福州市第一中学2023-2024学年九年级上学期数学期中模拟试卷第25题的不同解法

福州市第一中学2023-2024学年九年级上学期数学期中模拟试卷 第25题第(2)小题②的不同解法 杨仲鉴编写 原题目及解析： 25.已知抛物线y=ar2+bx+c(a≠0) (1)若抛物线经过点（一L,)且对称轴为直线x=1,求a,c所满足的数量关系： (2)抛物线与y轴交于点(0,2V3,顶点为Q(2,0),过点P2,2V3)的直线与抛物线交于E,F两点（点E在 点F的左侧). ①求△EQF面积的最小值： ②过点E作x轴的垂线，垂足为M,直线EM与直线FQ交于点N,连接PM,求证：PM∥QN, 【答案】(1)3a+c=1 (2)①4V5:②见解析 【解析】 【分析】（1)将(-11)代入抛物线表达式得出a-b+c=1,根据函数的对称轴-力=1，得出-b=2a,等量代 2a 换即可得出a,c所满足的数量关系： (2)①根据顶点Q(2,0),设抛物线的解析式为：y=a(x-2),代入坐标(0,2V5),求出抛物线解析式 y=5x-2,设直线EF的解析式为：y=红+b,将P收，25)代入得出y=:+25-2次，联立整理得 9e-5+列r+2t=0.限紫--2合-E25x+四 2a 3 3 ，结合 2 Sor=S,0+S,m,得出S0r=2W12+k,故当k=0时，S.0r有最小值，计算即可：②设直线FO的 解析式为y=m(x-2列，整理=2++2+尽，代入直线EF的解析式得出 V3 =+2+尺十25，再代入y=m(K-2)中，求得直线FQ的解折式为 3 y-水+g治+安k-2小，粉=2+-代入直酸P阳的解折武计家袋强得出-25。 3 1 则根据MN=PQ,MN∥PQ,即可判定四边形MNQP是平行四边形，即可得出PM∥ON. 【小问1详解】 解：将(-l,)代入y=ax2+bx+c(a≠0)， 得：a-b+c=1, 又，对称轴为直线x=1, -2b=1,即-b=2a, 2a ..a-b+c=a+2a+c=3a+c, .3a+c=1: 【小问2详解】 ①解：顶点(2,0)，P(2,23, PQ=25,a>0, 可设抛物线的解析式为：y=a(x-2), 将(0,2W5代入得：25=4a, 解得：a= 2 设直线EF的解析式为：y=c+b, 将P(2,2V5)代入得：25=2k+b,即：b=25-2k, ∴.直线EF的解析式为：y=+2√3-2k, 联立得： y=kx+25-2k e-2=c+25-24,5-65+r+2k=0 题A-25+-42张9-2+ 点E在点F的左侧， XE<XP 2 b,瓜，4压 .xg= 2a 2a 小 212+k225×V12+ 2a √3 2 ∴.SEor=S.EP%+Saro =P0-2-)x+P06-2x号 =P0-(k- 25 23x12+ 3 =2V12+k2, 当k=0时，S.0r有最小值=2W12=4V5: ②证明：Q(2,0), ∴设直线FQ的解析式为：y=m(x-2), 由@得：x,=b+公_25+k+2+ =2++2+E 2a 5 v3 代入y=c+25-2k得：=+2+ -+2W5, 3 将x=2++2+k日 ,y=+k12++23代入y=m(x-2), 5 3 得： +g平m+E+2. 5 3 解得：m=k十 6 k+V12+k2 线os式k+ges-小， “25+i2+E=2+k-2+E √3 3 w=24-g严y=k++E-, 3 +e-g 6k-V12+ 6k-V12+2 1k-V12+k2 k2-12-kK -+-+-2+e -12 3 =k--2+足k-2+2 2 =2k_k-2+k区 k-12+k2 2 =k+V12+k k-12+k2 2 (k+V12+k2k-V12+2 2W5 -(12+k) 2V3 =-25, ∴MN=P0=23, 又：MN∥PQ, .四边形MWQP是平行四边形， ∴.PM∥QN. 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质等，熟练掌握代数式运算、化简 是解题的关键。 4 (2)②不同解法： (2)①顶点Q(2,0),P(2,23),PQ-2V3。 ∴.可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2。 将C0.25)代入得：25=4a.解得：a=5 2 92识.共图限知有图所示 设yEF=kx+b,将P(2,23)代入得：2√3=2k+b。 ∴.b=23-2k。yEF=kx+2V3-2k。 3 (x-2)2, 列方程组： 2 [y=kx+2v3-2k. 消y并整理得：√3x2-(2k+45)x+4k=0。 △=(2k+4√3)2.16、3k=4k2+48。 :点E在点F的左侧，∴xF>XE E=b:石，郑=b+石.E=公4张+8 2a 2a a 5 '.SAEQF=SAEPQ+SAFPQ= P0·Kx7x25×V4k2+48 1 =2Nk2+12。 2 3 ∴.当k0时，SaOF的值最小，最小值=4V3: ②证明：如右图，已知02.0，P2,25.已证：y- 2x-2。 设如，E号2周Me, 3 kyyo (f-2)2 (f-2) Xp-XM 2-e Xr-Xo f-2 2 25.5e.2-45-32-e-2 :.kru-kro-2-e 2 2(2-e) -45-5(24-cf+20,0可得：cf=25k4,cf45k 2(2-e) 3 3 ∴kpM-kFo 853k+8-445-4 31 2(2-e) 2(2-e) kw=kO。又，PM与FQ不重合，PM∥FQ, 5