特训08 圆 压轴题辅助线作法（十四种题型综合分析与联系）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训08 圆 压轴题辅助线作法（十四种题型综合分析与联系） 目录： 题型1：“有直径现直角” 题型2：“有垂径现三角形” 题型3：题型1和题型2综合 题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系 题型5：题型1-4综合 题型6：截长补短作垂直 题型7：构造全等三角形 题型8：构造圆内接四边形 题型9：作垂线 题型10：构造特殊平行四边形 题型11：平面直角坐标系中作垂线求数量关系 题型12：构造垂直，拆解线段 题型13：二次函数中作圆寻求数量关系 题型14：内心有关的辅助线作法 题型1：“有直径现直角” 1．如图1，在中，是直径，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 题型2：“有垂径现三角形” 2．如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．    (1)求的长． (2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． (3)如图，过点作于，连接，求的最小值． 题型3：题型1和题型2综合 3．已知：是的直径，弦交于点E，且弧弧． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点F为上的一点，连接，过点C作，垂足为点G，若点H为弧的中点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，若，，求的半径． 题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系 4．如图，在中，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接． (1)若，求证：点是的中点． (2)当点移动到使时，求的值． (3)当点到移动到使时，求证：． 题型5：题型1-4综合 5．如图，在中，点O是的中点，以O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，弧与弧相等，点F在线段上，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并加以证明； (3)若的半径为5，，求的长． 题型6：截长补短作垂直 6．如图，为的内接三角形，，，点为弧上一点，连接． (1)如图1，当时，垂足为，连接并延长分别交，于点． ①______； ②求证：． (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，如果，求线段的长． 题型7：构造全等三角形 7．【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为______度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在弧上（点P不与点A、C重合），连接、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接BE． ∵四边形ABCP是的内接四边形，∴， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接、、，若，则的值为多少？ 8．是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接，． (1)如图1，是直径，交于点C，，求的度数； (2)如图2，连接，，过点O作交于点D，求证：； (3)如图3，连接，，试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 题型8：构造圆内接四边形 9．如图，内接于，弦、相交于点，．    (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，过点作，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接并延长交于点，连接，沿所在直线作劣弧的轴对称图形经过点，，，求线段的长度． 题型9：作垂线 10．已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 题型10：构造特殊平行四边形 11．已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 题型11：平面直角坐标系中作垂线求数量关系 12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（4，3），⊙O经过点P，过点P作x轴的平行线交⊙O于点E． (1)如图1，求线段OP的长； (2)点A为y轴正半轴上的一动点，点B和点A关于直线PE对称，连接PA，PB．直线PA，PB分别交⊙O于点C，D．直线CD交x轴于点F，交直线PE于点G． ①点A运动到如图2位置，连接CE，DE．求证：∠DGP=ECP． ②在点A运动过程中，当DF=OP时，求点D的坐标． 题型12：构造垂直，拆解线段 13．如图1，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E，设．    (1)若，求的度数； (2)如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知． ①求证：； ②若，求的值． 题型13：二次函数中作圆寻求数量关系 14．已知抛物线与x轴交于，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值； （3）点P在抛物线的对称轴上，且，请直接写出点P的坐标． 题型14：内心有关的辅助线作法 15．如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点． (1)若，，求的长； (2)求的度数； (3)当点在直线上方的上运动时，求证：． 16．如图：已知等腰，，在上，延长交于点，过点作，交于点，连接，连接，是的内心．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点，求证：； (3)如图3，过点作的垂线，垂足为，当时时，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 圆 压轴题辅助线作法（十四种题型综合分析与联系） 目录： 题型1：“有直径现直角” 题型2：“有垂径现三角形” 题型3：题型1和题型2综合 题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系 题型5：题型1-4综合 题型6：截长补短作垂直 题型7：构造全等三角形 题型8：构造圆内接四边形 题型9：作垂线 题型10：构造特殊平行四边形 题型11：平面直角坐标系中作垂线求数量关系 题型12：构造垂直，拆解线段 题型13：二次函数中作圆寻求数量关系 题型14：内心有关的辅助线作法 题型1：“有直径现直角” 1．如图1，在中，是直径，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）先根据垂径定理得到，再根据圆心角、弧、弦的关系由得到，所以，从而得到结论； （2）①连接、，如图，根据圆周角定理得到，再证明，则可判断四边形为平行四边形，所以，然后利用得到； ②设，则，则利用为的中位线得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，则在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）①证明：连接、，如图， ， ， ， ∵为直径， ， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ； ②解：设，则， ， ∴为的中位线， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， 在中， ∵， ， 整理得， 解得(舍去)， 即的长为1． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理、三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定，勾股定理和圆心角、弧、弦的关系． 题型2：“有垂径现三角形” 2．如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．    (1)求的长． (2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． (3)如图，过点作于，连接，求的最小值． 【答案】(1)8 (2)的长度不发生变化； (3) 【分析】（1）连接，根据，，确定圆的半径为5，结合，根据垂径定理，得到，得． （2）连接，根据垂径定理，得到，利用三角形外角性质，圆周角定理，证明即可． （3）根据题意，点H的运动轨迹是以为直径的上的，当D、H、N三点共线时，取得最小值，计算即可． 【解析】（1）如图，连接， ∵，， ∴， ∴圆的半径为5，    ∵， ∴， ∴． （2）的长度不发生变化；．理由如下： 如图，连接，    ∵直径，，，弦，， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故的长度不发生变化；． （3）如图，连接， ∵，    ∴点H的运动轨迹是以为直径的上的， 当D、H、N三点共线时，取得最小值， 连接，交于点M， 故当H与M重合时，取得最小值， ∵，，， ∴， ∴， 过点N作于点F， 则， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 故最小值为． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形外角性质，直角所对的弦是直径，点圆最值，中位线定理，熟练掌握垂径定理，圆的最值性质是解题的关键． 题型3：题型1和题型2综合 3．已知：是的直径，弦交于点E，且弧弧． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点F为上的一点，连接，过点C作，垂足为点G，若点H为弧的中点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）连接、，可证是的垂直平分线，即可求证； （2）连接，可求，由此可求，由，即可求解； （3）连接、，设，可得，从而可求，，进而可求，可证 ，可得，可求，即可求解． 【解析】（1）证明∶如图，连接、， ， ， ， 是的垂直平分线， ； （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， 点H为弧的中点， ， ， ， ， ， ， 故的度数为； （3）解：如图，连接、， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，线段平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握性质，能根据题意作出适当的辅助线是解题的关键． 题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系 4．如图，在中，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接． (1)若，求证：点是的中点． (2)当点移动到使时，求的值． (3)当点到移动到使时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据题意求得，再利用勾股定理即可得到本题答案； （3）根据题意证明出，利用勾股定理得到是等边三角形，再利用含角的直角三角形三边关系即可得到本题答案． 【解析】（1）解：证明：连接， ， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （2）解：解：连接． ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴=， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：连接． ， ∵， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质和判定，等边三角形性质及判定，含角的直角三角形三边关系． 题型5：题型1-4综合 5．如图，在中，点O是的中点，以O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，弧与弧相等，点F在线段上，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并加以证明； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)与相切，证明见解析 (3) 【分析】该题主要考查了圆周角定理，切线的性质“切线垂直于过圆心的直经或（半径）”和判定，三角形中位线的性质“三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半”和判定，解题的关键是做出对应辅助线； （1）连接，根据弧与弧相等，得出，根据是的直径，得出，证出，即可求证； （2）连接，根据，得出，证出是的中位线，得出，根据，证出，由等量代换得出，根据平行线性质得出，即可证明与相切； （3）连接，根据弧与弧相等证出，根据，得出，结合（2）得出，证出是的中位线，得出， 设长为x，则，表示出，，，根据是的直径，得出，在中，运用勾股定理解出x，得出，，在中，运用勾股定理解出； 【解析】（1）证明：连接， ∵弧与弧相等； ∴， ∵是的直径； ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）与相切， 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O是的中点， 是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （3） 解：连接， ∵弧与弧相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 是的中位线， ∴， 设长为x，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴在中，， 即， 解得或（舍）， ，， 在中，， 解得． 题型6：截长补短作垂直 6．如图，为的内接三角形，，，点为弧上一点，连接． (1)如图1，当时，垂足为，连接并延长分别交，于点． ①______； ②求证：． (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，如果，求线段的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)4 【分析】（1）①由垂径定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由8字模型求解即可； ②连接，根据圆周角定理及等腰三角形的判定和性质证明即可； （2）连接，延长，过A作于D，根据圆周角定理可得平分，再根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ． （2）解：连接，延长，过A作于D， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】标题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 题型7：构造全等三角形 7．【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为______度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在弧上（点P不与点A、C重合），连接、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接BE． ∵四边形ABCP是的内接四边形，∴， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接、、，若，则的值为多少？ 【答案】感知：45；探究：见解析；应用： 【分析】感知：根据圆周角定理即可得出答案； 探究：先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； 应用：先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论； 【解析】感知：解：∵，， ∴， 故答案为：45； 探究：证明：延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形， ； 应用：解：如图③， 延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 8．是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接，． (1)如图1，是直径，交于点C，，求的度数； (2)如图2，连接，，过点O作交于点D，求证：； (3)如图3，连接，，试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，16 【分析】（1）如图1，根据圆周角定理得到；由圆周角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质推知，，易得的度数； （2）如图2，连接，，，利用圆周角、弧、弦的关系和平行线的性质推知：；根据等腰的性质知：；结合的内角和定理得到：，即； （3）设，．如图3，延长至点，使，连接，作于点E．构造全等三角形：，则该全等三角形的对应边相等，，由勾股定理知，，代入化简即可得到该结论． 【解析】（1）解：如图1， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）解：如图3，延长至点，使，连接，作于点E． 设，． ∵四边形是圆内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵于点E． ∴． ∵， ∴． 化简得， ∴． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查圆周角定理、圆周角、弧、弦间的关系、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要熟练以上各部分内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 题型8：构造圆内接四边形 9．如图，内接于，弦、相交于点，．    (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，过点作，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接并延长交于点，连接，沿所在直线作劣弧的轴对称图形经过点，，，求线段的长度． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 (3) 【分析】（1）根据可得，再由同弧所对的圆周角相等可得，即可得到，进而可得证． （2）过点作，并延长交于，连接，，，即可证得，，进而得到，即可得证． （3）连接，设交于点，连接，根据折叠以及垂径定理可得四边形是菱形，进而得出，勾股定理求得半径，根据得出，进而得出，勾股定理，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的圆周角， ∴为的直径． （2）解：过点作，并延长交于，连接，，，如下图所示：    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理在和中可得：， ∴， ∴， ∴， （3）解：如图所示，连接，设交于点，连接，    ∵劣弧的轴对称图形经过点， ∴， ∵是直径， ∴，， 根据折叠可得， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为，在中，， 即， 解得：，    ∵菱形，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，平行弦问题，弦与弧的关系，勾股定理，圆内接四边形性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型9：作垂线 10．已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 【答案】(1)①证明过程见详解；② (2)的最大值为104． 【分析】 （1）①根据等腰三角形性质证，再用等弧所对圆周角相等证明，即可得证； ②由①的结论可以求得，，利用三角形外角定理可证，根据顶角为的等腰三角形可证，角度相减即可求得； （2）过A点作的垂线构建直角三角形，根据勾股定理用和去表示，根据已知数据整理得，在中根据勾股定理即可得，圆上两点间的线段直径最大即可求解． 【解析】（1）①证明：， ， ∵A、F、E、C四点在上， 、为弧所对圆周角， ， ， 即． ②解：由①可知， , ， ， ； （2）过A点作的垂线，垂足为P， ， 则，， ， 即， 在中，， 即当最大时，最大， 即当过圆心O时为直径最大， 的半径为3， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角性质、勾股定理、圆周角的定理等．利用勾股定理把转化为是解决此题的关键． 题型10：构造特殊平行四边形 11．已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆的综合题，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识，添加辅助线，借助特殊四边形解决问题； （1）如图1中，延长交 于，连接．首先证明，由即可证明． （2）由（1）可知，，由，推出，推出，推出； （3）如图中，连接、，首先证明四边形是平行四边形，得出四边形是菱形，则，由勾股定理求出半径，进而求解； 【详解】（1）证明：如图中，延长交于，连接． 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：由可知，， ， ， ， ， ． （3）解：如图中，连接、、． 由可知， ， ，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 题型11：平面直角坐标系中作垂线求数量关系 12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（4，3），⊙O经过点P，过点P作x轴的平行线交⊙O于点E． (1)如图1，求线段OP的长； (2)点A为y轴正半轴上的一动点，点B和点A关于直线PE对称，连接PA，PB．直线PA，PB分别交⊙O于点C，D．直线CD交x轴于点F，交直线PE于点G． ①点A运动到如图2位置，连接CE，DE．求证：∠DGP=ECP． ②在点A运动过程中，当DF=OP时，求点D的坐标． 【答案】(1)5 (2)①见解析；②点D的坐标为（－3，4）或（－3，－4）或（3，－4） 【分析】（1）过P作PH⊥x轴于H，利用勾股定理求解OP的长即可； （2）①利用外角性质得∠DGP=∠EPC+∠DCP，由对称性知∠EPC=∠DPE，根据弧与圆周角关系知∠DPE=∠DCE，再进行等量代换即可； ②连接OE、OP，设PE交y轴于Q，过D作DM⊥x轴于M，由圆周角与圆心角关系知∠POE=2∠ECP，由垂径定理证得∠POE=2∠POQ，由平行线性质及等量代换可证得△POQ≌△DMF，根据对应边相等求出D点坐标即可． 【详解】（1）解：过P作PH⊥x轴于H，连接OP，如图所示， 由P（4，3）知，OH=4，PH=3， 在Rt△POH中，由勾股定理得：OP=． （2）解：①证明：∵∠DGP是△PCG的外角， ∴∠DGP=∠DCP+∠CPG， ∵B和A关于直线PE对称， ∴∠DPE=∠CPE， ∵∠DPE=∠DCE（同圆中，同弧所对的圆周角相等）， ∴∠CPE=∠DCE， 而∠ECP=∠DCE+∠PCD， ∴∠ECP =∠CPE+∠PCD=∠DGP． ②解：连接OE、OP，过D作DH⊥x轴于H，如图所示， 则∠POE=2∠ECP（同圆中，同弧所对的圆心角的度数是圆周角度数的2倍）， 由①知，∠ECP=∠DGP， ∴∠POE=2∠DGP， ∵PE∥x轴，即PE⊥y轴，y轴过圆心O， ∴OM⊥PE，∠POE=2∠POM， ∴∠POM=∠DGP， 而∠DGP=∠DFH（两直线平行，同位角相等）， ∴∠POM=∠DFH， 又DF=OP=5， ∴△DFH≌△POM， ∴DH=PM=4， 即D点纵坐标的绝对值为4， 连接OD，易知OD=5，则由勾股定理得：OH=3， 即D点横坐标的绝对值为3， ∵A在y轴正半轴上运动， ∴D不会在第一象限， ∴D（－3，4）或（－3，－4）或（3，－4）． 【点睛】本题考查了勾股定理，同圆中弧、圆心角、圆周角的关系，三角形外角性质及全等三角形判定与性质等知识，解题关键是利用圆的性质证明三角形全等的条件． 题型12：构造垂直，拆解线段 13．如图1，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E，设．    (1)若，求的度数； (2)如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题； （2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题； ②作，证明四边形为矩形，再根据线段的和差即可解决问题． 【解析】（1）如图，连接，    ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：∵， ∴， 设，则， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：如图，作于点M，于点N，    由①得：， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴由勾股定理得，， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 题型13：二次函数中作圆寻求数量关系 14．已知抛物线与x轴交于，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值； （3）点P在抛物线的对称轴上，且，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1），C（0，-4）；（2），最大值为16；（3）或 【分析】（1）根据抛物线经过A、B两点可得抛物线的表达式，再令x=0得出y值，可得点C坐标； （2）设出点D坐标，根据即可求解； （3），则对应的圆心角为，如图作圆，则，圆交函数对称轴为点，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点、交轴于点，证明，求出点，即点在函数对称轴上，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过A（4，0），B（-2，0）， ∴抛物线的表达式为：， 令x=0，则y=-4， ∴点C的坐标为（0，-4）； （2）设点， ， 当时，的最大值为16； （3），则对应的圆心角为，如图作圆，则， 圆交函数对称轴为点，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点、交轴于点，设点． ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得：，， 即点，即点在函数对称轴上， 圆的半径为：， 则点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 题型14：内心有关的辅助线作法 15．如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点． (1)若，，求的长； (2)求的度数； (3)当点在直线上方的上运动时，求证：． 【答案】(1)8 (2) (3)见详解 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理，三角形内角和定理． （1）在直角中，直接用勾股定理即可求出； （2）由是的内心，，，易得，故，所以； （3）连接，则，由点是的内心，易得是等腰直角三角形，则，然后利用三角形外角性质证得即可． 【解析】（1）解：∵是直径， ∴ ∴ ，， 解得： ∵ ∴； （2）∵是的内心 ∴设， ∵， ∴ 即 ∴ ∴； （3）如图，连接，则 点是的内心 ∴平分 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 , , ∴． 16．如图：已知等腰，，在上，延长交于点，过点作，交于点，连接，连接，是的内心．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点，求证：； (3)如图3，过点作的垂线，垂足为，当时时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）证明是直径，再证明，可得结论； （2）连接，证明，可得结论； （3）如图3中，过点作交的延长线于点，作的内切圆，切点分别为，，．证明四边形是正方形，再证明，推出，因为与内切于点，，，推出，，，可得． 【解析】（1）证明：如图1中，   ， ， 是直径， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （2）证明：如图2中，连接．   是的内心， ，， ，，， ， ； （3）解：如图3中，过点作交的延长线于点，作的内切圆，切点分别为，，．   ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 与内切于点，，， ，，， ． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内切圆，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$