第三章 代数式 第3.2节 代数式的概念-2024-2025学年七年级数学上册培优全攻略（2024苏科新版）

苏科2024新版第三章 代数式 3.2 代数式的概念 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.借助实际情境理解代数式的意义； 2.能分析具体问题中的数量关系，并用代数式表示； 3.会把具体的数代入代数式计算求出代数式的值。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——代数学从何而来？代数学 ⑴ 代数，在我国作为一个数学专有名词，代表一门数学分支(代数学)。 代数，这个名词，它在我国正式使用，最早是在1859年。那年，清代的数学家李善兰和英国人韦列亚力，共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如《九章算术》中就有解方程问题。 ⑵ 代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。 在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了。 如果“代数学”， 仅是指解ax＋b=0这类用符号表示的方程的技巧。那么,这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图，看作是代数学的鼻祖。而在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：代数式的概念 代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式； 知识点2：代数式的书写要求 · 数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“·”代替或者省略不写； · 除法运算中，用分数线代替除号“÷”； · 数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； · 带分数一般写成假分数； · 代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 知识点3：代数式的值概念及求法 1. 代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 名师点拨 · 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； · 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 2. 代数式的值求法一般有两种常用的： · 直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； · 整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 直接代入法求代数式的值 例题1．求下列代数式的值． (1)当时，时，求代数式的值； (2)当，，时，求代数式的值． 【变式训练】 1．若，，c是最大的负整数，d是绝对值最小的有理数，求的值． 2．当时，求下列代数式的值． (1) (2)． 3．当，，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 4．当，时，求下列代数式的值． (1) (2) 题型2 整体代入法求代数式的值 例题2．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： ． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【变式训练】 1．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3，求的值． 2．（1）已知的值为3，求的值． （2）已知当时，代数式的值为18，求的值． 3．已知：， (1)求的值； (2)求的值． 4．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：，则________；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值； 题型3 代数式求值的实际应用 例题3．说出下列代数式的意义： (1)圆珠笔每支售价a元，练习簿每本售价b元，那么表示什么？ (2)长方形的长、宽分别为a，b，那么表示什么？ 【变式训练】 1．篮球馆推出了两种收费方式： 方式一：顾客购买会员卡，每张会员卡100元，仅限本人一年内使用，凭会员卡打球，每次再付费5元； 方式二：顾客不购买会员卡，每次打球付费10元． 设小明在一年内来此篮球馆打球的次数为次. (1)选择方式一的总费用为______元，选择方式二的总费用为______元． (2)当时，选择哪种方式省钱？ (3)当时，选择哪种方式省钱？ 2．如图，是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：m）． (1)用式子表示图中阴影部分的面积： (2)按照图所示的尺寸设计并画出一个新的图形，使其面积等于． 3．小亮房间窗户宽为，高为，窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同） (1)用代数式表示窗户能射进阳光的面积是________．（结果保留） (2)当，时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取） (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是多少？（结果保留） 4．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大正方形，中间阴影部分是一个小正方形． (1)用关于的代数式表示图2中阴影小正方形的边长； (2)当时，该阴影小正方形的面积是多少？ 题型4与程序图有关的求代数式的值 例题4．如图，是一个“数值转换机”的示意图. (1)输出的结果用代数式表示为________； (2)计算当输入时，输出的值． 【变式训练】 1．如图所示是王老师设计的一个运算程序． (1)这个运算程序所表示的式子为______（用含、的代数式表示）； (2)当，时，求这个程序输出的结果． 2．下图是一个“数值转换机”的示意图，根据要求写出输出的结果． (1)当输入时，求输出的结果； (2)当输入时，求输出的结果． 3．下图是“数值转换机”的示意图． (1)当输入，时，输出的数是多少？ (2)当输入，时，输出的数是多少？ 4．如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含x的代数式表示出运算过程； (2)当输入的x值为时，输出的值是多少？ 题型5 与规律有关的求代数式的值 例题5．请观察下列算式，找出规律并填空 ， 则： (1)第个算式是______________________． (2)第个算式为 ______________________． (3)根据以上规律解答下题： 的值． 【变式训练】 1．下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第6个图中共有______根火柴； (2)第n个图形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示） (3)第2021个图形中共有多少根火柴？ 2．观察算式：；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：（   ）； (2)用含n的等式表示上面的规律 ；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题：计算：． 3．观察下列图形，并根据图形规律解决问题 观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…， (1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________； (2)通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式：_____________________； (3)根据以上结论计算：． 4．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④________；⑤；… (2)若n表示任意一个整数，则2n可以表示任意一个偶数，请你写出第n个等式； (3)利用（2）中的等式，计算： 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各式中，代数式的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ ⑤  ⑥a  ⑦  ⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 2．有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 3．“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（　　） A．在原价的基础上打8折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打8折 D．在原价的基础上减去元后再打折 4．已知，，则的计算结果正确的是（   ）． A．或 B．或 C．或或 D．或或 5．下列求代数式的值的计算，正确的是（    ） A．当时，代数式 B．当时，代数式 C．当时，代数式 D．当时，代数式 6．在某月的日历上用长方形圈到a，b，c，d四个数（如图），如果，那么的值为（   ） A．22 B．25 C．29 D．30 7．已知，则的值是（ ） A．3 B．2 C． D． 8．按下面的程序计算． 若输入，输出结果是101：若输入，输出结果是131，若开始输入的x的值是一个自然数，最后输出的结果是106，则开始输入的x的值是（    ） A．1 B．4 C．21 D．4或21 9．代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 10．当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为（   ） A．2011 B． C．2010 D． 二、填空题（本大题共10小题） 11．试写出一个含x的代数式：当时，它的值为．这个代数式可以是 ． 12．用字母表示图中阴影部分的面积： 图①中 ，图②中 ． 13．代数式可以表示不同的实际意义，试举实例说明： ． 14．已知、，且，则的值是 ． 15．若互为相反数，则 ． 16．若互为相反数互为倒数，则 ． 17．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为，则输出的结果是 ．    18．下列各式：、、、、，其中符合代数式书写规范的有 个． 19．某网店进行促销，将原价元的商品以元出售，该网店对该商品促销的方法是 ． 20．当时，代数式的值为1，则当时，的值为 ． 三、解答题（本大题共4小题） 21．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天停车场内共有45辆中小型汽车，其中小型汽车有a辆． (1)单项式表示的实际意义为________； (2)这一天停车场共可收缴停车费多少元？（用含a的代数式表示） 22． 已知，，且，求的值． 23．请根据下面的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你，a的相反数是4，b的绝对值是6，c与b的和是． 这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相同哦！” (1)__________，__________，__________． (2)求的值． 24．某种“T”型零件尺寸如图所示（左右宽度相同，单位：）． (1)阴影部分的周长为 ；（用含x，y的代数式表示） (2)阴影部分的面积为 ；（用含x，y的代数式表示） (3)当，时，求阴影部分的面积． 25．如图，是一个“数值转换机”的示意图. (1)输出的结果用代数式表示为________； (2)计算当输入时，输出的值． 26．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的90%付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带条（）． (1)若该客户按方案①购买，需付款________元（用含的代数式表示）； 若该客户按方案②购买，需付款________元（用含的代数式表示）； (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第三章 代数式 3.2 代数式的概念 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.借助实际情境理解代数式的意义； 2.能分析具体问题中的数量关系，并用代数式表示； 3.会把具体的数代入代数式计算求出代数式的值。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——代数学从何而来？代数学 ⑴ 代数，在我国作为一个数学专有名词，代表一门数学分支(代数学)。 代数，这个名词，它在我国正式使用，最早是在1859年。那年，清代的数学家李善兰和英国人韦列亚力，共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如《九章算术》中就有解方程问题。 ⑵ 代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。 在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了。 如果“代数学”， 仅是指解ax＋b=0这类用符号表示的方程的技巧。那么,这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图，看作是代数学的鼻祖。而在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：代数式的概念 代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式； 知识点2：代数式的书写要求 · 数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“·”代替或者省略不写； · 除法运算中，用分数线代替除号“÷”； · 数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； · 带分数一般写成假分数； · 代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 知识点3：代数式的值概念及求法 1. 代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 名师点拨 · 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； · 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 2. 代数式的值求法一般有两种常用的： · 直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； · 整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 直接代入法求代数式的值 例题1．求下列代数式的值． (1)当时，时，求代数式的值； (2)当，，时，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了求代数式的值． （1）将各字母的值代入即可求出答案． （2）将各字母的值代入即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，时，； （2）解：当，，时，． 【变式训练】 1．若，，c是最大的负整数，d是绝对值最小的有理数，求的值． 【答案】的值为或 【分析】此题主要考查了代数式求值，根据题意，可得：，，，，据此求出的值是多少即可． 【详解】∵， ∴， ∵c是最大的负整数， ∴， ∵d是绝对值最小的有理数， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴的值为或． 2．当时，求下列代数式的值． (1) (2)． 【答案】(1)49 (2)49 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，正确计算是解题的关键． （1）先计算得，则，即可作答． （2）先计算得，而．即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 3．当，，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)25； (2)9． 【分析】本题考查了求代数式的值，把所给字母代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． （1）把，，代入计算即可； （2）把，代入计算即可． 【详解】（1）当，，时， 原式； （2）当，时， 原式． 4．当，时，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把a与b的值代入原式计算即可求出值； （2）把a与b的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解： （2）解： 题型2 整体代入法求代数式的值 例题2．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： ． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题关键． （1）把代入式子求值即可； （2）将原式变形为，再把代入求解即可． 【详解】（1）解：， 原式． （2）解：， 原式 ． 【变式训练】 1．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数的意义，倒数的意义和绝对值的意义，利用相反数的意义，倒数的意义和绝对值的意义求得的值，再利用整体代入的方法化简运算是解题的关键． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3， ∴，，， ∴， 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，的值为或． 2．（1）已知的值为3，求的值． （2）已知当时，代数式的值为18，求的值． 【答案】（1）11；（2）32 【分析】本题考查代数式求值，结合已知条件将代数式进行适当的变形是解题的关键． （1）由题意可得，然后将变形后代入已知数值计算即可； （2）将代入可得，整理可得，然后将变形后代入已知数值计算即可． 【详解】解：（1）由题意可得， 则， 那么； （2）将代入可得， 则， 那么． 3．已知：， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2020 【分析】本题考查了代数式求值． （1）利用整体代入计算即可求解； （2）由已知得到，，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴ ． 4．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：，则________；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值； 【答案】(1) (2)16 (3)16 【分析】本题考查了代数式求值； （1）根据题意得出，整体代入，即可求解； （2）先化简代数式，将，整体代入，即可求解； （3）依题意得出，，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ ； （3）∵，， ∴，， ∴ ． 题型3 代数式求值的实际应用 例题3．说出下列代数式的意义： (1)圆珠笔每支售价a元，练习簿每本售价b元，那么表示什么？ (2)长方形的长、宽分别为a，b，那么表示什么？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了代数式． （1）根据题意解释代数式的意义即可； （2）根据题意解释代数式的意义即可． 【详解】（1）表示3支圆珠笔与4本练习簿的总价格； （2）表示长为a，宽为的长方形的面积． 【变式训练】 1．篮球馆推出了两种收费方式： 方式一：顾客购买会员卡，每张会员卡100元，仅限本人一年内使用，凭会员卡打球，每次再付费5元； 方式二：顾客不购买会员卡，每次打球付费10元． 设小明在一年内来此篮球馆打球的次数为次. (1)选择方式一的总费用为______元，选择方式二的总费用为______元． (2)当时，选择哪种方式省钱？ (3)当时，选择哪种方式省钱？ 【答案】(1)， (2)当时，方式二省钱 (3)当时，方式一省钱 【分析】本题考查列代数式以及代数式求值； （1）方式一的总费用是会员卡的费用加上每次打球的费用，方式二就是每次打球10元，就此列式即可； （2）令时，求出两种方式需要的花费，看哪种方式更省钱． （3）当时，求出两种方式需要的花费，看哪种方式更省钱． 【详解】（1）解：方式一总费用是：元， 方式二总费用是：元， 故答案是：，； （2）解：当时，方式一的费用为：元； 方式二的费用为：元. 因为175元150元，所以当时，方式二省钱； （3）解：当时，方式一的费用为：元， 方式二的费用为：元 因为500元800元，所以当时，方式一省钱． 2．如图，是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：m）．    (1)用式子表示图中阴影部分的面积： (2)按照图所示的尺寸设计并画出一个新的图形，使其面积等于． 【答案】(1) (2)图形见解析 【分析】（1）分析出图形中由四个图形组成，长方形、正方形，三角形，圆形，很容易用式子表示该图形中阴影部分的面积； （2）根据面积为分析出可以由一个边长为的正方形，一个直角边分别为，的三角形，一个半径为的圆形组成． 【详解】（1）解：分析图形可知， ， 阴影部分的面积为：， （2）解：要使其面积为， 则可以由一个边长为的正方形，一个直角边分别为，的三角形，一个半径为的圆形组成， 示意图可以表示为下图所示， ． 3．小亮房间窗户宽为，高为，窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同） (1)用代数式表示窗户能射进阳光的面积是________．（结果保留） (2)当，时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取） (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式以及代数式求值，灵活运用长方形和圆的面积公式是解答本题的关键． （1）根据长方形的面积公式表示出长方形的面积，然后再根据圆的面积公式表示窗帘部分的面积，最后作差即可； （2）根据（1）得出的式子，再把a、b的数值代入即可求出答案； （3）利用（1）的方法列出代数式． 【详解】（1）解：长方形的面积为，窗帘部分的面积为：， 所以窗户能射进阳光的面积是； 故答案为： （2）解：当时， ． 答：窗户能射进阳光的面积是； （3）解：长方形的面积为，窗帘部分的面积为：， 所以窗户能射进阳光的面积是． 4．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大正方形，中间阴影部分是一个小正方形． (1)用关于的代数式表示图2中阴影小正方形的边长； (2)当时，该阴影小正方形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查以弦图为背景的计算，正确识图是解题的关键． （1）根据图2中小正方形的边长直角三角形较长边长减去较短边长即可求解； （2）根据正方形面积公式知小正方形的面积，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解： 直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， 小正方形的边长． （2）解：小正方形的面积， 当时，面积． 题型4与程序图有关的求代数式的值 例题4．如图，是一个“数值转换机”的示意图. (1)输出的结果用代数式表示为________； (2)计算当输入时，输出的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了代数式求值，列代数式．根据示意图正确列出代数式是解题的关键．首先根据“数值转换机”的示意图，逐步列出代数式并化简，最后表示输出结果的代数式，然后代入求值． 【详解】（1）解：根据“数值转换机”的示意图可知输出结果为：， 即， 故答案为：； （2）将代入中得： ， 当输入时，输出的值为． 【变式训练】 1．如图所示是王老师设计的一个运算程序． (1)这个运算程序所表示的式子为______（用含、的代数式表示）； (2)当，时，求这个程序输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据程序写出代数式即可． （2）代入求值即可． 【详解】（1）根据程序图可知，这个运算程序所表示的式子为 故答案为： （2）当，时， ． 2．下图是一个“数值转换机”的示意图，根据要求写出输出的结果． (1)当输入时，求输出的结果； (2)当输入时，求输出的结果． 【答案】(1)6 (2)0 【分析】（1）根据题中的程序框图可得输出的代数式，再将，的值代入计算即可； （2）根据题中的程序框图可得输出的代数式，再将，的值代入计算即可； 【详解】（1）根据题中的程序框图可得输出的代数式为： 当输入，时，输出的结果为：． （2）根据题中的程序框图可得输出的代数式为： 当输入，时，输出的结果为：． 3．下图是“数值转换机”的示意图． (1)当输入，时，输出的数是多少？ (2)当输入，时，输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查流程图与代数式求值． （1）根据流程图的流程，列出代数式，代值计算即可； （2）根据流程图的流程，列出代数式，代值计算即可． 【详解】（1）解：由流程图列出代数式为：， 当，时，原式； （2）当，时，原式． 4．如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含x的代数式表示出运算过程； (2)当输入的x值为时，输出的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）的立方与的积减去的值，由此即可求解； （2）将代入计算即可求解． 【详解】（1）解：图示表示的意思是：的立方与的积减去的值， ∴代数式为：． （2）解：当时，， 故答案为：． 题型5 与规律有关的求代数式的值 例题5．请观察下列算式，找出规律并填空 ， 则： (1)第个算式是______________________． (2)第个算式为 ______________________． (3)根据以上规律解答下题： 的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据前几个式子找到规律是解题的关键： （1）由已知等式得出：连续整数乘积的倒数等于较小整数倒数与较大整数的倒数的差，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1个算式为， 第2个算式为， 第3个算式为， 第4个算式为， ……， 以此类推可知，第个算式为， ∴第个算式是， 故答案为：；； （2）解；由（1）可得第个算式为， 故答案为：；； （3）解：∵ ∴ ． 【变式训练】 1．下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第6个图中共有______根火柴； (2)第n个图形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示） (3)第2021个图形中共有多少根火柴？ 【答案】(1)19 (2) (3)第2021个图形中共有6064根火柴． 【分析】本题考查了规律型－图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）观察图形发现规律：每个图形比前一个图形多3根火柴，进而求解； （2）根据每个图形比前一个图形多3根火柴，总结规律即可； （3）将代入（2）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：第1个图中，火柴的根数是； 第2个图中，火柴的根数是； 第3个图中，火柴的根数是； ， 第6个图中，火柴的根数是； 即第6个图中共有19根火柴； 故答案为：19； （2）解：由（1）可得第个图形中火柴有根， 故答案为：； （3）解：当时，， 所以第2021个图形中共有6064根火柴． 2．观察算式：；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：（   ）； (2)用含n的等式表示上面的规律 ；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)9； (2)； (3)． 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，含乘方的有理数混合运算，代数式表示式，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键． （1）根据题干规律直接解题即可； （2）根据题干规律总结，即可找出规律为； （3）利用（2）中规律将原式变换为，即可推出中间项可全部约去，最后直接计算第一项和最后一项约分后剩下乘积的即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ， ， 依次类推， 可得规律为： ； （3）解： ， ． 3．观察下列图形，并根据图形规律解决问题 观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…， (1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________； (2)通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式：_____________________； (3)根据以上结论计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了图形的变化规律，分析所给的等式的形式，进行总结即可求解，解题的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据图形得到规律写出答案即可； （2）根据前几个图形的规律写出第个图形可得等式即可； （3）利用（2）中得到的规律进行计算即可． 【详解】（1）由图①可得， ， ； ； ； …… ， 故答案为：， （2）通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式： 故答案为： （3） 4．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④________；⑤；… (2)若n表示任意一个整数，则2n可以表示任意一个偶数，请你写出第n个等式； (3)利用（2）中的等式，计算： 【答案】(1) (2) (3)2100 【分析】本题考查了图形类和数字类规律探究，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）观察图形的变化情况即可填空； （2）结合（1）即可得第n个等式； （3）结合（2）的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：④， 故答案为：； （2）解：∵； ； ； ； ；… ∴ 故答案为：； （3）解： ． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各式中，代数式的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ ⑤  ⑥a  ⑦  ⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式．据此解答即可． 【详解】解：①，②，④ ⑤，⑥a  ⑦， ⑧是代数式， 含“=”不是代数式． 故选C． 2．有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写，代数式写法规则为：数与字母相乘时，数写在字母的前面，数字是带分数的化为假分数或小数，除号用分数线表示，代数式不含单位；据此解答即可． 【详解】解：①②④是符合要求的， ③应写为， ⑤应写为， ⑥应写为， 故选：B． 3．“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（　　） A．在原价的基础上打8折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打8折 D．在原价的基础上减去元后再打折 【答案】C 【分析】本题考查代数式的含义，根据式子得到先减去元，再打折即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 元表示：在原价的基础上减去元后再打8折， 故选：C． 4．已知，，则的计算结果正确的是（   ）． A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值、代数式求值等知识点，确定x的可能取值成为解题的关键． 由可得，然后分和两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的计算结果为或． 故选B． 5．下列求代数式的值的计算，正确的是（    ） A．当时，代数式 B．当时，代数式 C．当时，代数式 D．当时，代数式 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把所给字母的值代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：A、当时，代数式，原式计算正确，符合题意； B、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； C、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； D、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； 故选；A． 6．在某月的日历上用长方形圈到a，b，c，d四个数（如图），如果，那么的值为（   ） A．22 B．25 C．29 D．30 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，列代数式．根据日历上的数据排列可以得到，而，利用这些关系即可求解． 【详解】解：依题意得：， ， ∴， ∴． 故选：C． 7．已知，则的值是（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值；对所求式子变形为，然后整体代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 8．按下面的程序计算． 若输入，输出结果是101：若输入，输出结果是131，若开始输入的x的值是一个自然数，最后输出的结果是106，则开始输入的x的值是（    ） A．1 B．4 C．21 D．4或21 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，可以用倒推法解答此题，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当6时，； 当时，； 当时，x不是自然数； 所以开始输入的x的值是4或21， 故选：D． 9．代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，弄清它们所表示的数量之间的运算关系即可得出答案． 【详解】解：代数式的意义是m除以n与1的差所得的商， 故选D． 10．当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为（   ） A．2011 B． C．2010 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，解题的关键是根据题意得出． 先把代入，得到；再把代入得到，整理为，然后利用整体代入的思想计算即可． 【详解】解：∵时，代数式， ∴， 把代入代数式得 ． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题） 11．试写出一个含x的代数式：当时，它的值为．这个代数式可以是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，因为当时，它的值为，所以这个代数式可以是，据此即可作答． 【详解】解：依题意，满足题意的代数式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12．用字母表示图中阴影部分的面积： 图①中 ，图②中 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，结合图形的特点，计算是解题关键． 图①中根据长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可． 图②中的阴影面积为正方形的面积减去圆的面积，计算即可． 【详解】解：图①阴影的面积为：； 图②中的阴影面积为． 故答案为：；． 13．代数式可以表示不同的实际意义，试举实例说明： ． 【答案】一个苹果的质量是，一个桔子的质量是，那么3个苹果和4个桔子的质量和是（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了代数式的实际应用，根据题意可以把a、b赋予两种水果的质量，那么3个a水果和4个b水果的质量之和即为题干代数式的意义，据此求解即可． 【详解】解：如一个苹果的质量是，一个桔子的质量是，那么3个苹果和4个桔子的质量和是． 故答案为：一个苹果的质量是，一个桔子的质量是，那么3个苹果和4个桔子的质量和是（答案不唯一）． 14．已知、，且，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，根据绝对值的性质求出，再根据分情况确定x、y的值，然后相加即可． 【详解】解：，， ， ， ， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 15．若互为相反数，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查的是相反数的定义，整体进行代入求值是本题的主要思路．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，可知，将其代入即可求得结果． 【详解】解：、互为相反数， ， ． 故答案为：2025 16．若互为相反数互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和倒数，求代数式的值，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数． 根据题意得出，将其代入进行计算即可． 【详解】解：∵互为相反数互为倒数， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为，则输出的结果是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，先把代入中求出的值，若结果比小，则的值作为输出结果，若结果比大或相等，则把的值作为新数输入，如此反复求解即可． 【详解】解：当开始输入时，， 当第二次输入时，， ∴输出结果为， 故答案为；． 18．下列各式：、、、、，其中符合代数式书写规范的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式的书写．根据代数式书写规范格式，逐项判断即可求解． 【详解】解：符合代数式书写规范的有、，共2个． 故答案为：2 19．某网店进行促销，将原价元的商品以元出售，该网店对该商品促销的方法是 ． 【答案】打八折后再让利20元 【分析】此题考查了列代数式表示实际问题的能力，关键是能准确理解实际问题间的数量关系，并能列式表示．根据实际售价表达式进行求解． 【详解】解：当商品的原价元时，元出售表示是打八折后再让利20元， 该网店对该商品促销的方法是打八折后再让利20元， 故答案为：打八折后再让利20元． 20．当时，代数式的值为1，则当时，的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的乘方．整体代入是解题的关键． 当时，，可求，当时，，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，， ∴， ∴当时，， 故答案为：9． 三、解答题（本大题共6小题） 21．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天停车场内共有45辆中小型汽车，其中小型汽车有a辆． (1)单项式表示的实际意义为________； (2)这一天停车场共可收缴停车费多少元？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)a辆小型汽车的停车费 (2)这一天停车场共可收缴停车费为元． 【分析】本题考查了列代数式． （1）根据题意，得出单项式4a表示的实际意义为a辆小型汽车的停车费； （2）根据停车总费用中型汽车辆数小型汽车辆数，即可得出关于a的代数式． 【详解】（1）解：单项式表示的实际意义为a辆小型汽车的收费， 故答案为：a辆小型汽车的停车费； （2）解：根据题意得：， 答：这一天停车场共可收缴停车费为元． 22． 已知，，且，求的值． 【答案】16或4 【分析】本题考查了绝对值，乘方运算的逆运算，求解代数式的值，熟练掌握是解题的关键．根据， ，得出 ，，再根据，可得，或，，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，或，， ∴当，时， ； 当，时， ． 综上：的值为16或4． 23．请根据下面的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你，a的相反数是4，b的绝对值是6，c与b的和是． 这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相同哦！” (1)__________，__________，__________． (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)2． 【分析】此题考查了相反数的定义，绝对值的性质，有理数加法计算法则，已知字母的值求代数式的值． （1）根据相反数的定义，绝对值的性质及有理数加法计算法则分别求出各数； （2）根据（1）中各数代入计算即可． 【详解】（1）解：∵a的相反数是4，b的绝对值是6，c与b的和是， ∴，，， ∵a和b的符号相同， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴． 24．某种“T”型零件尺寸如图所示（左右宽度相同，单位：）． (1)阴影部分的周长为 ；（用含x，y的代数式表示） (2)阴影部分的面积为 ；（用含x，y的代数式表示） (3)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，理解题意掌握代数式求值的方法是解题的关键． （1）根据题意T型零件是由两个长方形组合，再根据长方形周长公式即可求解； （2）根据题意T型零件是由两个长方形组合，再根据长方形面积公式即可求解； （3）将x，y的值代入（2）中面积的式子即可求解． 【详解】（1）解：阴影部分的周长为： ， 故答案为： （2）解：阴影部分的面积为： ， 故答案为： （3）解：由（2）阴影部分的面积为， 当，时， 则阴影部分的面积为 25．如图，是一个“数值转换机”的示意图. (1)输出的结果用代数式表示为________； (2)计算当输入时，输出的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了代数式求值，列代数式．根据示意图正确列出代数式是解题的关键．首先根据“数值转换机”的示意图，逐步列出代数式并化简，最后表示输出结果的代数式，然后代入求值． 【详解】（1）解：根据“数值转换机”的示意图可知输出结果为：， 即， 故答案为：； （2）将代入中得： ， 当输入时，输出的值为． 26．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的90%付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带条（）． (1)若该客户按方案①购买，需付款________元（用含的代数式表示）； 若该客户按方案②购买，需付款________元（用含的代数式表示）； (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)； (2)选择方案一较为划算，理由见解析 【分析】（1）根据题意，直接列式表示方案①需付款元；方案②需付款元； （2）由（1）中结果，将分别代入与，比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，若该客户按方案①购买，需付款（元）； 若该客户按方案②购买，需付款（元）； 故答案为：；； （2）解：由（1）知方案①需付款元；方案②需付款元； 当时，（元）；（元）， ∵， ∴选择方案①较为划算． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$