专题01 空间向量与立体几何（9大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（安徽专用）

专题01 空间向量与立体几何 空间向量的线性运算 1．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（    ）．    A． B． C． D． 6．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）如图，在平行六面体中，设，，，则下列与向量相等的表达式是（    ）． A． B． C． D． 7．（22-23高二上·安徽宿州·期中）如图所示，已知三棱锥，点在棱上，且满足，为的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·安徽·期中）（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 空间向量的基本定理 9．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 11．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知，且共面，则 ． 12．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知点，，，点在平面内，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．0 13．（21-22高二上·安徽六安·期中）若是空间的一个基底，且，则叫在基底下的坐标.已知在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（20-21高二上·安徽淮北·期中）设，，是不共面的三个单位向量，则下列向量组不能作为空间的基底的一组是（    ） A． B． C． D． 15．（18-19高二下·安徽铜陵·期中）对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是，，，四点共面的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 空间几何中对称问题 16．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）空间两点，间的距离是 ，点关于面的对称点坐标为 ． 17．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）在空间直角坐标系中，点与点（    ） A．关于原点对称 B．关于平面对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 18．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在空间直角坐标系中，已知，，则的最小值是 ． 19．（23-24高二上·安徽黄山·期中）设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（    ） A．6 B． C． D． 空间向量平行（共线）求参数 20．（21-22高二下·安徽滁州·期中）已知，，若，则m的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 21．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）已知，，，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 23．（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，若与方向相反，且，则（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高二下·安徽安庆·期中）已知向量，，若，则（    ） A．2 B．18 C． D． 25．（21-22高二上·安徽宣城·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，若，则实数 ． 26．（21-22高二上·安徽黄山·期中）已知向量，，且与互相平行，则（    ） A．1 B． C． D．2 空间向量求夹角或夹角求参 27．（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（    ） A． B． C． D． 28．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知，，向量与的夹角，则（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知向量，，则在上的投影向量为 . 30．（21-22高二上·安徽宣城·期中）已知空间向量，，若，则（    ）． A． B． C． D． 31．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知空间向量. (1)求； (2)求与所成角的余弦值. 32．（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知， (1)若，求x的值； (2)若，，求与所成角的余弦值. 空间向量求向量模 33．（22-23高二上·安徽合肥·期中）已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 34．（21-22高二上·安徽·期中）若向量，互相垂直，则（    ） A． B． C．2 D．3 35．（22-23高二上·安徽宿州·期中）（多选）已知空间向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影数量为 36．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知向量，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 37．（22-23高二下·安徽阜阳·期中）已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 38．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数的值. 空间向量垂直求参数 39．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知空间向量，，若，则 ． 40．（21-22高二上·安徽合肥·期中）设空间向量，且，则 . 41．（20-21高二上·安徽六安·期中）已知向量，，则使，成立的分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 42．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知空间向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求的最大值． 空间向量解决立体几何平行和垂直问题 43．（23-24高二上·安徽宿州·期中）（多选）已知空间中三点，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．平面一个法向量的坐标是 44．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）（多选）下列结论中正确的是（    ） A．若，分别为直线l，m的方向向量，则 B．若为直线的方向向量，为平面的法向量，则或 C．若，分别为两个不同平面，的法向量，则 D．若向量是平面的法向量，向量，，则 45．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底 B．两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则 C．直线l的方向向量，平面α的法向量，则 D．若，，，则P点在平面内 46．（23-24高二上·安徽·期中）（多选）直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面的夹角大小为 47．（22-23高二下·安徽池州·期中）（多选）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（    ） A． B． C．与为相交直线或异面直线 D．在上的投影向量的坐标为 48．（22-23高二上·安徽合肥·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l与所成角为 B．P、A、B、C是空间中四点，若，则P、A、B、C四点共面 C．过，两点的直线方程为 D．“”的一个必要不充分条件是“直线与直线平行” 49．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知，分别是平面的法向量，若，则 ． 50．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知平面的一个法向量为，点，在平面内，则 ． 空间向量求立体几何异面直线 51．（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高二上·安徽·期中）堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 53．（22-23高二上·安徽·期中）如图，在正方体中，P为线段上一点，则直线与BP所成的角的最大值、最小值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 54．（21-22高二上·安徽·期中）在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 55．（23-24高二上·安徽合肥·期中）在正方体中，已知为中点，如图所示．    (1)求证：平面 (2)求异面直线与夹角大小． 56．（21-22高二上·安徽宣城·期中）在直三棱柱中，，，，E、F分别为、的中点． (1)求直线AE与所成角的大小； (2)判断直线与平面ABF是否垂直． 空间向量求立体几何直线与平面所成角 57．（23-24高二上·安徽宿州·期中）在正方体中，分别是棱上的动点，且，当、共面时，直线和平面夹角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 58．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点． (1)证明：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 59．（23-24高二上·安徽合肥·期中）在正方体中，若棱长为，，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．直线与平面所成角的正弦值为定值 C．平面平面 D．点到平面的距离为定值 60．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，分别为的中点，将沿折起，使点到点的位置，. (1)证明：平面平面； (2)若为线段上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 61．（23-24高三上·安徽·期中）如图1，是边长为6的等边三角形，点，分别在线段，上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求. 62．（22-23高二上·安徽·期中）在长方体中，，分别是，的中点，，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 63．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）如图，在长方体中，，，点E在棱上移动．    (1)证明：； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 64．（23-24高二上·安徽黄山·期中）（多选）如图，直三棱柱中，，，D、E分别为、的中点，则下列结论正确的是（    ） A．∥ B．直线DE与平面所成角的正弦值为 C．平面与平面ABC夹角的余弦值为 D．DE与所成角为 空间向量求二面角 65．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）四棱锥中，底面ABCD是长方形，面ABCD，且，E是PC的中点，过D点作交PB于点F，连接EF，DE． (1)证明：面DEF； (2)若，求平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小． 66．（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）已知直三棱柱，侧面是正方形，点在线段上，且，点为的中点，，． (1)求异面直线与所成的角； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 67．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)求平面和平面的夹角的正切值. 68．（23-24高二上·安徽黄山·期中）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面且． (1)证明：平面. (2)求平面与平面的夹角的大小． 69．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点． (1)求直线与EF所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 70．（23-24高二上·安徽·期中）已知菱形如图①所示，其中，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点B作平面，且，所得图形如图②所示． (1)若点P满足，且平面，求的值； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 空间向量解决立体几何中的探究性问题 71．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 72．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于？ 73．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，D为BC的中点． (1)求证：； (2)在棱PA上是否存在点M（不含端点），使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段AM的长度；若不存在，说明理由． 74．（22-23高二上·安徽宿州·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，且． (1)求证：面； (2)在线段PD上是否存在点E，使平面PAB与平面ACE所夹角的余弦值为？若存在，找出点E的位置：若不存在，请说明理由． 空间向量解决空间距离问题 75．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 76．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知是平面内一点，是平面的法向量，若点是平面外一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 77．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在棱长为1的正方体中（    ）    A．AC与的夹角为 B．三棱锥外接球的体积为 C．与平面所成角的正切值 D．点D到平面的距离为 78．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（    ）    A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为3 C．若，则的最小值为 D．若，则点到的距离的最小值为 79．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A到直线的距离是 ． 80．（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为 ． 81．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，点在上，且，求点到平面的距离. 82．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）在长方体中，，，． (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面间的距离． 空间向量解决空间最值问题 83．（20-21高二上·安徽池州·期中）如图，边长为4正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，将△AED，△DCF沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，点M在平面EFD内，且PM＝2，则直线PM与BF夹角余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 84．（22-23高二下·安徽滁州·期中）（多选）长方体中，，，，点是空间一动点，是棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若在侧面内含边界运动，当长度最小时，三棱锥的体积为 B．若在侧面内含边界运动，存在点，使平面 C．若在侧面内含边界运动，且，则点的轨迹为圆弧 D．若在内部运动，过分别作平面，平面，平面的垂线，垂足分别为，，，则为定值 85．（23-24高二上·安徽滁州·期中）（多选）在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（    ） A．若点在平面内，则 B．若，则 C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，长度的最小值为 86．（23-24高二上·安徽合肥·期中）（多选）已知正四棱柱的底面边长为，点分别满足.甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当时，存在，使得； 乙：当时，存在，，使得； 丙：当时，满足的的关系为； 丁：当时，满足的点围成区域的面积为. 其中得出错误结论的同学有（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 87．（23-24高二上·安徽六安·期中）（多选）在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A．当平面时，可能垂直 B．当时，的最小值为 C．若与平面所成的角为，则点的轨迹的长度为 D．当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为 88．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）（多选）如图所示，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ）．    A．平面平面 B．三棱锥的体积为 C． D． 89．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知正方体中，平面，平面，，记直线与平面所成角为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 90．（21-22高二上·安徽·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是 （填入正确结论对应的序号）. ①设向量旋转后的向量为，则 ②点的轨迹是以为半径的圆 ③设①中的在平面上的投影向量为，则的取值范围是 ④直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量与立体几何 空间向量的线性运算 1．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可. 【详解】. 故选：B. 2．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意可得 . 故选：C 3．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的共面定理计算即可. 【详解】由点在平面内，可知， 又， 所以，三项相加可得. 故选：B. 4．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将表示为，然后通过空间向量的加减以及数乘运算逐步将表示为的线性组合，由此可得结果. 【详解】由题意知 ． 故选：C． 5．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用表示，然后由可得结果. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：A. 6．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）如图，在平行六面体中，设，，，则下列与向量相等的表达式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的运算法则计算即可. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确． 故选：D 7．（22-23高二上·安徽宿州·期中）如图所示，已知三棱锥，点在棱上，且满足，为的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】由已知条件和图可知， ， 因为，，， 所以. 故选：B. 8．（22-23高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【分析】 由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】 当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 空间向量的基本定理 9．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，设在基底下的坐标为，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 所以， 所以在基底下的坐标为. 故选：A 10．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据空间四点共面及二次函数的最值求解. 【详解】因为，且四点共面， 由空间四点共面的性质可知，即， 所以， 所以当时，有最小值. 故选：D 11．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知，且共面，则 ． 【答案】/0.8 【分析】由共面可知存在实数使得，结合向量的坐标表示建立方程组，解之即可. 【详解】由题意知，共面， 则存在实数使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 12．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知点，，，点在平面内，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理即可得解. 【详解】因为点在平面内，所以， 即解得， 故选：B 13．（21-22高二上·安徽六安·期中）若是空间的一个基底，且，则叫在基底下的坐标.已知在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的基本定理列方程，化简求得正确答案. 【详解】依题意， 设， 即， 所以， 所以在另一组基底下的坐标为. 故选：B 14．（20-21高二上·安徽淮北·期中）设，，是不共面的三个单位向量，则下列向量组不能作为空间的基底的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理，判断四个选项中的每一组向量是否共面即可得出答案. 【详解】解：对于A，设三个向量共面， 则存在唯一一对实数，使得， 即， 又，，是不共面的三个单位向量， 所以，方程组无解， 所以三个向量不共面，能作为一组基底； 对于B，因为，所以三个向量共面，故不能作为一组基底； 对于C，设三个向量共面， 则存在唯一一对实数，使得， 即， 又，，是不共面的三个单位向量， 所以，方程组无解， 所以三个向量不共面，能作为一组基底； 对于D，设三个向量共面， 则存在唯一一对实数，使得， 即， 又，，是不共面的三个单位向量， 所以，方程组无解， 所以三个向量不共面，能作为一组基底. 故选：B. 15．（18-19高二下·安徽铜陵·期中）对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是，，，四点共面的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点和不共线的三点，，，且,得,,,四点共面等价于，然后分充分性和必要性进行讨论即可. 【详解】解：空间任意一点和不共线的三点，，，且 则,,,四点共面等价于 若，，，则，所以,,,四点共面 若,,,四点共面，则，不能得到，， 所以，，是,,,四点共面的充分不必要条件 故选B. 【点睛】本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题. 空间几何中对称问题 16．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）空间两点，间的距离是 ，点关于面的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据空间两点间的距离公式、空间点对称等知识求得正确答案. 【详解】，两点间的距离为. 点关于面的对称点坐标为. 故答案为：； 17．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）在空间直角坐标系中，点与点（    ） A．关于原点对称 B．关于平面对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】利用空间中点的对称性质即可求得. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则根据题所给的坐标，可以判断它们关于轴对称. 故选：D 18．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在空间直角坐标系中，已知，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】利用空间距离公式及二次函数知识求解. 【详解】. 当时，等号成立. 所以的最小值是. 故答案为：. 19．（23-24高二上·安徽黄山·期中）设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间两点间距离公式，结合对称的性质计算即得. 【详解】令坐标原点为，依题意，. 故选：C 空间向量平行（共线）求参数 20．（21-22高二下·安徽滁州·期中）已知，，若，则m的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的性质即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 故选：C. 21．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的平行关系求，即可得到答案. 【详解】由，得，解得3， 所以,. 故选：D. 22．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）已知，，，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】 根据空间向量减法和共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为 所以， 故选：B 23．（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，若与方向相反，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】向量的坐标与模长运算，直接求即可. 【详解】依题意，， 设， 则， 解得舍去， 则 故选：B 24．（22-23高二下·安徽安庆·期中）已知向量，，若，则（    ） A．2 B．18 C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可． 【详解】因为，则存在实数使得，即， 解得，所以， 故选：B． 25．（21-22高二上·安徽宣城·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，若，则实数 ． 【答案】3 【分析】写出向量，的坐标，便可得到二者之间的数量关系，求得答案. 【详解】由题意得，， 所以，即， 故答案为：3 26．（21-22高二上·安徽黄山·期中）已知向量，，且与互相平行，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量加减法的坐标表示，先求解出向量和 ，再根据向量平行求解参数的值即可. 【详解】根据题意， 根据两向量平行得，，解得 . 故选：B. 空间向量求夹角或夹角求参 27．（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用坐标表示向量的夹角计算即可. 【详解】依题意，，， 故， ，， ． 故选：A 28．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知，，向量与的夹角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量夹角的坐标表示直接计算可得. 【详解】因为向量与的夹角，所以 又，解得. 故选：B 29．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知向量，，则在上的投影向量为 . 【答案】 【分析】首先求出， ，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 30．（21-22高二上·安徽宣城·期中）已知空间向量，，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积求得，再根据向量的夹角公式求得答案. 【详解】由得，，解得， 则，， 所以， 故选：A． 31．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知空间向量. (1)求； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，可得x，y的值，根据，代入公式，可得z的值，即可得答案. （2）由（1）可得，，即可得，，代入向量求夹角公式，即可得答案. 【详解】（1）由，可得，解得， 由，可得，解得， 所以. （2）由（1）可得，， 所以，， 所以 32．（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知， (1)若，求x的值； (2)若，，求与所成角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据空间向量垂直的坐标表示列式计算即可； （2）先根据向量模的坐标公式求得，然后代入夹角余弦值的坐标公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以，又，所以， 所以向量与所成角的余弦值为. 空间向量求向量模 33．（22-23高二上·安徽合肥·期中）已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量垂直，数量积为0求得参数，然后由模的坐标表示计算． 【详解】， 与垂直，则, ， 解得， ， ， 故选：C． 34．（21-22高二上·安徽·期中）若向量，互相垂直，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空间垂直向量的坐标表示求得，结合空间向量的集合意义即可求出的模. 【详解】因为向量，互相垂直， 所以，即， 解得，故 所以． 故选：B 35．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知空间向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影数量为 【答案】BD 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影即可解决. 【详解】由题得，而，故A不正确； 因为，所以，故B正确； 因为，故C错； 因为在上的投影数量为，故D正确； 故选：BD. 36．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知向量，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用空间向量的模公式求解. 【详解】解：因为向量，， 所以， 则， 故选：B 37．（22-23高二下·安徽阜阳·期中）已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案； （2）计算出，利用模长公式得到，求出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 即， 解得； （2） 所以，. 所以当时，取得最小值为. 38．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可； （2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可. 【详解】（1），，，，， ，， 于是， . （2）， ， 又与互相垂直，， 即， ，解得. 空间向量垂直求参数 39．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知空间向量，，若，则 ． 【答案】 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示求解. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得． 故答案为： 40．（21-22高二上·安徽合肥·期中）设空间向量，且，则 . 【答案】1 【分析】根据，由求解. 【详解】因为向量，且， 所以，即， 解得. 故答案为：1 41．（20-21高二上·安徽六安·期中）已知向量，，则使，成立的分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【分析】利用空间向量垂直、平行的坐标表示可分别求得结果. 【详解】当时，，解得； 当时，则有，解得. 故选：A. 42．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知空间向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由向量共线定理、数量积的坐标公式运算即可求解. （2）首先由向量垂直的坐标表示得到条件等式，结合基本不等式即可求解，注意取等条件是否成立. 【详解】（1）由题意，，所以不妨设， 又， 从而， 解得，所以. （2）由题意，所以，即， 又因为， 所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 解得， 所以当且仅当时，的最大值为. 空间向量解决立体几何平行和垂直问题 43．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知空间中三点，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．平面一个法向量的坐标是 【答案】BCD 【分析】由题意首先求出，对于A，判断对应坐标分量是否成比例即可；对于B，由公式直接运算验证即可；对于C，直接由公式直接运算验证即可；对于D，，只需验证是否同时成立即可. 【详解】由题意， 对于A，因为，所以与不是共线向量，故A错误； 对于B，与同向的单位向量是，故B正确； 对于C，与夹角的余弦值是，故C正确； 对于D，记，所以， 从而平面一个法向量的坐标是，故D正确. 故选：BCD. 44．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）下列结论中正确的是（    ） A．若，分别为直线l，m的方向向量，则 B．若为直线的方向向量，为平面的法向量，则或 C．若，分别为两个不同平面，的法向量，则 D．若向量是平面的法向量，向量，，则 【答案】BD 【分析】由直线的方向向量垂直得直线垂直，由直线的方向向量与平面的法向量垂直得直线与平行的位置关系，由两平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量与平面内的向量垂直得参数关系，从而判断各选项． 【详解】，，， 直线与不垂直，故A错误； ，或，故B正确； ，与不共线，不成立，故C错误； 由题可知即解得，故D正确． 故选：BD. 45．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）下列结论正确的是（    ） A．若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底 B．两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则 C．直线l的方向向量，平面α的法向量，则 D．若，，，则P点在平面内 【答案】ABD 【分析】利用基底的定义可判定A项，利用空间向量研究空间位置关系可判定B、C项，利用空间向量共面定理可判定D项. 【详解】若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间一组基底， 故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，所以，或，因为不能确定直线l是否在平面α内，故C错误； 因为，故D正确． 故选：ABD． 46．（23-24高二上·安徽·期中）直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面的夹角大小为 【答案】ABD 【分析】根据空间向量判断线面关系，即可判断AB，由空间向量计算空间角度，即可判断CD. 【详解】若，则，故A正确； 若，则，故B正确； 因为直线与平面所成角的范围为，若，则与的夹角为，所以直线与平面所成角的大小为，故C错误； 因为两平面夹角的范围为，若，则平面的夹角大小为，故D正确. 故选：ABD. 47．（22-23高二下·安徽池州·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（    ） A． B． C．与为相交直线或异面直线 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【分析】由空间向量的坐标运算判断线面的平行垂直关系，可判断A、B、C选项；利用投影向量的计算公式计算可判断D选项. 【详解】因为，所以或，所以A错误； 因为，所以，所以B正确； 因为，则不成立，所以与为相交直线或异面直线，所以C正确； 在向量上的投影向量为，所以D错误. 故选：BC. 48．（22-23高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l与所成角为 B．P、A、B、C是空间中四点，若，则P、A、B、C四点共面 C．过，两点的直线方程为 D．“”的一个必要不充分条件是“直线与直线平行” 【答案】AB 【分析】对于A：由线面角及的定义可知它们的关系； 对于B：由可推出可以由线性表示，即可得出结论. 对于C： 直线两点式方程使用的条件是直线不能与坐标轴平行； 对于D：先得出两直线平行的充要条件再看它与的推出关系. 【详解】对于A：设直线与平面所成角为，，则与的关系为 或，其中，所以当时，则l与所成角为，故A正确； 对于B：由得 所以，所以，所以可以由线性表示，所以P、A、B、C四点共面，故B正确； 对于C：当或时，不能再用此方程，故C错误； 对于D：直线与直线平行得且 . 故时推不出两直线平行，而反之可以，所以“”的一个充分不必要条件是“直线与直线平行”，故D错误； 故选：AB 49．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知，分别是平面的法向量，若，则 ． 【答案】 【分析】根据法向量垂直即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故答案为： 50．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知平面的一个法向量为，点，在平面内，则 ． 【答案】6 【分析】根据法向量定义列式求参即可. 【详解】因为，且，所以，解得． 故答案为：6. 空间向量求立体几何异面直线 51．（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，则，，利用，即可得出答案． 【详解】设与所成角为， 如图所示，不妨设， 则，，，， ，，． 设， 则，． 所以， 当时，，此时与所成角为， 当时，， 此时，当且仅当时等号成立， 因为在上单调递减，所以， 综上，． 故选：B． 52．（23-24高二上·安徽·期中）堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 由题意得，平面以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以.设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 53．（22-23高二上·安徽·期中）如图，在正方体中，P为线段上一点，则直线与BP所成的角的最大值、最小值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为1，与BP所成的角为，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法研究即可求解 【详解】设正方体的棱长为1，与BP所成的角为， 以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则，，，，， 所以，，， 设， 所以， 所以，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 又， 所以， 故与BP所成角的最大值为，最小值为． 故选：D． 54．（21-22高二上·安徽·期中）在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 由题知， 所以直线与直线所成角的余弦值为 故选：B 55．（23-24高二上·安徽合肥·期中）在正方体中，已知为中点，如图所示．    (1)求证：平面 (2)求异面直线与夹角大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可； （2）利用向量法求异面直线的夹角. 【详解】（1）在正方体中，因为，，两两垂直， 故以为原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图：    不妨设正方体的棱长为1， 则， 故，，， 设平面的一个法向量为， 由，得， 令，则，所以． 从而， 又平面，所以平面. （2）设、分别为直线与的方向向量， 则由， 得, 所以， 所以两异面直线与的夹角的大小为． 56．（21-22高二上·安徽宣城·期中）在直三棱柱中，，，，E、F分别为、的中点． (1)求直线AE与所成角的大小； (2)判断直线与平面ABF是否垂直． 【答案】(1)； (2)平面ABF. 【分析】（1）构建空间直角坐标系确定直线AE与的方向向量，利用空间向量夹角的坐标表示求直线AE与所成角. （2）应用向量法求证，，再根据线面垂直的判定即可判断结论. 【详解】（1）由题意知，AB、AC、两两垂直，分别以、、方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ∴，， ∴，故直线AE与所成角为． （2）由（1）可得：，， ∴，， ∴，， ∵，AF、平面ABF， ∴平面ABF． 空间向量求立体几何直线与平面所成角 57．（23-24高二上·安徽宿州·期中）在正方体中，分别是棱上的动点，且，当、共面时，直线和平面夹角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意建立空间直角坐标系，先由 、四点共面推得的坐标，再分别求得平面的法向量和直线的方向向量，结合线面角的正弦公式，从而求解. 【详解】以D为坐标原点，所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，    不妨设正方体的棱长为6，， 则可得， 当、四点共面时，设平面为， 且平面，平面，平面平面， 所以， 所以不妨设， 又因为， 所以，解得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与直线所成的角为， 则. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键是证得，从而得到的坐标，进一步求出平面法向量和直线方向向量即可求解. 58．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点． (1)证明：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明垂直关系和求解角度. 【详解】（1）如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为， 则， 则，故， 所以； （2）设平面的一个法向量为，， 则，则， 令，则，，则，又， 设直线与平面所成角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为. 59．（23-24高二上·安徽合肥·期中）在正方体中，若棱长为，，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．直线与平面所成角的正弦值为定值 C．平面平面 D．点到平面的距离为定值 【答案】B 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向量逐个计算判断即可 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 令，得， 令，得，， 对于A，，显然， 即，， 而，平面，因此平面，A正确； 对于B，由平面，平面，得， 因为，，平面，则平面， 于是为平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则不是定值，B错误； 对于C，由选项A知平面，即为平面的一个法向量， 而，则， 即有， 又，平面，因此平面， 则平面平面，C正确； 对于D，显然， 因此点到平面的距离为，为定值，D正确. 故选：B 60．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，分别为的中点，将沿折起，使点到点的位置，. (1)证明：平面平面； (2)若为线段上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先连接与交于点，连接，证明平面可得，再根据题意利用勾股定理证明，从而可得平面平面. （2）根据题意建立空间支教坐标系，由平面平面，可得，进而求平面的一个法向量，设，可得的坐标，从而设与平面所成角为，进行利用向量法讨论与平面所成角的正弦值即可得到答案. 【详解】（1）证明：连接与交于点，连接， 则， 又分别为的中点，所以， 则， 因为，平面，平面, 所以平面， 又平面，所以， 在菱形中，， 则在中，由余弦定理得 =， 因为，所以， 则， 又，平面，平面 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）以为原点，以所在直线分别为轴， 过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则. 由（1）可知，平面平面，易知， 所以， . 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则. 设， 则， 设与平面所成角为， 显然当时，，不满足题意， 所以，所以， 所以， 当，即时，取得最大值为. 61．（23-24高三上·安徽·期中）如图1，是边长为6的等边三角形，点，分别在线段，上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）由余弦定理求出，根据勾股定理的逆定理可判断以及，在证明平面，即可证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，设出点坐标，从而得到直线的方向向量，结合已知条件中的直线与平面所成角的正弦值为，列出方程求解即可. 【详解】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理得， 因为，所以， 在中，，，， 所以，所以 又因为、平面，且， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. （2）由（1）可知，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设，则，所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面的所成角为， 则，即， 解得：，即. 62．（22-23高二上·安徽·期中）在长方体中，，分别是，的中点，，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）设点到平面的距离为，根据，结合锥体的体积公式，即可求解； （3）以为原点，建立空间直角坐标系，设，根据，根据，求得，得到的长,再由（2）中点到平面的距离，结合直线与平面所成角，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面,平面，所以平面. （2）解：设点到平面的距离为， 在长方体中，可得平面，且平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 即三棱锥的高为， 所以， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以为等腰三角形，可得边上的高为， 所以， 由，可得，即， 解得，即点到平面的距离为. （3）解：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 设，所以， 因为，所以，解得， 所以，可得，即, 由（2）知，点到平面的距离， 设直线与平面所成角为，可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    63．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）如图，在长方体中，，，点E在棱上移动．    (1)证明：； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得. （2）利用向量法求得与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，设， 所以， 所以. （2）当时，，， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设与平面所成角为， 则.    64．（23-24高二上·安徽黄山·期中）如图，直三棱柱中，，，D、E分别为、的中点，则下列结论正确的是（    ） A．∥ B．直线DE与平面所成角的正弦值为 C．平面与平面ABC夹角的余弦值为 D．DE与所成角为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项分析判断. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设， 则， 对于选项A：可得， 因为，可知与不平行， 所以与不平行，故A错误； 对于选项B：可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 则， 所以直线DE与平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于选项C：可得平面ABC的法向量， 则， 所以平面与平面ABC夹角的余弦值为，故C正确； 对于选项D：因为， 可得， 则DE与所成角的余弦值为，所以DE与所成角不为，故D错误； 故选：BC. 空间向量求二面角 65．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）四棱锥中，底面ABCD是长方形，面ABCD，且，E是PC的中点，过D点作交PB于点F，连接EF，DE． (1)证明：面DEF； (2)若，求平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面； （2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，所以， 由底面为矩形，有，而平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，点是的中点，所以． 而平面，所以平面平面， 所以， 又平面， 所以平面． （2）如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．   ，则不妨设，，, 则， 点是的中点，所以， 由平面，所以是平面的一个法向量； 由（1）知，平面， 所以是平面的一个法向量． 设平面与平面所成锐二面角为， ， 即平面与平面所成二面角的大小为， 66．（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）已知直三棱柱，侧面是正方形，点在线段上，且，点为的中点，，． (1)求异面直线与所成的角； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直棱柱的结构特征 ，结合线面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用直线与直线所成角的向量求法，计算得结论； （2）分别求出两个平面的法向量，利用平面与平面所成角的向量求法，即可得到结果． 【详解】（1）因为侧面是正方形，，，所以， 因为三棱柱直三棱柱，所以面，而，平面，因此，， 所以，，两两垂直． 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图： 因此，，，，而点为的中点，所以， 因为在线段上，所以设， 因此， 因为，所以解得， 因此，即， 因为，所以， 因此异面直线与所成的角为. （2）设平面的法向量为，而， 因此由得，取得，， 所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量为，，， 因此由得，取得，， 所以是平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为，则， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 67．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)求平面和平面的夹角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的性质得到，由线面垂直的判定定理得平面，由线面垂直的性质得；再利用勾股定理及线线平行垂直的性质得到；最后利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，先求出平面和平面的法向量；再利用空间夹角的向量求法运算即可得解. 【详解】（1）   证明：因为平面，且平面. 所以，. 因为四边形为正方形，. 所以，且. 又因为 所以平面. 因为平面 故. 因为在中，，O为AC的中点. 所以， 则，即. 又因为， 所以. 又平面，且平面，且 所以平面. （2）因为两两垂直 则以为原点，分别以向量的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：    ， . . 由可得， 则. 设平面的一个法向量为 则，得 取，得. 设平面的一个法向量为 又 则，得， 取，得 所以. 平面和平面的夹角的余弦值为,夹角的正弦值为. 平面和平面的夹角的正切值为. 68．（23-24高二上·安徽黄山·期中）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面且． (1)证明：平面. (2)求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，利用面面垂直、线面垂直，以及线段长度求证线面垂直即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而求出其夹角大小即可. 【详解】（1） 取中点，连接 都是边长为2的正三角形， ，， 又，面，面， 面， 又平面平面， 面且 又面且 ，，， 是正方形， 又，平面，平面， 平面 （2）由（1）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系 由于轴垂直面 ∴平面的法向量为 又，， ， 设平面的法向量， 则， 令，则，，所以 ∴平面与平面的夹角为 69．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点． (1)求直线与EF所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （2）利用向量法求面面角的余弦即可. 【详解】（1）以A为坐标原点，AB，AD，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，，，，所以，， 所以， 所以直线与EF所成角的余弦值为． （2）因为，所以，设平面的一个法向量， 所以令，解得，， 所以平面的一个法向量． 易得平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为θ， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 70．（23-24高二上·安徽·期中）已知菱形如图①所示，其中，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点B作平面，且，所得图形如图②所示． (1)若点P满足，且平面，求的值； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先证明，，，然后以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用平面，由即得. （2）分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，结合法向量的夹角即得. 【详解】（1）如图，取中点O，连接，； 由图①可知，、是正三角形， 所以，． 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以． 以为正交基底建立空间直角坐标系． 设平面的一个法向量． 因为平面等价于． 不妨设，则，，，，， 因为，，，， 故，． 因为平面的一个法向量， 所以，则， 令，则，， 所以． 由， 解得； （2）因为，， 设平面的一个法向量， 所以即 令，则，， 所以． 平面的一个法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值． 空间向量解决立体几何中的探究性问题 71．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，位于的中点处，证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形是平行四边形，所以，从而得到线面平行； （2）先根据面面垂直得到线面垂直，是四棱锥的高，设，根据体积求出，建立空间直角坐标系，设，由线面角得到方程，求出，得到答案. 【详解】（1）取中点，连接， ∵分别为的中点， ，， ∵底面四边形是矩形，为棱的中点， ，， ，， 故四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面， ∴平面.    （2）假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 平面，则是四棱锥的高. 设，则，矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，      故. 设， ， 设平面的一个法向量为， 则，令得，， . 由题意可得， 整理得，解得或，又因为，所以， 故存在点，位于的中点处满足题意. 72．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【分析】（1）利用勾股定理证得，结合线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，设点，，求得平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，进而得解. 【详解】（1）取中点为，连接， 在中，，，， ，，所以， 又，，而，所以， 又，，， 又，，平面 （2）存在点F是的中点，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于． 以A为坐标原点，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，设点， 因为点F在线段上，设，， ， 设平面的法向量为，， 则，令，则 设直线CF与平面所成角为，， 解得或（舍去）， ，此时点F是的中点，所以存在点F． 73．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，D为BC的中点． (1)求证：； (2)在棱PA上是否存在点M（不含端点），使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段AM的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）由勾股定理逆定理得到AB⊥BC，AB⊥PB，从而AB⊥平面PBC，AB⊥，又利用等腰三角形三线合一得到PD⊥BC，从而PD⊥平面ABC，进而得到； （2）以D为原点，直线DB为y轴，直线DP为z轴，以过D与AB平行的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系，设，用坐标求出平面MBC和平面ABC的法向量，根据二面角的余弦值为列出等式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，所以，所以AB⊥BC， 又，，所以△PBC为等边三角形， 所以，又，所以，所以AB⊥PB， 又PB，平面PBC，且， 所以AB⊥平面PBC，又平面PBC，所以AB⊥， 因为，D为BC的中点，所以PD⊥BC， 又平面ABC，， 所以PD⊥平面ABC，又平面ABC，所以. （2）由（1）得，PD⊥平面ABC，， 以D为原点，直线DB为y轴，直线DP为z轴，过D与AB平行的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设，所以， 设平面MBC的一个法向量，则，即， 令，解得，，故， 显然平面ABC的一个法向量，二面角M-BC-A为锐二面角，设为， 所以， 解得或（舍）， 所以存在M，使之满足条件，此时． 74．（22-23高二上·安徽宿州·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，且． (1)求证：面； (2)在线段PD上是否存在点E，使平面PAB与平面ACE所夹角的余弦值为？若存在，找出点E的位置：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，是中点 【分析】（1）证明平面，得到，同理得到，得到线面垂直. （2）如图所示建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，利用向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1），，，故平面，平面， 故，同理可得，，故面. （2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设，则，， 平面的一个法向量是，设平面的一个法向量是， 则， 取得到，，即， ，解得， 即存在点满足条件，是中点. 空间向量解决空间距离问题 75．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取AC的中点O，取的中点E， O以为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的向量求法可得答案. 【详解】取AC的中点O，取的中点E，连接OE，则，所以平面ABC， 连接OB，因为是等边三角形，所以，因为OB，平面ABC， 所以OB，AC，OE两两垂直，所以O以为坐标原点，OB所在直线为x轴， OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所 示．又，所以，，， ，所以，所以，， 所以， 所以点到直线的距离. 故选：A．    76．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知是平面内一点，是平面的法向量，若点是平面外一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到平面的距离公式即可求出. 【详解】由题意得，故点到平面的距离， 故选：C. 77．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在棱长为1的正方体中（    ）    A．AC与的夹角为 B．三棱锥外接球的体积为 C．与平面所成角的正切值 D．点D到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得． 【详解】如图建立空间直角坐标系，    则， 对于A，， 则，即，所以AC与的夹角为，故A错误； 对于B，三棱锥外接球与正方体的外接球相同， 又正方体的外接球的直径等于体对角线的长， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的体积为，故B正确； 对于C，设平面的法向量为，， 所以，令，得到，，则， 因为，设与平面所成角为， 则， 则，故C正确； 因为，设点D到平面的距离为d， 则，故D正确． 故选： 78．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在正三棱柱中，侧棱长为3，，空间中一点满足，则（    ）    A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为3 C．若，则的最小值为 D．若，则点到的距离的最小值为 【答案】ACD 【分析】A：做出图像，由已知和选项找到点P的位置，判断到平面的距离为定值，又的面积为定值可求出；B：作图找到点P位置，判断轨迹长度即可；C：由向量共线得到P的位置，再点到直线的距离求最小值；D：建系，用空间向量关系求出到的距离，再用二次函数的性质求出最值. 【详解】   对A，若，分别作棱，的中点，，连接，则在线段上，易知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 若，分别作，的中点，，则点的轨迹为线段，易知，故B错误； 若，则，，三点共线，即点在线段上，易求点到的距离为，故的最小值为，故C正确； 若，则点在线段上，易证，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 所以， 所以， 所以点到的距离， 所以当时，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题. 79．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A到直线的距离是 ． 【答案】/ 【分析】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得. 【详解】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系. 则， 所以， 记与同向的单位向量为，则， 所以，点A到直线BE的距离. 故答案为： 80．（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用空间向量求解点到平面的距离，从而求解. 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，令，得：，， 则得： 而，则所求距离． 故答案为：. 81．（23-24高二上·安徽六安·期中）如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，点在上，且，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理证得，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间法求得点到平面的距离，从而得解. 【详解】（1）作，垂足为，如图 由题意可知：，且，则四边形为正方形， 所以， 又因为，可知，即， 因为平面平面，所以. 且平面平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 则，， 而，则. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为， 设点到平面的距离为，则， 所以点到平面的距离为. 82．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）在长方体中，，，． (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算得到，，得到证明. （2）平面的法向量为，再利用向量的距离公式计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，． ，故，又因为平面，平面， 所以平面． （2）设平面的法向量为，则，即． 取，则，，． 则点C到平面的距离：． 即直线与平面的距离为． 空间向量解决空间最值问题 83．（20-21高二上·安徽池州·期中）如图，边长为4正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，将△AED，△DCF沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，点M在平面EFD内，且PM＝2，则直线PM与BF夹角余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知条件建立合适空间直角坐标系，设出点坐标，利用直线方向向量夹角的余弦值的计算方法结合点坐标满足的等式，利用三角换元法求解出直线PM与BF夹角余弦值的最大值. 【详解】取中点，连接，且延长线过点， 因为，，所以平面， 根据对称性可知在底面平面内的射影点必在上，记为点， 以为坐标原点，方向为轴，过点垂直于方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为，所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以， 设，因为，所以，所以， 又因为，， 所以， 不妨设，所以， 所以，取等号时， 所以直线PM与BF夹角余弦值的最大值为， 故选：D. 【点睛】方法点睛：异面直线所成角的余弦值的两种求解方法： （1）几何法：采用平移直线的方法将待求直线平移至同一平面内，然后根据线段长度利用余弦定理求解出异面直线所成角的余弦值； （2）向量法：先写出两条直线的方向向量，然后根据直线方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果. 84．（22-23高二下·安徽滁州·期中）长方体中，，，，点是空间一动点，是棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若在侧面内含边界运动，当长度最小时，三棱锥的体积为 B．若在侧面内含边界运动，存在点，使平面 C．若在侧面内含边界运动，且，则点的轨迹为圆弧 D．若在内部运动，过分别作平面，平面，平面的垂线，垂足分别为，，，则为定值 【答案】ABD 【分析】求得三棱锥的体积判断选项A；取，的中点，，连接，，，可证平面判断B；建立空间直角坐标系求得点的轨迹方程判断选项C；由可得点，，的坐标，进而可得为定值判断D． 【详解】选项A：当为中点时，长度最小，最小长度为，此时P到平面的距离即为P到平面的距离， 由长方体性质易知，且平面平面，且平面平面， 则P到平面的距离即为C平面的距离，作于H,则为C平面的距离， 设为h,则由等面积可知即， 故，故A正确； 对B：取，的中点，，连接，，， 易得，，平面, 平面,,则平面，同理平面， ，平面，平面平面，面，平面， 当在点处时，有平面，故B正确； 对C：以为原点，分别以、、为，、轴建立空间直角坐标系如图： 则，，，， 设，，， 则，，， ， ， 又， 则，即， 整理得，则点的轨迹不为圆弧．故C错误． 对D,，，，， 在内部运动，， ，由图易知 由题意可得，，， 为定值，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查立体中截面和轨迹问题，关键是向量坐标化建立坐标系求解CD选项. 85．（23-24高二上·安徽滁州·期中）在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（    ） A．若点在平面内，则 B．若，则 C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，长度的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得，，进而结合即可求解判断B；由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，进而可得当时，到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D. 【详解】对于选项A，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故A正确； 对于选项B，由题意易得， ，且， 又，即， 故，解得，故B正确； 对于选项C，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故C错误；    对于选项D，由B知， ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用空间向量的的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决. 86．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知正四棱柱的底面边长为，点分别满足.甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当时，存在，使得； 乙：当时，存在，，使得； 丙：当时，满足的的关系为； 丁：当时，满足的点围成区域的面积为. 其中得出错误结论的同学有（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】ACD 【分析】由题意分析可知：点为底面内一点（包含边界），建系，设.对于甲丙丁：结合向量垂直的坐标表示运算求解；对于乙：取点关于平面的对称点为，连接，结合对称性分析判断. 【详解】以A为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由， 可得，所以点为底面内一点（包含边界）， 则，设. 对于甲同学，当时，，则，， 若，则，整理得， 显然方程无解，则点不存在，所以不存在，使得，故A错误； 对于乙同学，当时，，点关于平面的对称点为， 连接，则， 所以， 所以存在点，使得， 即存在，使得，故B正确； 对于丙同学，当时，， 可得， 由，得，即， 所以点的轨迹为中平行于边的中位线， 当为该中位线的中点时，，当不为该中位线的中点时，，故C错误； 对于丁同学，当时，， 可得， 由，得0，整理得， 所以点的轨迹为正方形的内切圆，其区域的面积为，故D错误. 故选：ACD. 87．（23-24高二上·安徽六安·期中）在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A．当平面时，可能垂直 B．当时，的最小值为 C．若与平面所成的角为，则点的轨迹的长度为 D．当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量研究线面关系可判定A，将图形展开成平面图形，结合余弦定理计算即可判定B，利用线面角及圆的概念可判定C，利用空间向量计算点到线的距离公式及图形的对称性可计算面积判定D. 【详解】根据平面向量共面定理可知点P位于侧面正方形上（包含四边）， 对于选项：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的一个法向量为， 若平面，则，即， 则当时，， 即为中点时，有平面，且，故A正确； 选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，    线段即为的最小值， 由余弦定理可知， 所以，故B错误； 选项：因为平面，连接， 则即为与平面所成角， 若与平面所成角为， 则，所以， 即点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点的轨迹长度为，故正确；    选项：当时，可知P在上，设， 正方体经过点的截面为平行四边形， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 所以点到直线的距离为 ， 于是当时，的面积取最小值，则此时截面面积为； 当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故正确. 故选：ACD 88．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）如图所示，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ）．    A．平面平面 B．三棱锥的体积为 C． D． 【答案】ACD 【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算，逐项判断即可. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则 对于A，连接，因为平面，平面，所以是平面的一个法向量， 又，所以，则， 又平面，所以平面 则是平面的一个法向量，又， 所以平面平面，故A正确； 对于B，连接，因为，，所以，则，又平面，平面，所以平面， 点在线段上的动点，点到平面的距离即点到平面的距离， 设平面的法向量为，又， 则，令，所以 又，所以距离， 在中，所以为正三角形 ，故B不正确； 对于C，点为线段上的动点（不含端点），则设 所以， 则，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D正确. 故选：ACD. 89．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知正方体中，平面，平面，，记直线与平面所成角为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】连接空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求出，由的取值范围，求出的取值范围，即可判断. 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，因为平面，平面， 所以，，即，令，则， 又， 所以， 因为，所以，所以， 所以. 即，故符合题意的有B、C； 故选：BC 90．（21-22高二上·安徽·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是 （填入正确结论对应的序号）. ①设向量旋转后的向量为，则 ②点的轨迹是以为半径的圆 ③设①中的在平面上的投影向量为，则的取值范围是 ④直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 【答案】①②③ 【分析】利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断①②，利用投影向量的概念可得，可判断③，利用夹角公式可判断④. 【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，则，①正确； 设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，②正确； 由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量，，③正确； 设直线在平面内的投影与直线所成的角为， 则，④错误. 故答案为：①②③. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$