精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高二上学期10月自主学习效果评估数学试题

2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估 数学试卷 2024.10.08 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】∵，，， 则，， 直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故选：A． 2. 若圆与圆相切，则（ ） A. 6 B. 3或6 C. 9 D. 3或9 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论，两圆外切和内切两种情况，分别根据圆心距与半径的关系即可求解． 【详解】圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为， 当两圆外切时，，即，解得； 当两圆内切时，，即，解得或（舍）； 所以当两圆相切时，或， 故选：D． 3. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为， 所以要求的直线斜率为，故直线方程为，即. 故选：D 4. 若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆，直线与圆位置关系计算即可判断. 【详解】因为点在圆内， 所以， 设圆心到直线的距离为, 则， 圆的半径, 因为，所以直线与圆的位置关系为相离. 故选：. 5. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆与直线相切可求得r的值，进而可求得圆的方程. 【详解】由题意知，， 所以所求圆的方程为. 故选：B. 6. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】圆心为，半径为， 若圆上有四个点到直线的距离等于1， 所以到直线的距离小于， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 7. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. 1或 B. 1 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆方程可得，确定或，再根据圆关于直线对称可得圆心在直线上即可求解. 【详解】因为是圆的方程， 所以，解得或， 又因为圆的圆心为， 且圆关于直线对称，所以， 即，解得，（舍）或， 故选：C. 8. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析出圆M与圆N的公共弦，满足，当的坐标为时，，利用余弦定理计算可得,由余弦函数的单调性确定最大，即为最大，计算即可得出结果. 【详解】可化为， 故圆N的圆心为，半径为， 由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1， 所以且，故， 当的坐标为时，， 在中，， 又，在上单调递减， 故为锐角，且当时，最大， 又在上单调递增， 所以当最大时，取得最大值，且最大值为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若直线与圆交于两点，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 圆的半径为3 C. 当时，直线的倾斜角为 D. 的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】将圆化成标准方程，算出圆心坐标与半径大小，从而判断出A、B两项的正误；当时，求出直线的斜率，得到倾斜角，从而判断出C项的正误；求出圆心到直线的距离的表达式，结合，求出的取值范围，进而判断出的取值范围，可得D项的正误． 【详解】对于A、B，圆的标准方程为：，圆心，半径，故A项不正确，B正确； 对于C，当时，直线的方程为，所以直线的斜率，倾斜角，故C项正确； 对于D，圆心，到直线的距离， 由,，得，所以，故D项错误． 故选：BC． 10. 已知点在上，点，，则（ ） A. 点到直线的距离最大值是 B. 满足的点有2个 C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，取即可否定结论；对于B，考虑以为直径的圆和的公共点个数即可；对于C，设是直线上一点，利用其切点弦方程即得结论；对于D，构造并证明，再由两点之间线段最短即得结论. 【详解】 对于A，由于，，故直线的方程为. 当的坐标是时，点到直线的距离，故A错误； 对于B，满足的全部点即为以为直径的圆和的公共点，而的中点为，. 故以为直径的圆的方程为，即. 联立并等价变形为，由于点到直线的距离，所以直线和圆有两个不同的交点，从而满足条件的点有2个，故B正确； 对于C，设是圆外一点，熟知关于圆的两条切线的切点确定的直线的方程是，若在直线即直线上，则，即. 所以直线即直线恒过点，C正确； 对于D，设点，，则由点在圆上，知. 所以，故. 从而. 当时，在上，且. 所以的最小值是，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于D选项中点的构造，事实上，若非零且同向共线，则以为圆心，为半径的圆上的任意一点到两点的距离之比都恒为（仅和的相对位置有关的）定值. 11. 设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是真命题的是（ ） A. 当时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切 B. 当时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则 C. 存在，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限 D. 当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1，最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式和直线的位置以及恒成立问题的应用逐项判断，即可得结论. 【详解】对于A，当，时，直线系方程为， 原点到直线的距离， 此时圆与直线系中所有直线都相切，故A正确； 对于B，当，时，直线系为， 设，，故点， 则点到直线系中所有直线的距离， 由于恒成立，要使得， 则， 整理得，由于， 则不等式转化为， 设，， 要使得，故，解得，故，故B正确； 对于C，当时，直线系方程为，直线经过定点， 当时，直线方程化为，显然不过第三象限， 当，直线，也不过第三象限， 所以直线不过第三象限，故C正确； 对于D，当时，直线系为， 原点到直线系中所有直线的距离， 当时，则直线系为， 则原点到直线的距离 ，故D错误； 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，圆，写出满足“对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得”的的一个值______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意知，过直线上任意一点总可以作圆的切线，可得直线与圆的关系是相离，根据圆心到直线的距离大于半径进行计算即可得到答案. 【详解】圆可化为，所以，对于直线上的任意一点， 在圆上总存在点使得，即对于直线任意一点， 都能向圆引切线，即直线与圆相离， 所以点到直线的距离，解得，故的值可以为1． 故答案为：1（答案不唯一） 13. 已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同解方程可求圆的方程，根据利用垂径定理可求弦长，根据弦长为定值可求斜率和截距的值，故可求定值. 【详解】设圆的方程为，令， 则，其解为的横坐标， 故该方程与同解，故， 又圆过，故，故， 故，故圆的方程为：. 其标准方程为：， 若定直线的斜率不存在，则可得定直线为：， 此时截得的弦长为： ， 无论取何值，弦长总不是常数， 设定直线为即， 圆心到直线的距离， 故弦长为 ， 若弦长为定值，则且， 故，此时弦长为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于圆中的定值问题，我们可以根据几何性质得到恒等式，再根据系数的性质得到参数满足的方程，从而求出定值. 14. 如图，点C是以AB为直径的圆O上的一个动点，点Q是以AB为直径的圆O的下半个圆（包括A，B两点）上的一个动点，，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立合适的平面直角坐标系，利用三角换元法和辅助间公式得到，最后根据正弦函数的性质即可得到答案. 【详解】以O为原点, 以为 轴, 以的中垂线为 轴建立平面直角坐标系 , 则圆 的半径为 , ,,, 设 ,, 则 , , , 当 时, 取得最小值， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，利用三角换元法表示出相关点的坐标，最后计算向量数量积，再根据三角恒等变换和三角函数性质即可求出最值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线． （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程 【小问1详解】 因为，所以，且， 由，得，解得或（舍去） 所以. 【小问2详解】 因为点在直线上， 所以，得，所以点的坐标为， 所以设直线的方程为（）， 令，则，令，则， 因为直线在两坐标轴上的截距之和为0， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 16. 已知：及经过点的直线. （1）当平分时，求直线的方程； （2）当与相切时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由圆的标准方程得到圆心坐标，由两点得斜率，由点斜式写出直线方程，化简即得； （2）分类，验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，设出切线方程，由圆心到切线距离等于圆的半径可求得参数，得直线方程. 【小问1详解】 由题意，当平分时，即直线l过圆心C时. 圆的圆心为，半径， 则直线的斜率为， 所以的方程为，即. 【小问2详解】 当斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到的距离为2，等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以的方程为； 所以直线的方程为或. 17. 如图，已知，直线. （1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程； （2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标；求出定点在直线上，且，由得到，设出,，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （2）作出辅助线，确定关于和的对称点，，得到，由对称性得，写成直线方程． 【小问1详解】 因为，所以，由题意得直线方程为， 直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为， 易知直线经过的定点在直线上，所以， 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，所以， 将点坐标代入直线的方程，解得，所以直线的方程为； 【小问2详解】 设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即， 直线的方程为，所以， 解得，所以， 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为，即. 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，当时，求实数的值； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，根据直线与圆相切于点列方程组求解； （2）求出圆心到直线的距离为，求出； （3）求出，设直线的斜率为，求出直线的方程，联立直线与圆的方程，求出点的坐标，求出点的坐标，求出点和点的坐标，求出、的表达式，即可求出得表达式，根据基本不等式求出的最大值. 【小问1详解】 由题可知，设圆的方程为， 由直线与圆相切于点， 得，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 因为，所以， 所以， 解得； 【小问3详解】 由题意知，， 设直线的斜率为， 则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为， 同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又， 同理，， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用方程思想求出的表达式，继而根据基本不等式求出的最大值. 19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者． （1）计算点和点之间的“距离”； （2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积； （3）证明：对任意点． 【答案】（1）； （2）4； （3） 考虑函数． 因为，所以在上单调递增． 又， 于是 ， 同理，． 不妨设， 则 . 【解析】 【分析】（1）根据所给定义直接计算即可； （2）依题意可得，再分类讨论，从而确定“圆”的图形，即可求出其面积； （3）首先利用导数说明函数的单调性，结合绝对值三角不等式证明即可. 【小问1详解】 由定义知，； 【小问2详解】 设是以原点为圆心，以为半径的-圆上任一点，则． 若，则； 若，则有． 由此可知，以原点为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示： 则“圆”的面积为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“距离”的定义，再结合不等式及导数的知识解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估 数学试卷 2024.10.08 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 若圆与圆相切，则（ ） A. 6 B. 3或6 C. 9 D. 3或9 3. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 5. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. 1或 B. 1 C. 3 D. 或3 8. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若直线与圆交于两点，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 圆的半径为3 C. 当时，直线的倾斜角为 D. 的取值范围是 10. 已知点在上，点，，则（ ） A. 点到直线的距离最大值是 B. 满足的点有2个 C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D. 的最小值为 11. 设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是真命题的是（ ） A. 当时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切 B. 当时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则 C. 存在，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限 D. 当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1，最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，圆，写出满足“对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得”的的一个值______． 13. 已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为__________. 14. 如图，点C是以AB为直径的圆O上的一个动点，点Q是以AB为直径的圆O的下半个圆（包括A，B两点）上的一个动点，，则的最小值为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线． （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 16. 已知：及经过点的直线. （1）当平分时，求直线的方程； （2）当与相切时，求直线的方程. 17. 如图，已知，直线. （1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程； （2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程. 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，当时，求实数的值； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者． （1）计算点和点之间的“距离”； （2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积； （3）证明：对任意点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $