特训13 第1-2章 阶段综合考试卷（第1.5个月考卷）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训13 第1-2章 阶段综合考试卷（第1.5个月考卷） 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 2．已知的半径为．若点到圆心的距离为，则点（　　） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 3．用配方法解一元二次方程，方程可变形为（    ） A． B． C． D． 4．下列方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 6．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（    ） A． B． C． D． 7．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（   ） A．30° B．28° C．21° D．20° 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在边AD，BC上，且EF⊥AD，点B关于EF的对称点为G点，连接EG，若EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，则AE的长度为（    ） A．3 B． C．6+ D．6﹣ 二、填空题 9．已知关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 10．将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm． 11．三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程 的解，则此三角形的周长是 ． 12．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ．    13．如图，边长为2的正方形中心与半径为2的的圆心重合，E、F分别是的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是 ． 14．如图，在中，，垂足为是上一点，过、三点的圆交于点，若，则 ． 15．如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    16．阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程=0 的解．解决问题：求方程的解为 ． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．    19．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增大到，已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，求平均亩产量的增长率． 20．已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21．（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O； （2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积． 22．如图，已知是的直径，弦于E． (1)若，求的长： (2)若，求的度数． 23．在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)分别用含t的代数式表示与； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．如图，为半的直径，弦的延长线与过点B的切线交于点D，E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)过点C作，垂足为点F，，求的半径． 25．对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则． (1)代数式的不变值是______，______． (2)说明：代数式没有不变值； (3)已知代数式，若，求的值． 26．如图，在平面直角坐标系中，，的半径为．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”． (1)如图，如果，线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为 ． (2)如图，如果、、、、、．在下列线段中：①线段；②线段；③线段，属于的“关联线段”有 （填序号，可多选）． (3)如图，如果、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是 ． (4)如图，如果点的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的最大值是 ． 27．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 　　 得，即A，B，C，D共圆； (2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证． (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） (4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训13 第1-2章 阶段综合考试卷（第1.5个月考卷） 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【解析】解：由题意，， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 2．已知的半径为．若点到圆心的距离为，则点（　　） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 根据点与圆的位置关系“当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内”，由此可求解． 【解析】解：点到圆心的距离为，而的半径为， 点到圆心的距离小于圆的半径， 点在圆内， 故选：． 3．用配方法解一元二次方程，方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可． 【解析】解：x2-8x+7=0， x2-8x=-7， x2-8x+16=-7+16， （x-4）2=9． 故选：B． 【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，解答时熟练掌握配方法的步骤是关键． 4．下列方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况．一元二次方程，在实数范围内根的情况由根的判别式确定，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式逐一判断即可． 【解析】A．∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； B．∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； C．∵， ∴， ∴方程没有实数根； D．∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 5．如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解． 【解析】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：A． 6．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 设每组邀请个球队参加比赛，根据等量关系“计划分为4组，每组安排28场比赛”列方程即可． 【解析】解：由题意可得：． 故选:D． 7．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（   ） A．30° B．28° C．21° D．20° 【答案】B 【分析】连接OD，根据等腰三角形的等边对等角性质和三角形的外角性质可得出∠E=∠AOC即可求解． 【解析】解：连接OD，则OB=OD=OC， ∵DE=OB， ∴OD=DE， ∴∠E=∠DOE， ∴∠ODC=∠DOE+∠E=2∠E， ∵OD=OC， ∴∠OCD=∠ODC=2∠E， ∴∠AOC=∠OCD+∠E=3∠E， ∵∠AOC=84°， ∴∠E=∠AOC=28°， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的基本性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在边AD，BC上，且EF⊥AD，点B关于EF的对称点为G点，连接EG，若EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，则AE的长度为（    ） A．3 B． C．6+ D．6﹣ 【答案】D 【分析】设AE＝x，则ED＝8﹣x，易得四边形ABFE为矩形，则BF＝x，利用对称性质得FG＝BF＝x，则CG＝8﹣2x，再根据切线长定理得到EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x，所以EG＝16﹣3x，在Rt△EFG中利用勾股定理得到42+x2＝(16﹣3x)2，然后解方程可得到AE的长． 【解析】解：设AE＝x，则ED＝8﹣x， ∵EF⊥AD， ∴四边形ABFE为矩形， ∴BF＝x， ∵点B关于EF的对称点为G点， ∴FG＝BF＝x， ∴CG＝8﹣2x， ∵∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴AD和BC为⊙O的切线， ∵EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M， ∴EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x， ∴EG＝8﹣x+8﹣2x＝16﹣3x， 在Rt△EFG中，42+x2＝(16﹣3x)2， 整理得x2﹣12x+30＝0， 解得x1＝6﹣，x2＝6+（舍去）， 即AE的长为6﹣． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理、矩形的性质与判定、勾股定理、以及轴对称的知识．经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 二、填空题 9．已知关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 【答案】 【分析】把代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【解析】解：根据题意得： ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 10．将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm． 【答案】2 【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案． 【解析】解：根据题意，得圆锥底面周长cm， ∴这个圆锥底面圆的半径cm， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解． 11．三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程 的解，则此三角形的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了因式分解法求一元二次方程，三角形三边数量关系的运用，根据三角形三边关系可得第三边的取值范围为，再根据因式分解求一元二次方程，可确定三角形第三边的长，即可求解． 【解析】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴三角形第三边长的取值范围为：第三边长，即第三边长， ∵ ∴，（不符合题意，舍去）， ∴三角形第三边长为：， ∴此三角形的周长为：， 故答案为：13 ． 12．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ．    【答案】/104度 【分析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【解析】解： ∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形内切圆的定义，解题的关键是根据内切圆得到，． 13．如图，边长为2的正方形中心与半径为2的的圆心重合，E、F分别是的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆面积的计算、正方形的性质、全等形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等图形成为解题的关键． 如图：延长交⊙O于M，N，连接，过点O作于H，再根据垂径定理、勾股定理、三角形的面积公式可得，然后再根据阴影部分的面积即可解答． 【解析】解：如图：延长交⊙O于M，N，连接，过点O作于H． 在中，, ∵， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为． 14．如图，在中，，垂足为是上一点，过、三点的圆交于点，若，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查圆中求角度，涉及直角三角形性质、圆周角定理等知识，首先根据，，得到，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案，灵活运用圆周角定理是解决问题的关键． 【解析】解：在中，，， ， ， ， 在中，，则， 故答案为：． 15．如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【解析】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 16．阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程=0 的解．解决问题：求方程的解为 ． 【答案】 【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为x−3＝0或x2＋3x−1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可． 【解析】解：∵x3−10x＋3＝0， ∴x3−9x−x＋3＝0， x（x2−9）−（x−3）＝0， （x−3）（x2＋3x−1）＝0， ∴x−3＝0或x2＋3x−1＝0， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了公式法解一元二次方程． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】（1）解：， 或， 解得：，； （2）解：， ， ，即， ， 解得：，； （3）解：， ， ， 或， 解得：，； （4）解：， ， ， 或， 解得：，． 18．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．    【答案】详见解析 【分析】先根据可得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得． 【解析】证明：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查圆心角定理推论，解题关键是熟知同圆或等圆中，等弧所对的弦相等． 19．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增大到，已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，求平均亩产量的增长率． 【答案】平均亩产量的增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据“总产量种植面积平均亩产量”求得原来平均亩产量；设平均亩产量的增长率为，根据总产量增大到，列一元二次方程，求解即可． 【解析】解：（亩）， 设平均亩产量的增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去），， 答：平均亩产量的增长率为． 20．已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）证明见解析 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【解析】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 21．（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O； （2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积． 【答案】（1）见解析；（2）10π 【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O； （2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【解析】解：（1）如图所示，点O即为所求； （2）连接OB， 由勾股定理得：OB＝， ∴外接圆⊙O的面积为：π×（）2＝10π． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的概念、熟记圆的面积公式是解题的关键． 22．如图，已知是的直径，弦于E． (1)若，求的长： (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理以及圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出答案即可； （2）根据圆周角定理求得，再根据两锐角互余的性质得到答案． 【解析】（1）解：弦，， ， 在中，， ； （2）解：， ， ， ． 23．在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)分别用含t的代数式表示与； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2秒 (3)存在，秒，使得五边形的面积等于 【分析】（1）依据点和点运动的速度和时间可求得、的长，然后依据可求得的长； （2）中，依据勾股定理可得到关于的方程，从而可求得的值； （3）先求得矩形的面积，然后由五边形的面积可求得的面积，然后依据的面积列出关于的方程，从而可求得的值． 本题主要考查的是一元二次方程的应用，四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理和三角形的面积公式列出关于的方程是解题的关键． 【解析】（1）解： 从点开始沿边向终点以的速度移动， ． ， ． 点从点开始沿边向终点以的速度移动， ． （2）解：在中，依据勾股定理可知：， 即：， 解得：，， 当或2秒时，的长度等于． （3）解：存在秒，使得五边形的面积等于． 理由如下：长方形的面积是：， 使得五边形的面积等于， 则的面积为， ． 解得：（不合题意舍去），， 即当秒时，使得五边形的面积等于． 24．如图，为半的直径，弦的延长线与过点B的切线交于点D，E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)过点C作，垂足为点F，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质及判定、圆周角定理、直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，解题关键是熟练掌握证明切线的方法，能利用勾股定理结合方程思想求解半径． （1）连接，通过证明得出即可； （2）设，由勾股定理得，，列方程求出x的值，则． 【解析】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∵中，E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点C在圆上， ∴是的切线； （2）解：∵中， ， ∴， 设， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得， 则， 即的半径为． 25．对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则． (1)代数式的不变值是______，______． (2)说明：代数式没有不变值； (3)已知代数式，若，求的值． 【答案】(1)和4，7 (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再做差后可求出的值； （2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程没有实数根，进而可得出代数式没有不变值； （3）由可得出方程有两个相等的实数根，进而可得出，解之即可得出结论． 【解析】（1）解：依题意，得：，即 解得：，， ， 故答案为：和4，7； （2）解：依题意，得：即， ， 没有实数根， 代数式没有不变值； （3）解：依题意，得：即有两个相等的实数根， ， 整理得：， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，，的半径为．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”． (1)如图，如果，线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为 ． (2)如图，如果、、、、、．在下列线段中：①线段；②线段；③线段，属于的“关联线段”有 （填序号，可多选）． (3)如图，如果、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是 ． (4)如图，如果点的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的最大值是 ． 【答案】(1) (2)②，③ (3) (4) 【分析】（1）作与相切，可得，结合“关联线段”的定义即可求解； （2）判断线段的两个端点到原点的距离在和之间即可； （3）以为圆心，半径为作圆，以为端点作射线与相切，结合（1）可得：，根据图形即可得出答案； （4）先根据题意画出图形，通过数形结合并利用勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，作与相切，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴此时的角度最小，且， ∴切点在线段上， ∴的“关联角”． 故答案为：． （2）如图所示：连接，，，， ∵，， ∴， ∴切点不在线段上，不是的“关联线段”， ∵，， ∴，， ∵， ∴是的“关联线段”， ∵， ∴是的“关联线段”． 故答案为：②，③． （3）∵，， ∴线段绕点旋转的路线是半径为1的上， 当与相切时，切点为， 由（1）可得：， ∴， ∴当时，线段是的“关联线段”． 故答案为：． （4）如图所示，当取最大值时，点运动最小半径是到过点的直线的距离是，此时以为端点，长度为的线段是的“关联线段”， ∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题是新定义下的阅读理解，考查直线与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，点到原点的距离，图形的旋转等相关知识．解题的关键是数形结合，理解新定义并能灵活运用所学知识解决问题． 27．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 　　 得，即A，B，C，D共圆； (2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证． (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） (4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上． 【答案】(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (2)；； (3)①；②B、E、D、C；③； (4)证明见解析． 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论Ⅱ可知：，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上； （3）以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明； （4）连接，，由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，证明，由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆，即点P在的外接圆上． 【解析】（1）解：连接，， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，， ∴ 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）解：假设点C落在外，交于点E，连接， 可得：， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，相互矛盾，故点C在圆上， 故答案为：；； （3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接． ∵A、E、H、D四点共圆， ∴， ∵B、E、D、C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的高． 故答案为：；B、E、D、C；； （4）证明：连接，， 由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴，， ∴， 由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆， 即点P在的外接圆上． 【点睛】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大，考查学生对整体知识的应用． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$