【答案】（1） （2）或 （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）把抛物线解析式化为顶点式，可求出抛物线的对称轴为直线，从而得到抛物线与x轴的另一个交点即可求解； （2）直接观察函数图象，即可求解； （3）直接观察函数图象，即可求解； （4）点代入抛物线解析式，求出c，再观察函数图象，即可求解； （5）直接观察函数图象，即可求解； （6）求出点，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点为点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为点， ∴方程的根是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：观察图象得：当或时，函数图象位于x轴的下方， ∴函数值不大于0时，x的取值是或； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：∵抛物线的开口向下，且抛物线的对称轴为直线， ∴当y随x的增大而减小时，x的取值是； 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵抛物线与x轴的一个交点为点， ∴， ∴， ∴原抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 即该二次函数的最大值为4， 观察图象得：当时，y的取值范围是； 故答案为：； 【小问5详解】 解：观察图象得：当时，直线位于抛物线的下方， ∴时，x的取值是； 故答案为：； 【小问6详解】 解：当时，， ∴点，即， ∵点， ∴， ∴的面积是， 故答案为：6． 四、解答题（共17分） 18. 为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2016年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2018年投资18.59万元． （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从2016年到2018年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？ 【答案】（1）30%；（2）43.89 【解析】 【分析】（1）设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为，根据以后每年以相同的增长率进行投资，2016年投资18.59万元，列出方程，求出方程的解即可． （2）根据（1）求出的增长率，就可求出2015年的投资金额，再把2014年，2015年和2016年三年的投资相加，即可得出答案． 【详解】（1）设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意得： 11（1+x）2=18.59 解得：x1=0.3=30%，x2=﹣2.3（不合题意，舍去）． 答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为30%． （2）∵2014年投资11万元， ∴2015年投资：11×（1+30%）=14.3（万元）． ∴该中学三年为新增电脑共投资：11+14.3+18.59=43.89（万元）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意把不合题意的解舍去． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵Δ＝(k＋1)2−4(2k−2) ＝k2＋2k＋1−8k＋8 ＝k2−6k＋9 ＝(k−3)2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）7 【解析】 【分析】（1）证明△≥0即可； （2）求出方程的解，根据△ABC是等腰三角形分类讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原方程分解因式得：(x−2)[x−(k−1)]＝0， ∴x1＝2，x2＝k−1， 当等腰三角形的腰是2时，2＋2＜6，不合题意， ∴等腰三角形的腰是6， ∴k−1＝6， ∴k＝7． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是对原方程进行因式分解，求出方程的根． 五、解答题（共16分） 20. 根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． （1）已知图象的顶点坐标为，且过点； （2）已知图象经过、、三个点． 【答案】（1）y=2x2+4x-6或y=2（x+1）2-8；（2）y=-x2+2x+3 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线顶点式，把（0，-6）代入求出a的值，即可确定出解析式； （2）设出抛物线的x轴交点形式：y=a（x+1）（x-3），确定出a的值，即可得出解析式． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）2-8， 把（0，-6）代入得：-6=a-8，即a=2， 则二次函数解析式为y=2（x+1）2-8=2x2+4x-6； （2）根据题意设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）， 将C（0，3）代入得：-3a=3，即a=-1， 则抛物线解析式为y=-x2+2x+3． 【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法并根据条件设出合适的二次函数表达式是解本题的关键． 21. 扬州某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）如果要使该企业每天的销售利润为4000元，求应将单价降低多少元？ （2）能否使该企业每天的销售利润为5000元？请说明理由． 【答案】（1）如果要使该企业每天的销售利润为4000元，应将单价降低10或30元 （2） 解：设应将单价降低元，则商店每天的销售量为件， 由题意得， 整理，得， ， 原方程无实数根， 故不能使该企业每天的销售利润为5000元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）利用每件商品利润销量总利润4000，得出关系式求出即可； （2）利用每件商品利润销量总利润5000，得出关系式求出即可． 【小问1详解】 解：设应将单价降低元，则商店每天的销售量为件， 由题意得， 解得：，， 当时，单价元大于成本价50元，可行， 当时，单价元大于成本价50元，可行， 答：如果要使该企业每天的销售利润为4000元，应将单价降低10或30元； 【小问2详解】 略 六、解答题（共10分） 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】（1）是“邻根方程” （2）或 （3）t的最大值为16 【解析】 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 则，符合邻根方程的定义， ∴是“邻根方程”； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程是邻根方程，， ∴解方程可得：，， ∴， ∴， 故或； 【小问3详解】 解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 答：t的最大值为16． 【点睛】本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 七、解答题（共12分） 23. 已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点D，使，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由； （3）若点E是x轴上一个动点，是否存在以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或或 （3）存在，或或或 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数与等腰三角形等知识，综合性强，有难度． （1）由，，求出点C坐标，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设，则，根据，可得，解方程即可； （3）设，表示出三边，再根据等腰三角形分情况讨论，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）∵，， ∴， ∴由图可得， 把，代入可得 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：令可得， 解得 ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴或， 解得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，与重合不合题意， ∴或或； 【小问3详解】 解：∵点E是x轴上一个动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形， ∴当时，，则，解得，此时或； 当时，，则，解得，此时（时与重合，舍去）； 当时，，则，解得，此时； 综上所述，存在使以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形，或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $