特训09 圆的基本性质 单元综合复习（十大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训09 圆的基本性质 单元综合复习（十大题型） 目录： 题型1：概念综合辨析 题型2：垂径定理及推论 题型3：图形的旋转 题型4：圆心角 题型5：外接圆 题型6：圆周角 题型7：圆内接四边形 题型8：正多边形与圆 题型9：弧长与扇形面积 题型10：解答综合题 题型1：概念综合辨析 1．下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．相等圆周角所对的弧相等 D．同弧所对的圆周角相等 2．下列说法中，正确的个数为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列命题中，正确的是（   ） A．相等的圆心角所对弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 4．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ）． A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 5．有下列结论，①弦比直径短．②过圆心的线段是直径．③半圆是弧．④长度相等的两条弧为等弧．⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型2：垂径定理及推论 6．如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为    8．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 9．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 题型3：图形的旋转 10．如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则（   ）    A． B． C． D． 11．如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 12．如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为 ． 13．如图,的顶点分别在轴,轴上,,,,将绕点顺时针旋转,每次旋转,则第次旋转结束时,点的坐标为 ． 题型4：圆心角 14．在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 15．如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 16．如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型5：外接圆 18．直角三角形的两边长分别为6和8，它的外接圆的半径是（    ） A．2 B．4 C． D．以上都不对 19．在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 20．已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 21．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 题型6：圆周角 22．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 23．如图，点，，均在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 24．如图，四边形内接于，已知，则的大小是（    ） A． B． C． D． 25．如图，是的外接圆，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 26．如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 27．如图，AB为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数是（    ） A．30° B．35° C．40° D．50° 题型7：圆内接四边形 28．如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 29．如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 30．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．如图，点A，，，都在上，，，， （     ）度 A． B．42 C． D．44 题型8：正多边形与圆 32．正八边形的中心角等于 度． 33．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 34．如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 35．如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为 °． 题型9：弧长与扇形面积 36．已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 37．如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 38．如图，边长为的正方形的对角线，相交于点，以为圆心，长为半径的弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 39．如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ． 40．如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为 ． 41．如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为 ． 42．如图，是的直径，点C是上一点，点D在的延长线上，与交于另一点E，，则的长度为 （结果保留π）．    题型10：解答综合题 43．如图，点，，，在在中，若，求证：．    44．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是2，水面宽． (1)求这个管道横截面的半径． (2)求阴影弓形的面积． 45．如图，在中，． (1)用直尺和圆规求作的外接圆（保留作图的痕迹） (2)若，，求弧的长． 46．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 47．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点的中心对称图形． (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为____________． 48．如图，在中，弦相交于点E，连接，已知． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为2，求的长． 49．已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 50．如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 圆的基本性质 单元综合复习（十大题型） 目录： 题型1：概念综合辨析 题型2：垂径定理及推论 题型3：图形的旋转 题型4：圆心角 题型5：外接圆 题型6：圆周角 题型7：圆内接四边形 题型8：正多边形与圆 题型9：弧长与扇形面积 题型10：解答综合题 题型1：概念综合辨析 1．下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．相等圆周角所对的弧相等 D．同弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理，弧与圆周角，圆心角的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． 【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原说法错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，不符合题意； D、同弧或等弧所对的圆周角相等，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．下列说法中，正确的个数为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案． 【解析】解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确； ②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误； ③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误； ④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误； ⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确； ⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确 ∴正确的说法有①⑤⑥，共3个． 故选：C． 3．下列命题中，正确的是（   ） A．相等的圆心角所对弦相等 B．同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 【答案】D 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦，弦心距的关系，垂径定理，熟记定理是解本题的关键． 【解析】解：∵同圆或等圆中，相等的圆心角所对弦相等， ∴A选项的结论不正确，不符合题意； ∵同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的优弧或劣弧分别相等， ∴B选项的结论不正确，不符合题意； ∵平分弦（不是直径）的直径平分这条弦所对的两条弧， ∴C选项的结论不正确，不符合题意； ∵同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等， ∴D选项的结论正确，符合题意． 故选：D． 4．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ）． A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当时，则点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点P在圆内，根据点P与圆的位置关系的判定方法对点M与位置关系进行判断． 【解析】解：∵的半径为4， ∴点M到圆心的距离大于圆的半径， ∴点M在圆外． 故选：C． 5．有下列结论，①弦比直径短．②过圆心的线段是直径．③半圆是弧．④长度相等的两条弧为等弧．⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本概率，垂径定理，弧、弦，圆周角之间的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． 【解析】解：①弦（非直径）比直径短，原说法错误； ②过圆心且两个端点都在圆上的线段是直径，原说法错误； ③半圆是弧，原说法正确； ④同圆或等圆中长度相等的两条弧为等弧，原说法错误； ⑤平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误； ⑥同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，原说法错误； ∴说法正确的有1个， 故选：A． 题型2：垂径定理及推论 6．如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，再求出，根据勾股定理得出，最后根据垂径定理即可得出． 【解析】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为    【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案． 【解析】解：， ， 在中，， ， ． 故答案为：4． 8．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 【答案】10或70 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是下方和上方． 根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为，则有两种情况，水面在水面平行的直径下方，过点作于点；水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【解析】连接 ∵ ∴圆的直径为 ∴水面在水面平行的直径下方 ∴过点作于点 ∴且与交于点 ∵， ∴， ∴在直角三角形中， ∴ ∴； 在直角三角形中， ∴ ∴ ∴上升的距离为 水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点 同理可得，上升的距离为：． 故答案为：10或70． 9．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【解析】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 题型3：图形的旋转 10．如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，四边形的内角和定理，对顶角相等的性质，熟记性质并考虑利用四边形的内角和定理求解是解题的关键． 根据对顶角相等求出，再根据四边形的内角和等于求出，然后求出，最后根据旋转的性质可得即为旋转角． 【解析】解：∵矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，    ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：C． 11．如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 【答案】120 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据等边三角形的性质可得点O是等边三角形的中心，再根据旋转对称图形的性质，用除以3计算即可得解． 【解析】解：∵O为为外接圆圆心，， ∴点O是的中心， ∵， ∴以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转与原来的三角形重合． 故答案为：120． 12．如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得：，，从而得到，再由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：由旋转的性质可得：，， ， ， ， 故答案为：． 13．如图,的顶点分别在轴,轴上,,,,将绕点顺时针旋转,每次旋转,则第次旋转结束时,点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出点初始坐标,再利用旋转知识得出每次旋转后的坐标,观察出每次一循环,即可得到本题答案． 【解析】解:∵,, ∴, 过点C作轴交轴与点D, , ∴, ∵, ∴, ∴, ∵将绕点顺时针旋转,每次旋转, ∴第一次旋转得到的坐标为, 第二次旋转得到的坐标为, 第三次旋转得到的坐标为, 第四次旋转得到的坐标为, 第五次旋转得到的坐标为, 可以发现的坐标四次一循环, ∴第次旋转结束时:, ∴第次旋转结束时点的坐标为:, 故答案为:． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律问题,勾股定理,等腰直角三角形性质,旋转的性质． 题型4：圆心角 14．在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，进行判断即可． 【解析】解：取的中点，连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 15．如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 16．如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可． 【解析】解：A、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误； B、平分，，，，故本选项正确； C、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误； D、与的大小关系不确定，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 17．如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，根据弧、弦、圆心角的关系可判断A选项，证明可判断B、C选项，根据已知条件，不能证明，可判断D选项． 【解析】解：在中，， ，故A选项不符合题意； 在与中，， ， ，，故C选项不符合题意； D、E分别是半径的中点, ， 在与中， ， ， ，，故B选项不符合题意； 和不一定相等， 和不一定垂直，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解决本题的关键． 题型5：外接圆 18．直角三角形的两边长分别为6和8，它的外接圆的半径是（    ） A．2 B．4 C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形外接圆的特点，分当边长为8的边为直角边和斜边两种情况，根据直角三角形的斜边为其外接圆的圆心进行求解即可． 【解析】解：当边长为8的边为直角边时，则斜边长为， ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，即直角三角形的斜边为其外接圆的圆心， ∴此时该直角三角形外接圆的半径为5； 当边长为8的边为斜边时，则该直角三角形外接圆的半径为4； 故该直角三角形外接圆的半径为4或5， 故选：D． 19．在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【解析】解：在一个直角三角形中，两边长分别是5，12， 当5，12是直角三角形的两条直角边时， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 当12是直角三角形的斜边时， 此三角形的外接圆的半径是； 综上所述，这个三角形的外接圆的半径是6或． 故答案是：6或． 20．已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，在中，利用勾股定理求出的长，然后根据直角三角形外接圆的直径等于斜边的长即可解答． 【解析】解：在中，， ∴， ∴外接圆的半径， 故选：C． 21．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【解析】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 题型6：圆周角 22．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可. 【解析】解：∵， ∴ 故选：C 23．如图，点，，均在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，直接根据圆周角定理即可得解。 【解析】解：∵， ∴， 故选：． 24．如图，四边形内接于，已知，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解析】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 25．如图，是的外接圆，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出的度数． 【解析】解：中，，， ∴， ∴． 故选：B． 26．如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 27．如图，AB为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数是（    ） A．30° B．35° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】连接，利用圆周角定理得到，，然后利用三角形内角和计算的度数． 【解析】解：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 题型7：圆内接四边形 28．如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键． 在优弧上取一点D，连接，，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形性质即得． 【解析】在优弧上取一点D，连接，， ∵， ∴， ∴． 故选：C．    29．如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理即可得到答案． 【解析】解：四边形为的内接四边形， ， ， ， 由圆周角定理可得：， 故选B． 30．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【解析】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， ∵ ， 是的直径， ， ， 故选：B． 31．如图，点A，，，都在上，，，， （     ）度 A． B．42 C． D．44 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出、，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解析】解：如图，连接， ，， ， ，， ， ， ， 四边形为的内接四边形， ， ， 故先：C． 题型8：正多边形与圆 32．正八边形的中心角等于 度． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【解析】解：正八边形的中心角等于； 故答案为：． 33．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【解析】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 34．如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了正八边形与圆，正多边形的性质应用是解题的关键．设正八边形中心为点O，连接，求出中心角，设，得到，即可得到答案． 【解析】解：设正八边形中心为点O，连接，如图， ∵多边形为正八边形， ∴中心角， 设， ∴ ∴， 故答案为： 35．如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为 °． 【答案】72 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及定边形内角和的计算，掌握正五边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【解析】解：∵是正五边形的内切圆，分别切于点， ， 是正五边形， ， ， ， 故答案为：72． 题型9：弧长与扇形面积 36．已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，矩形的性质．证明，可得，，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 故答案为： 37．如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【解析】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 38．如图，边长为的正方形的对角线，相交于点，以为圆心，长为半径的弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，不规则图形的面积，根据正方形的性质求出，利用阴影部分的面积等于计算即可． 【解析】解：四边形是边长为的正方形， ，， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 39．如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案． 【解析】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 40．如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理和扇形的面积公式是解题关键．连接，根据题意可得出，再根据扇形的面积公式计算即可． 【解析】解：如图，连接， ∵，， ∴平分． 又∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 41．如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积=扇形的面积+以为直径的半圆的面积 -以为直径的半圆的面积=扇形的面积”即可求解． 【解析】解：由旋转的性质得，， 故答案为：． 42．如图，是的直径，点C是上一点，点D在的延长线上，与交于另一点E，，则的长度为 （结果保留π）．    【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，弧长的计算，三角形外角的性质等知识；连接，则得，则得，；由三角形外角的性质求得，最后由弧长公式即可求解． 【解析】解：连接，如图， 则， ； ， ， ， ； ； ， 由弧长公式得：．    故答案为：． 题型10：解答综合题 43．如图，点，，，在在中，若，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，根据同圆中，等弧所对的弦相等，反之亦然，先证明，进而证明，则． 【解析】解： ， ， ， ． 44．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是2，水面宽． (1)求这个管道横截面的半径． (2)求阴影弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，求不规则图形面积，等腰直角三角形的性质等等： （1）根据垂径定理得到，根据勾股定理即可解； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，再根据进行求解即可． 【解析】（1）解：如图，连接， 在中， 这个管道横截面的半径为． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可得， ∴， 同理可得， ． ∴. 45．如图，在中，． (1)用直尺和圆规求作的外接圆（保留作图的痕迹） (2)若，，求弧的长． 【答案】(1)见解析 (2)弧的长为． 【分析】（1）利用直尺和圆规作斜边的垂直平分线确定圆心即可； （2）根据弧长公式即可求解． 【解析】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：， 是的直径， 连接， ∵， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ， 的长度． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、直角三角形斜边的性质、三角形的外接圆与外心、弧长的计算，解决本题的关键是综合运用以上知识． 46．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的内角和定理，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可． （2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，进而利用垂径定理可得结论； 【解析】（1）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点A作，垂足为F． ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 47．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点的中心对称图形． (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点的位置． 【解析】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点即为旋转中心， ∴， 故答案为：． 48．如图，在中，弦相交于点E，连接，已知． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为2，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧、线与圆周角之间的关系，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出，根据勾股定理即可求出答案． 【解析】（1）证：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴． 49．已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 【答案】(1)①证明过程见详解；② (2)的最大值为104． 【分析】 （1）①根据等腰三角形性质证，再用等弧所对圆周角相等证明，即可得证； ②由①的结论可以求得，，利用三角形外角定理可证，根据顶角为的等腰三角形可证，角度相减即可求得； （2）过A点作的垂线构建直角三角形，根据勾股定理用和去表示，根据已知数据整理得，在中根据勾股定理即可得，圆上两点间的线段直径最大即可求解． 【解析】（1）①证明：， ， ∵A、F、E、C四点在上， 、为弧所对圆周角， ， ， 即． ②解：由①可知， , ， ， ； （2）过A点作的垂线，垂足为P， ， 则，， ， 即， 在中，， 即当最大时，最大， 即当过圆心O时为直径最大， 的半径为3， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角性质、勾股定理、圆周角的定理等．利用勾股定理把转化为是解决此题的关键． 50．如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 【答案】(1)； (2)当为直角三角形时，的值为1或2或5； (3)经过的路径长度为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分分别为直角，三种情况讨论，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据为的外接圆，可知，点在线段的中垂线上，当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，分别求出当、和时，点的坐标，然后利用两点间的距离公式，进行求解即可． 【解析】（1）解：抛物线经过原点，且对称轴是直线， ，， 则、， 抛物线解析式为； （2）解：设点， ， 点， 则、、， ①若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ②若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ③若，则， 整理，得：， ， ， ， ， 则或（舍， ， 直线解析式为， 当时，，即， ； 综上，当为直角三角形时，的值为1或2或5． （3）为的外接圆， 点在线段的中垂线上， 当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段， 当时，如图1， 由（2）知， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 当时，如图2， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， 、， ； 当时，如图3， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 则点经过的路径长度为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，以及数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$