专题2.7 轴对称图形（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题2.7 轴对称图形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图，图案是由一个窗花通过轴对称变换而形成的，则变换次数最多和最少分别是（    ）． A． B． C． D．以上都不对 2．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正方形网格中，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，涂法共有（　　）    A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 3．（23-24八年级上·福建福州·单元测试）中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 5．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）在△ABC中，边，的垂直平分线相交于P点，若，则是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·广东·单元测试）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，点E在延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，则以下结论：①；②；③；④．正确的是(    ) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 8．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点、、都在方格纸的格点上，请你再找一个格点，使点、、、组成一个轴对称图形，这样的格点有 个． 12．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 14．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点．，，垂足分别为，．则 ． 15．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形中，，是的中点，平分． （1）求证：平分； （2）若，，求和的面积之和． 17．（6分）（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，，求的长． 18．（6分）（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，则的度数为 ； （2）若，求的度数；（用含α的代数式表示） （3）连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 19．（6分）（24-25学年八年级上·江苏扬州·月考试题）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线m对称； （2）在直线m上找一点D，使得的周长最小；（保留作图痕迹） （3）延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有________个． 20．（6分）（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，，点在上，．点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，运动速度均为，两点同时出发，到达终点后停止运动． （1）当运动秒时，的度数为______． （2）开始运动几秒时，是直角三角形？ （3）若点和点在到达终点后不停止运动，而是沿着的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段与的某一边平行时的时间． 21．（8分）（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知为等腰三角形，，点P在线段上（不与B、C重合），以为腰作等腰直角，如图1，过Q作于E． （1）求证：； （2）连接交于M，探究线段与线段之间存在什么数量关系？并说明理由； （3）如图2．过点Q作交的延长线于点F，过点P作交于点D．连接．当点P在线段上运动时（不与B、C重合）．式子的值会变化吗？若不变，求出该值：若变化，请说明理由． 22．（8分）（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小艳的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴______ ∴______ 又∵， ∴______ 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． 【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是______    23．（9分）（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    （1）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） （2）如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． （3）如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 轴对称图形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图，图案是由一个窗花通过轴对称变换而形成的，则变换次数最多和最少分别是（    ）． A． B． C． D．以上都不对 【思路点拨】 本题考查了轴对称变换，根据轴对称的性质即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【解题过程】 解：每次变换一个窗花，需次； 先变换个，接着个，再个，最后个，共次； ∴变换次数最多和最少分别是， 故选：． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正方形网格中，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，涂法共有（　　）    A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【思路点拨】 此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有5种画法．根据轴对称图形的概念求解． 【解题过程】 解：如图所示，有5个位置使之成为轴对称图形．    故选：B 3．（23-24八年级上·福建福州·单元测试）中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了 的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，分一腰上的高在外部和内部讨论即可． 【解题过程】 解：当一腰上的高在外部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当一腰上的高在内部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，， 故选：B． 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 【思路点拨】 本题主要考查轴对称的性质等知识，熟练掌握“将军饮马”模型是解题的关键． 如图：在上取一点G，使，连接，作于H，可得出得到的最小值为的长，再求出的长即可． 【解题过程】 解：如图：在上取一点G，使，连接，作于H， ∵平分， ∴直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，的面积为90， ∴，解得：， ∴的最小值为：12． 故选：A． 5．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）在△ABC中，边，的垂直平分线相交于P点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形内角和即可求出． 【解题过程】 解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵点P是，的垂直平分线的交点， ， ，，， 设， ∴， ∵， ∴ ∴， 即 故选：C． 6．（23-24八年级上·广东·单元测试）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案，根据已知得出，，进而发现规律是解题的关键． 【解题过程】 解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 以此类推：． 故选：． 7．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，点E在延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，则以下结论：①；②；③；④．正确的是(    ) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【思路点拨】 本题考查的是角平分线的定义和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可． 【解题过程】 解： ①正确； ∵是 的平分线， ②错误； ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴故③正确； ∵的平分线与的平分线相交于点D， 如图，设点D到的距离分别为， ∵平分，平分， ∴， ∴ 即：点D到边的距离相等， ∴是的外角平分线， ④正确． 因此正确的答案有①③④． 故选：B． 8．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等，掌握轴对称的性质是解题的关键． A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断． 【解题过程】 解：A. ， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；利用平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出，求得，则可证明是的中垂线，再根据含的直角三角形性质求出中边上的高，即可求得，即结论④正确；证明，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【解题过程】 解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ， ， ，， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 是的中垂线 ，， 边上的高为， ， 结论④正确； ，， ， ， 又 ， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③④正确，共3个结论正确， 故选C． 10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【思路点拨】 ①根据将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），证明直线垂直平分，故①正确； ②证明与不一定相等，得到与不一定相等，故②错误； ③先由①得，直线垂直平分，则，，再根据”等边对等角“证明，，则，再根据是的一个外角，是的一个外角，证明，，进一步证明，根据，得到，则，然后根据，证明，从而得到，故③正确； ④先根据是的中点，证明，再由①得，直线垂直平分，则，再证明，最后证明，即，故④正确． 【解题过程】 解：①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C）， ∴直线垂直平分， 故①正确； ②∵， ∴， ∴ 又∵， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， 故②错误； ③由①得，直线垂直平分， ∴，， ∴，， ∴ ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴ 即， 又∵(已证)， ∴， 故③正确； ④∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，一定正确的有①③④， 故选：D． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点、、都在方格纸的格点上，请你再找一个格点，使点、、、组成一个轴对称图形，这样的格点有 个． 【思路点拨】 此题考查利用轴对称设计图案，如图1，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图2，以线段所在的直线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图3，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可；如图4，以线段所在的直线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可． 【解题过程】 解：如图所示： 故答案为：． 12．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查的是轴对称—最短路线问题．连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【解题过程】 解：如图，连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴， 周长的最小值． 故答案为：8． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 【思路点拨】 本题考查轴对称最短问题、三角形外角的性质．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解题过程】 解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，当三点共线时，最小， ，， ， ， ， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点．，，垂足分别为，．则 ． 【思路点拨】 本题主要是全等三角形的判定与性质、角平分线与垂直平分线的性质问题；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 连接，，证明推出，，证明，推出，可得结论． 【解题过程】 解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ，， 是的垂直平分线， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 【思路点拨】 本题以常见的全等模型-“手拉手”模型为几何背景，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的综合问题、角平分线的性质定理等知识点，还涉及了“截长补短”的辅助线作法，掌握相关结论和方法，进行严密的几何推理是解题关键． 【解题过程】 解：∵、是等边三角形， ∴， ∴ 即： ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故②正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴，故③、④正确； ∵， ∴ ∴边上的高相等， 即点到的距离相等， ∴平分，故⑤正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑥正确； 在上截取，连接，如图所示： 由②得：， ∴ 由⑤得：平分， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑦正确； ∵ ∴ ∴，故⑧正确； ∴ ∴，故⑨正确； 由以上推理可知：、， ∵ ∴ ∴图中不只有2对全等三角形，故⑩错误； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形中，，是的中点，平分． （1）求证：平分； （2）若，，求和的面积之和． 【思路点拨】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，： （1）（）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据证明得出，即可得出结论； （2）同理可证明得到，再推出，则，据此求解即可． 【解题过程】 （1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴平分； （2）解：同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．（6分）（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，，求的长． 【思路点拨】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键； （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【解题过程】 （1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 18．（6分）（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，则的度数为 ； （2）若，求的度数；（用含α的代数式表示） （3）连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 【思路点拨】 此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，再由，分别垂直平分和，求出，即可求解； 【解题过程】 （1）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，分别垂直平分和， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示， ∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴． 19．（6分）（24-25学年八年级上·江苏扬州·月考试题）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线m对称； （2）在直线m上找一点D，使得的周长最小；（保留作图痕迹） （3）延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有________个． 【思路点拨】 （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）在（1）的基础上，连交，直线m于点D，点D即为所求； （3）先做出的垂直平分线，再找到垂直平分线进过的格点即可． 【解题过程】 （1）解：如图，由题意，作，使它与关于直线m对称， （2）解：由题意，连，交直线m于点D，连，即为所求； 理由：由题意，所求中，边长为定值，只要最小即可，由作图可知，三点共线，，此时，最小，则点D即为所求． （3）解：如图，取点，画直线，理由：若是以为底边的等腰三角形， 则格点F在底边的垂直平分线上， 如图，取点，则可知，，，且, ∴， ∴，即点C是线段的中点， 同理，， ∴， ∴， ∴直线垂直平分线段， 将分别向上、向左平移1个，3个单位或者向下，向右平移1个，3个单位，分别得到直线上的格点， 则点即为所求． 故答案为：3． 20．（6分）（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，，点在上，．点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，运动速度均为，两点同时出发，到达终点后停止运动． （1）当运动秒时，的度数为______． （2）开始运动几秒时，是直角三角形？ （3）若点和点在到达终点后不停止运动，而是沿着的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段与的某一边平行时的时间． 【思路点拨】 （1）计算出运动秒时、、的长，再证明，得，则即可求得； （2）设运动的时间为秒，分两种情况，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的值即可； （3）分三种情况，一是点在边上，则，可列方程；二是点在边上，则，可列方程；三是点在边上，则，可列方程，解方程求出相应的值即可． 【解题过程】 （1）解：如图1， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 运动秒时，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：设运动的时间为秒， 如图， 当时，则 ∴， ， 解得， 如图3， 当时，则 ， ， 解得 综上所述，运动秒或秒，是一个直角三角形． （3）解：如图， 当时， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，解得； 如图4， 当时，则'， ∴是等边三角形， ∴， ∴，解得； 如图5， 当时，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得 综_上所述，的值是秒或秒或秒时，线段与的某一边平行． 21．（8分）（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知为等腰三角形，，点P在线段上（不与B、C重合），以为腰作等腰直角，如图1，过Q作于E． （1）求证：； （2）连接交于M，探究线段与线段之间存在什么数量关系？并说明理由； （3）如图2．过点Q作交的延长线于点F，过点P作交于点D．连接．当点P在线段上运动时（不与B、C重合）．式子的值会变化吗？若不变，求出该值：若变化，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识． （1）根据题意得到，，，进而得到，即可证明 ； （2）根据得到，，进而证明，得到，即可证明，从而证明； （3）作交于点，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到． 【解题过程】 （1）证明：∵△为等腰三角形，，点在线段上（不与，重合），以为腰长作等腰直角△，于． ，，， ， 在和中， ， ； （2）解：；理由如下： ∵， ，， ∵， ． 在和中， ， ， ， ∵，， ， ； （3）解：式子的值不会变化，， 理由如下： 如图所示：作交于点， ∵，，， ，， ， ∵为等腰直角三角形， ， 在△和△中， ， ， ，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ， ． 22．（8分）（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小艳的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴______ ∴______ 又∵， ∴______ 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． 【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是______    【思路点拨】 探究发现：根据题干中的解题思路求解即可； 类比探究：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可； 拓展应用：在BC上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可． 【解题过程】 探究发现： 解：过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：，，； 类比探究： 证明：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．    ∵平分， ∴． ∴，， ∴； 拓展应用： 在上取点G，使得，连接，    ∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是的角平分线 由（1）知，， 设，，则，， 由（1）知， 即． 23．（9分）（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    （1）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） （2）如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． （3）如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【思路点拨】 （1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【解题过程】 （1）证明：①过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$