精品解析：广东省广州市第八十九中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024-2025学年第一学期阶段性考试（10月月考） 高二年级数学试卷 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项： 1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上. 2、 答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则（     ） A 1.5 B. 1 C. 0.5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直得两向量的数量积为零，即可求出的值. 【详解】由空间向量，互相垂直， 则，解得， 故选：C. 2. 空间直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间对称点的特点得到方程组，解出即可. 【详解】设对称点的坐标为，则，解得， 则对称点坐标为. 故选：C. 3. 如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算直接得解. 【详解】由是中点， 可知， 所以， 故选：D. 4. 若向量垂直于向量和，向量，，且，则　　 A B. C. 不平行于，也不垂直于 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的定义和数量积运算的性质，即可判断． 【详解】解：向量垂直于向量和，则，， 又向量， 所以， 所以． 故选：． 5. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】 故选：B 6. 已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算与的夹角的余弦值得出直线与直线的夹角的正弦值，再计算点到直线的距离． 【详解】由题意得，所以， 又直线的方向向量为，则， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则，则， 所以点到直线的距离为． 故选：A． 7. 把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可得两两互相垂直，根据点，分别是，的中点，得到，，再分别求得，，代入公式求解. 【详解】因为是正方形中心，所以， 为二面角的平面角， 又正方形沿对角线折起成直二面角， 即二面角是直二面角，所以， 因为点，分别是，的中点， 所以，， 所以. 又， 所以. 因为 所以， 故选：C. 【点睛】本题主要考查空间向量的立体几何中的应用，属于基础题. 8. 棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，根据线面垂直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段PQ的最小值. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 所以，， 因为平面， 所以，故， ，故， 其中， 故， 故当时，，此时满足要求， 所以线段PQ的最小值为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分． 9. 已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD，根据共线向量和单位向量判断B，根据向量夹角的坐标运算判断C. 【详解】因为，，， 所以，，， 对于选项A：，故，A正确； 对于选项B：不是单位向量，且与不共线，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：设，则，， 所以，， 又，平面， 所以向量是平面的一个法向量，D正确； 故选：ACD 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若，则可知 C. 若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量 D. 在四面体中，若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，举反例即可判断；对B，根据向量的线性运算即可判断；对C，举反例即可判断；对D，作出图形，证明出为垂心即可判断. 【详解】对A，若，则可能为，故A错误； 对B， ⇒⇒，所以B正确； 对C，当时，，不是直线的方向向量，所以C错误； 对D，如图， 过P作平面ABD交平面于O点，连CO交AB于M， 连AO交BC于N，连BO交AC于T，， 同理为垂心，所以， 从而，所以D正确； 故选：BD. 11. 在正方体中，动点满足，其中，，且，则（     ） A. 对于任意的，且，都有平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，不存在点，使得平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误． 【详解】对于A选项，设正方体的棱长为， 以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， ，取，可得1)， ， 因为， 设平面ACP的法向量为 则，取，可得， 因为，所以， 所以，对于任意的且，都有平面ACP⊥平面，故A对； 对于B选项，当时，点， 设平面的法向量为， ，， 则，取，可得，且 所以，点P到平面的距离为， 又因为的面积为定值，故三棱的体积为定值，故B对； 对于C选项，当时， 则， ， 所以，当时，不存在点，使得，故C错； 对于D选项，当时，， 假设存在点P，使得AP⊥平面PCD，因为DC平面PCD，则AP⊥DC， 则，可得，与题设条件不符， 假设不成立，故当时，不存在点P，使得AP⊥平面PCD，故D对. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三点共线，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用空间向量的共线定理计算即可. 【详解】由题意可知：， 由三点共线可知. 故答案为：0 13. 在长方体中，，，若E为的中点，则点E到面的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到面的距离. 【详解】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， ∴点E到面的距离为. 故答案为：. 【点睛】本题考查点到平面距离的向量求法，属于基础题. 14. 如图，在长方体中，，，点M在棱上，且，则当的面积取得最小值时其棱________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得，进而可得，由基本不等式即可得解. 【详解】设，，如图建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 又，所以，所以， 所以 ， 当且仅当，时，等号成立， 所以当的面积取得最小值时其棱. 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得； （2）首先求出与的坐标，再求出，，，最后由夹角公式计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，， 则，， 所以，， ， 设向量与夹角为，所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1) 根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； (2) 建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； 【小问1详解】 因为，M为的中点， 所以,四棱锥的底面是矩形， 所以， 所以，所以， 而,即，所以, 又因底面，平面， 所以，而，平面,所以平面； 【小问2详解】 因底面，所以平面， 所以，又因为矩形，所以， 建立如下图的空间直角坐标系， , 设平面的法向量为， ， 于是有，令，则可得， 所以，设直线与平面所成角的为， 所以， 则. 所以直线与平面所成角的正切值为. 17. 如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，. （1）求的值； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，即可求解； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角. 【小问1详解】 中，，，， 根据余弦定理，. 【小问2详解】 如图，以点为原点，为轴和轴，过点作为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ,， 设异面直线与所成角为， 则 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：； （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由； （3）若平面与平面夹角的大小为，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，； （3）1. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即可. （2）假设存在点并设出坐标，求出平面的法向量坐标，利用与平面的法向量垂直即可求解得答案. （3）求出平面的法向量，由（2）中信息，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在长方体中，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 于是，＝， 而，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 假设在棱上存在一点，使得平面，， 设平面的法向量，则， 取，得， 要使平面，只要，即，解得， 又DP平面， 所以存在点P，满足平面，此时. 【小问3详解】 连接，由长方体及，得， 而，则，由（1）知， 且平面， 则平面，即是平面的一个法向量，此时， 又平面与平面夹角的大小为， 则，解得， 所以的长为1. 19. 如图， 已知矩形 中，，，为的中点， 将 沿折起， 使得平面平面． （1）求证：平面平面； （2）若点是线段上的一动点，且，当二面角 的余弦值为时， 求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）取中点，连接，证明出平面，过点在平面内作的垂线，交于点，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于的等式，结合的取值范围可求得实数的值. 【小问1详解】 证明：因为在矩形中，，，为的中点， 所以， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，平面平面. 【小问2详解】 解：取中点，连接， ，为的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 过点在平面内作垂线，交于点， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系， 则、、、， 易知平面的一个法向量为， 因为且，所以， ，． 设平面的一个法向量为，则， 即，取，得． 所以，因为，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期阶段性考试（10月月考） 高二年级数学试卷 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项： 1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上. 2、 答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则（     ） A. 1.5 B. 1 C. 0.5 D. 2 2. 空间直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是（     ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 4. 若向量垂直于向量和，向量，，且，则　　 A. B. C. 不平行于，也不垂直于 D. 以上都有可能 5. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A 12 B. 8 C. 6 D. 4 6. 已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（ ）. A. B. C. D. 8. 棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分． 9. 已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若，则可知 C. 若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量 D. 在四面体中，若，，则 11. 在正方体中，动点满足，其中，，且，则（     ） A. 对于任意，且，都有平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，不存点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三点共线，则__________． 13. 在长方体中，，，若E为的中点，则点E到面的距离是______. 14. 如图，在长方体中，，，点M在棱上，且，则当的面积取得最小值时其棱________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 17. 如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，. （1）求的值； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：； （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由； （3）若平面与平面夹角大小为，求的长． 19. 如图， 已知矩形 中，，，为的中点， 将 沿折起， 使得平面平面． （1）求证：平面平面； （2）若点是线段上的一动点，且，当二面角 的余弦值为时， 求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$