精品解析：河南省新乡市第一中学2024-2025学年高一上学期10月质量检测数学试题

2024~2025学年度上学期10月质量检测 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，使得”的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】由全称命题与存在性命题的关系，可得： 命题“，使得”的否定形式为“，”. 故选：D 2. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合并集与补集的运算，求得，进而得到其子集的个数. 【详解】由题意，全集， 因为，可得， 所以，所以的子集个数为个. 故选：B. 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式，求出其解集，根据充分不必要条件概念进行判断即可. 【详解】因为. 设它的充分不必要条件为，则集合满足是的真子集. 结合选项知，满足题意，故C成立. 故选：C 4. 某校举行中学生田径运动会（田径运动会分田赛和径赛两大类），高一（2）班48名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，总共有30人，而参加比赛的人数为24人，则多出来的人数为田赛和径赛都参加的人数. 【详解】因为参加比赛的总人数为24人，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人， 所以田赛和径赛都参加的学生人数为：人. 故选：B 5. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元一次不等式的解集可知的关系，再求解一元二次不等式. 【详解】由不等式的解集是，可知，且， ，即，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：A 6. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算，再代入公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以， ， 而，所以，当时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 故选：B 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据确定的取值范围，初步判断在不等式的解集内，不在不等式的解集内，进而确定不等式解集内的整数，列出不等式，可求出结果. 【详解】由题意，且，且，解得，则， 设不等式的解集为. 因为时，不成立，所以；因为时，，所以. 又因为中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3. 由. 综上所述. 故选：C 【点睛】关键点点睛：不等式中所含有的整数解必定是连续的整数，弄清楚1，2，3满足不等式后，还要注意0，4不满足原不等式. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组中M，N表示不同集合的是（ ） A. ， B ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相同集合的概念和集合中元素的意义可直接得出结果. 【详解】对A：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项A符合题意； 对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B符合题意； 对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C不合题意； 对D：集合表示函数的值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项D符合题意. 故选：ABD 10. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则， 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例排除A，利用不等式的基本性质判断BCD，从而得解. 【详解】A选项：，满足条件，但是，故A选项错误； B选项：由题意，，所以，故B选项正确； C选项，因为，故C选项正确； D选项，因为，，所以， 又因为，所以，，故D选项正确； 故选：BCD. 11. 已知正实数a，b，c满足，当取得最小值时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件进行变形，再利用均值不等式即可求解. 【详解】因为正实数，，满足，所以， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 即，解得：，故， 的最小值为1，此时,故A正确； ，B错误； ，故C正确,D错误 故选:AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出方程，求得或，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】因为，可得或，解得或， 当时，可得，此时不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，可得，符合题意. 故答案为：. 13. 已知命题，，命题，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别求命题为真命题和命题为真命题的的取值范围，再求交集，即可求解. 【详解】由题意可知，，即， 若是假命题，则，使得，是真命题， 即，得， 若是真命题，是假命题，则，即. 故答案为： 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】由新定义可知，或，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解. 【详解】中，，所以方程有两个不同的实数根， 即， 若，则或， 当时，方程，只有实数根，所以且，得； 当时，方程， 时，方程有个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，则方程整理为，方程的实数根，分别为，和，，满足条件， 若，则方程整理为，方程的实数根，分别为，和，，满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有个相等的实数根，即，得， 当时，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，，且. （1）求ab的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，即可求解； （2）根据，代入，转化为二次函数求最小值. 【小问1详解】 ，，得， 当时，等号成立， 所以的最大值为2； 【小问2详解】 ， ， 当时，时，取得最小值. 16. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若，求m的取值范围. 【答案】（1）；或； （2） 【解析】 【分析】（1）首先分别求解两个集合，再代入集合的运算公式，即可求解； （2）首先判断，再讨论和两种情况，根据端点值列不等式，即可求解. 【小问1详解】 ，解得：， 即， 当时，，所以， 或，或； 【小问2详解】 由，则， 当时，，得， 当时，，解得：， 所以的取值范围是. 17. 已知命题，使得. （1）若p是真命题，求a的取值范围； （2）记（1）中a的取值范围为集合A，关于t的不等式的解集为集合B，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可求a的取值范围. （2）问题转化为是的真子集，根据集合的包含关系可求m的取值范围. 【小问1详解】 由. 所以a的取值范围为： 【小问2详解】 由题意：是的真子集. 由. 若，则，由是的真子集，得； 若，则，此时是的真子集； 若，则，由是的真子集，得. 综上，m的取值范围为. 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】（1）， （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【解析】 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【小问1详解】 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 19. 已知函数. （1）若关于x的不等式的解集是.求实数a，b的值； （2）若，，，是关于x的的根，求的最小值； （3）若，解关于x的不等式. 【答案】（1），. （2）4 （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）问题转化为方程的两根为，利用韦达定理求. （2）利用韦达定理，表示出，利用基本（均值）不等式求最小值，需要分析等号成立的条件. （3）根据参数的不同取值，分情况讨论一元二次不等式解集的形式. 【小问1详解】 由题意：方程的两根为，且 所以；. 所以，. 【小问2详解】 由韦达定理可得：，， 所以. 因为，所以，（当且仅当时取“”）. 又当时，方程为，因为，所以方程由两个根. 所以的最小值为4. 【小问3详解】 当时，原不等式为：. 若，则原不等式可化为：； 若，则原不等式可化为：. 当时，，因为，所以不等式的解为：或. 当时，原不等式可化为：. 由，此时原不等式的解为：； 由，此时原不等式的解为：； 由，此时原不等式解为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解含参数的一元二次不等式的问题，要注意： （1）二次项系数是否可以为0； （2）二次想系数不为0时，不等式解集的形式及两根大小的比较. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度上学期10月质量检测 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，使得”的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C D. 4. 某校举行中学生田径运动会（田径运动会分田赛和径赛两大类），高一（2）班48名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 不属于M，Q，P中任意一个 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组中M，N表示不同集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D ， 10. 已知，则下列命题正确是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则， 11. 已知正实数a，b，c满足，当取得最小值时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，则 ______. 13. 已知命题，，命题，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则a的取值范围为______. 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，，且. （1）求ab的最大值； （2）求的最小值. 16. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若，求m的取值范围. 17. 已知命题，使得. （1）若p是真命题，求a的取值范围； （2）记（1）中a的取值范围为集合A，关于t的不等式的解集为集合B，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 19. 已知函数. （1）若关于x的不等式的解集是.求实数a，b的值； （2）若，，，是关于x的的根，求的最小值； （3）若，解关于x的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$